《平面向量及其应用》数学限时练
考查范围（第六章正弦定理前知识）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.－，－ B.2－，－
C.2－3，6－4 D.＋，－
2.若O为 ABCD的对角线的交点，＝4，＝6，则3－2等于( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，不共线，实数x，y满足(5x－6y)＋(4x－5y)＝6＋3，则x－y的值为( )
A.3 B.－3
C.0 D.2
4.已知向量 ＝(2，4)，＋ ＝(3，2)，则＝( )
A.(1，－2) B.(1，2)
C.(5，6) D.(2，0)
5.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝( )
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
6.向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A.－2 B.11 C.－2或11 D.2或11
7.已知向量＝(1，2)，＝(－2，－4)，||＝，若(－)·＝，则与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
8.直角三角形中，，，，M为 的中点，，且P为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
10.已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则O是△ABC的外心
B.若，则N是△ABC的重心
C.若，则P是△ABC的垂心
D.若，则I是△ABC的内心
11.已知在平面直角坐标系中，点P1(0,1)，P2(4,4)．当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为( )
A. B. C. D.
12.已知≠，||＝1，满足：对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则( )
A.·＝0 B.·(－)＝0 C.·＝1 D.·(－)＝1
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.已知向量＝(2m，m)，＝(n，－2n)，若＋＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
14.若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若(3＋5)⊥(m－)，则m的值为________.
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是________.
16.已知向量＝(，－2)，＝(1，)，且⊥则的值为
四．解答题（共6小题，满分70分）
17.已知A(－1，3)，B(4，－2)，C(－2，－5).设＝，＝，＝.
(1)求3＋－3；
(2)求满足＝m＋n的实数m，n.
18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
(1)若2bcos C－2a＋c＝0，求角B的大小；
(2)若a＋c＝5，ac＝4，tan B＝1，求b2.
19．已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
20.已知向量＝－，＝4＋3，其中＝(1，0)，＝(0，1).
(1)计算·及|＋|的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，
（1）计算
（2）求·
22.在平面直角坐标系xOy中，已知向量 ＝， ＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若⊥，求tan x的值；
(2)若与 的夹角为，求x的值.《平面向量及其应用》数学限时练
考查范围（第六章正弦定理前知识）
一、选择题
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2
答案 D
解析 选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
2.若O为 ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵3e2－2e1＝－＝(＋)，
又＋＝＝2，
∴＝3e2－2e1.
3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A.3 B.－3
C.0 D.2
答案 A
解析 由平面向量的基本定理，得
则①－②得x－y＝3.
4.已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A.(1，－2) B.(1，2)
C.(5，6) D.(2，0)
答案 A
解析 b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
5.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝( )
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
答案 A
解析 在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).又＝(－1，2)，所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2，4)，故选A.
6.向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A.－2 B.11
C.－2或11 D.2或11
答案 C
解析 ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.
7.已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案 C
解析 由a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，得a·b＝－10，
故(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
直角三角形中，，，，M为 的中点，，且P为与的交点，则（ ）
解：设， ，则，，，
设与的夹角为，
∵，，
∴，
∴|，，∴.∵，∴.
∵即为向量与的夹角，∴，故.
9.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为( )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案 BCD
解析 ∵＝(3，3)，＝(－2，－2)，∴＝－，∴与共线.
又||≠||，∴该四边形为梯形.
10.ABC
11．AD [设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(4－x,4－y)，
当点P靠近点P1时，＝，则解得所以P，
当点P靠近点P2时，＝2，
则解得所以P.
12.已知a≠e，|e|＝1，满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A.a·e＝0 B.e·(a－e)＝0
C.a·e＝1 D.e·(a－e)＝1
答案 BC
解析 ∵对任意的t，恒有|a－te|≥|a－e|，
∴a2＋t2e2－2ta·e≥a2＋e2－2a·e恒成立，
即t2－2ta·e＋2a·e－1≥0恒成立.Δ＝(2a·e)2－4(2a·e－1)≤0，即(a·e－1)2≤0，
所以a·e＝1.又e·(a－e)＝e·a－e2＝e·a－1＝0.
13.已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
解析 ∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴
∴m－n＝2－5＝－3.
14.若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________.
解析 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝.
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是________.
解析 因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，由B∈(0，π)，知B＝.
16．已知向量a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cos θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cos2θ的值为
解析 由a·b＝sin θ－2cos θ＝0，得tan θ＝2.
∴sin 2θ＋cos2θ＝＝＝1.
17.已知A(－1，3)，B(4，－2)，C(－2，－5).设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解 由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得
18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
(1)若2bcos C－2a＋c＝0，求角B的大小；
(2)若a＋c＝5，ac＝4，tan B＝1，求b2.
解 (1)由余弦定理得2b×－2a＋c＝0，
a2＋c2－b2＝ac，
则cos B＝＝＝，因为0(2)由tan B＝1，0由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝52－2×4－2×4×＝17－8.
19.解：（1）依题意 ，得，
，所以；
由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，
而当向量与同向时，可知，综上所述的取值范围为
20.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
解 (1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝＝＝.
(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝.
21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，
（1）计算（2）求·
解析 因为·＝2·，所以·－·＝·，
所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.
（采用坐标法也可以）
22.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
解 (1)因为m＝，
n＝(sin x，cos x)，m⊥n.所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为0所以x－＝，即x＝.
