第1讲 平行线的判定与性质 复习讲义（无答案）

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第1讲 平行线的判定与性质
一．知识点梳理
1.同位角：两条直线被第三条直线所截而成的8个角中,在两条被截线的同侧,且在截线的同旁,这样的一对角称为同位角.
2.内错角：两条直线被第三条直线所截而成的8个角中,在两条被截线的之间,且在截线的两侧,这样的一对角称为内错角.
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截而成的8个角中,在两条被截线的之间,且在截线的同侧,这样的一对角称为内错角.
如图 ∠2与∠6，∠3与∠7，∠1与∠5，∠4与∠8是同位角；
∠3与∠5，∠4与∠6是内错角；
∠3与∠6，∠4与∠5是同旁内角；
4. 同位角、内错角、同旁内角的特征
截线 被截线 结构特征
同位角 同旁 同侧 F
内错角 两旁 之间 Z（N）
同旁内角 同旁 之间 U（C）
5.平行线的判定
（1）平行定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
（2）平行公理推论：平行于同一直线的两条直线平行。
（3）平行线判定定理1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平。
即同位角相等，两直线平行；
（如图.几何语言：∵∠1＝∠4，∴ a∥b）
（4）平行线判定定理2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角互补,那么这两直线平行.（即内错角相等，两直线平行）
（如图.几何语言：∵∠3＝∠4，∴ a∥b）
（5）平行线判定定理3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两直线平行.（即同旁内角互补，两直线平行）
（如图.几何语言：∵∠2＋∠4=180°，∴ a∥b）
6.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；（如图2.几何语言：∵ a∥b ，∴∠1＝∠4 ）
（2）两直线平行，内错角相等；（如图2.几何语言：∵ a∥b ，∴∠3＝∠4 ）
（3）两直线平行，同旁内角互补；（如图2.几何语言：∵ a∥b ，∴∠2＋∠4=180°）
二．典型例题
类型一：同位角、内错角、同旁类角的认识
【例1】如图，图中的内错角有　　对．
A．5 B．7 C．8 D．10
【变式1】下列说法：其中正确的是　　
①若，则，互补；
②若，则，是同旁内角；
③若，互补，则；
④若，是同旁内角，则．
A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①②③
【变式2】如图，已知直线，被直线，所截，直线，，相交于点，按要求完成下列各小题．
（1）在图中的这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
（2）和是什么位置关系的角？和之间的位置关系与和的相同吗？
【例2】两条直线被第三条直线所截，是的同旁内角，是的内错角，若，，则的度数是　　．
【变式1】如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
（1）求的度数；
（2）写出一个与互为同位角的角；
（3）求的度数．
类型二：平行线的判定
【例3】如图，若，则下列选项中可以判定的是　　
A．B．C．D．
【变式1】如图，直线和直线被直线所截，给出下列条件：
①； ②； ③； ④．
其中不能判断的条件的序号是　 　．
【变式2】一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当时，，则其它所有可能符合条件的度数为　　
A．和 B．、、和
C．和 D．以上都有可能
【例4】阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
求证
证明：（已知）
　对顶角相等　
（等量代换）
　 　　 　　 　
　 　　 　
又（已知）
（等量代换）
　 　　 　　 　
　 　
【变式1】已知：如图，，．求证：．
【变式2】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出所有可能的度数及对应情况下的平行线（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【例5】已知：如图，，．求证：．
【变式1】如图，直线，垂足为，与直线、分别交于点、，且，、分别平分和．
（1）填空：　　；
（2）求证：．
类型三：平行线的性质
【例6】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于　　
B． C． D．
【变式1】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，　　．
【变式2】如图，已知．
（1）发现问题：若，，则与的等量关系为　　．
（2）探究问题：若，．猜想：与的等量关系，并证明你的结论．
（3）归纳问题：若，．直接写出与的等量关系．
【变式3】已知，平分，平分．
（1）如图①，当点、在直线同侧，时，求的度数；
（2）如图②，当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系．
【例7】如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为　　．
三．课堂练习
1.如图，在图中与是同位角的角有　 　个．
2.如图，将木条，与钉在一起，，．要使木条与平行，木条旋转的度数至少是　　
A． B． C． D．
3.如图，给出下列条件：①；②；③，且；④．其中，能推出的条件为　 　．（填写序号）
4.如图，若，．则下列各式成立的是　　
A． B．
C． D．
5.如图，，直线交于点，过点作，交于点，若，则　 　．
6.如图，，点在直线上，点、在直线上，且，点在线段上，连接，且平分．证明：．
证明：（已知）
①　 　
（平角的定义）
平分（已知）
②　 　（角平分线的定义）
③　 　
（已知）
④　 　
⑤　 　
7.如图，已知，，垂足分别为、．且，猜想：与有怎样的关系？说明理由．
8.已知：如图，，，
（1）求证：
（2）若，，求的度数．
9.（1）问题发现：如图1，已知点，分别在直线，上，且，若，，则的度数为　　；
（2）拓展探究：，，之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；
答：　　．
证明：过点作，
　　，
，，（辅助线的作法）
　　，
　　，
　　．
（3）深入探究：如图2，的平分线所在直线与的平分线相交于点，试探究与之间的数量关系，请直接写出你的结论．
举一反三
1.如图，直线分别与直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
2.下列说法中，正确的个数是　　
①两点之间，直线最短．
②三条直线两两相交，最少有三个交点．
③射线和射线是同一条射线．
④同角（或等角）的补角相等．
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
⑥绝对值等于它本身的数是非负数．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3.如图，直线，被直线所截，，若，则等于　　
A． B． C． D．
4.如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM∠EFM，则∠AEN的度数为　 　．
5.如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
6.完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点在上，点在上，，，求证．
证明：（已知），　 　，
　 　（等量代换），
　 　　 　，
　 　　 　．
又（已知），
　 　，
　 　．
7.如图，的一边为平面镜，，在边上有一点，从点射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数是　 　．
8.如图，，．
（1）试说明：；
（2）若，平分，求的度数．
9.如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：DG∥AB；
（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数．
10.已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2．求证：DE⊥AC．
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