第10讲 用二元一次方程组解决问题 复习讲义（无答案）

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第10讲 用二元一次方程组解决问题
一．知识点梳理
知识点一 二元一次方程组解决实际问题
1、一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y）表示题目中的两个未知数；
（2）找出能够表达实际问题全部含义的两个相等关系；
（3）根据这些相等关系列出方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）检验求出的解是否符合实际意义；
（6）写出答案.
2、行程问题常用等量关系：
（1）；
（2）；
（3）．
3、工程问题常用等量关系：
工作时间×工作效率=工作总量
4、利润问题常用等量关系：
（1）利润=售价-进价（成本）；
（2）；
（3）售价=进价×（1+利润率）；
（4）售价=标价×打折率．
二．典型例题
类型一：二元一次方程的应用
【例1】小李去买套装6色水笔和笔记本（单价均为整数），若购买4袋笔和6本笔记本，他身上的钱还差22元，若改成购买1袋笔和2本笔记本，他身上的钱会剩下34元．若他把身上的钱都花掉，购买这两种物品（两种都买）的方案有　　
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【变式1】某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共花费280元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为16元、10元、8元，那么可能的不同订餐方案有　　
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【变式2】某地突发地震，为了紧急安置30名地震灾民，需要搭建可容纳3人或2人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这30名灾民，则不同的搭建方案有　　
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
【变式3】某人只带了2元和5元两种货币，他要买一件27元的商品，而商店不给找钱，则此人的付款方式有　 　种．
【变式4】小甬的爸爸骑着摩托车带着小甬在公路上匀速行驶，小甬每隔一段时间看到的里程碑上的数如表：
时刻
碑上的数 是一个两位数，数字之积为6 十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0
则时看到的两位数是　 　．
【变式5】某商店新进一批衬衣和数对暖瓶（一对为2件），暖瓶的对数正好是衬衣件数的一半，每件衬衣的进价是40元，每对暖瓶的进价是60元（暖瓶成对出售），商店将这批物品以高出进价的价格售出，最后留下了17件物品未卖出，这时，商店发现卖出物品的总售价等于所有货物总进价的，则最初购进这批暖瓶　　对．
【变式6】佳惠康超市的账目记录显示，某天卖出12支牙刷和9盒牙膏，收入105元；另一天以同样的价格卖出同样的16支牙刷和12盒牙膏，收入应该是　　元．
【变式7】期中考试即将结束，为了表彰优秀，李老师用元钱购买奖品，若以3支钢笔和4本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以4支钢笔和7本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为元支，笔记本单价为元本．
（1）请用的代数式表示；
（2）若用这元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？
（3）若李老师用这钱恰好买75份同样的奖品，可以选择支钢笔和本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的，的值．
【变式8】为了让学生能更加了解温州历史，某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁、两种车型接送师生往返，若租用型车3辆，型车6辆，则空余15个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则15人没座位．
（1）求、两种车型各有多少个座位？
（2）若型车日租金为350元，型车日租金为400元，且租车公司最多能提供7辆型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金．
类型二：二元一次方程组的应用
【例2】地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机无风时的平均速度是　　
A． B． C． D．
【变式1】小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为　　
A． B． C． D．
【变式2】某商场用13000元购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的成本价与销售价如下表所示：
类别 成本价（元箱 销售价（元箱
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这400箱矿泉水，可获利多少元？
【变式3】如图，长青化工厂与、两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到地，已知公路运价为2元（吨千米），铁路运价为1.5元（吨千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元．求：
（1）该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【变式4】解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．则甲带了　36　钱．
【变式5】某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景．
小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”，
小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加
小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加
根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为　　万元
【变式6】某家具商先准备购进，两种家具，已知100件型家具和150件型家具需要35000元，150件型家具和100件型家具需要37500元．
（1）求，两种家具每件各多少元；
（2）家具商现准备了8500元全部用于购进这两种家具，他有几种方案可供选择？请你帮他设计出所有的购买方案．
类型三：三元一次方程组的应用
【例3】一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是　　
A．容易题和中档题共60道 B．难题比容易题多20道
C．难题比中档题多10道 D．中档题比容易题多15道
【变式1】为了奖励学习进步的同学，某班准备购买甲、乙、丙三种不同的笔记本作为奖品，其单价分别为2元、3元、4元，购买这些笔记本需要花60元；经过协商，每种笔记本单价下降0.5元，只花了49元，那么以下哪个结论是正确的　　
A．乙种笔记本比甲种笔记本少4本
B．甲种笔记本比丙种笔记本多6本
C．乙种笔记本比丙种笔记本多8本
D．甲种笔记本与乙种笔记本共12本
【变式2】如果买5支钢笔、2个文具盒和3把直尺需要91元；买1支钢笔、4个文具盒和3把直尺需要59元；那么买1支钢笔、1个文具盒和1把直尺需要　　元．
【变式3】购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需　　元．
【变式4】某校八年级举行演讲比赛，共准备了36本笔记本作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发5本，二等奖每人发3本，三等奖每人发2本，实际一等奖每人发8本，二等奖每人发4本，三等奖每人发1本，获得三等奖的学生人数为　　人．
三．课堂训练
1.《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A． B． C． D．
2.某校七年级（1）班同学为“希望工程”捐款，共捐款206元，捐款情况如下表所示：
由于不小心被墨水污染，表格中捐款4元和5元的人数已经看不清楚．根据已有的信息推断，捐款4元和5元的人数不可能为　　
A．6，24 B．8，22 C．11，20 D．16，16
3.甲、乙两人一起去检修300长的自来水管道，已知甲比乙每小时少修，两人从管道的两端同时开始检修，3小时后完成任务．问：甲、乙每小时各检修多少？
4.某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．求火车的速度和长度．
5.某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息：
（1）请设计一张表格，并把上述信息中的已知数量填进去；
（2）根据情境中的信息，提出一个问题，并用二元一次方程组解决这个问题．
6.如图，三个全等的小矩形沿“横竖横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于　 　．
7.学校提倡练字，小冬和小红一起去文具店买钢笔和字帖，小冬在文具店买1支钢笔和3本字帖共花了38元，小红买了2支钢笔和4本字帖共花了64元．
（1）每支钢笔与每本字帖分别多少元？
（2）帅帅在六一节当天去买，正巧碰到文具店搞促销，促销方案有两种形式：
①所购商品均打九折
②买一支钢笔赠送一本字帖
帅帅要买5支钢笔和15本字帖，他有三种选择方案：
（Ⅰ）一次买5支钢笔和15本字帖，然后按九折付费；
（Ⅱ）一次买5支钢笔和10本字帖，文具店再赠送5本字帖；
（Ⅲ）分两次购买，第一次买5支钢笔，文具店会赠送5本字帖，第二次再去买10本字帖，可以按九折付费；问帅帅最少要付多少钱？
8.某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 人 人 100人以上
每人门票价 20元 17元 14元
某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元
（1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？
（2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由．
（3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果）
四．举一反三
1.把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管，如果保证没有余料．那么截取的方法有　　
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下　　
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
3.学校为七年级艺术节获奖选手购买以下三种奖品，其中笔记本每本5元，文具盒每个6元，钢笔每支10元，购买的文具盒的数量是钢笔数量的2倍，共花费226元，则这奖品的购买总数量　　．
4.在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　．
5.某旅行社组织280名游客外出旅游，计划租乘大巴车和小巴车赴旅游景点，其中大巴车每辆可乘80人，小巴车每辆可乘40人，要求租用的车子不留空位，同时也不能超载．
（1）请你写出所有的租车方案；
（2）若大巴车的租金是350元天，小巴车的租金是200元天，请你设计出费用最少的租车方案，并算出最少的费用是多少？．
6.小张去书店购买图书，看好书店有，，三种不同价格的图书，分别是种图书每本1元，种图书每本2元，种图书每本5元．
（1）若小张同时购买，两种不同图书的6本，用去18元，求购买两种图书的本数；
（2）若小张同时购买两种不同的图书10本，用去18元，请你设计他的购书方案；
（3）若小张同时购进，，三种不同图书10本，用去18元，请你设计他的购买方案．
7.高台县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对、两类村庄进行了全面改建．根据预算，建设一个类美丽村庄和一个类美丽村庄共需资金300万元；巷道镇建设了2个类村庄和5个类村庄共投入资金1140万元．
（1）建设一个类美丽村庄和一个类美丽村庄所需的资金分别是多少万元？
（2）骆驼城镇改建3个类美丽村庄和6个类美丽村庄共需资金多少万元？
8.小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元．
（1）求、的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
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