第六章 平面向量及其应用 易错疑难集训（含解析）

《第六章　平面向量及其应用》易错疑难集训
一、易错题
易错点1 对向量夹角的概念理解不透彻
1.[2022北京海淀区高一下期末]已知向量a,b是两个单位向量,则“为锐角”是“|a-b|<”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,则当a与b的夹角在(0,)内变动时,实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(,)
C.(,1)∪(1,) D.(1,)
3.将一副三角板中的两个直角三角板按如图所示的位置摆放,若BC=8,则·=(　　)
A.-96 B.-32 C.32 D.96
易错点2 忽略三角形中边、角的隐含条件
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=,c=,C=60°,则B=(　　)
A.45° B.30°
C.45°或135° D.30°或150°
5.已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且=1.若△ABC的外接圆的面积为3π,则a+c的取值范围为　　　　 .
二、疑难题
疑难点1　极化恒等式的应用
1.[2022江苏扬州高一下期中]已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,E是CD的中点,则·的值为(　　)
A.4 B.12 C.16 D.-4
2.[2022河北石家庄高一月考]如图所示,正方形ABCD的边长为1,A,D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值是　　　　.
3.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是　　　　.
疑难点2　向量中的新定义问题
4.[2022江苏南京金陵中学高三上质检]已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),点B(1+,2-2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,则点P的坐标为(　　)
A.(-2,1) B.(4,1)
C.(2,-1) D.(0,-1)
5.(多选)[2022江苏省响水中学高二下学情分析]定义两个非零平面向量的一种新运算|a|*|b|=|a||b|sin,其中表示a,b的夹角,则对于两个非零平面向量a,b,下列结论一定成立的是(　　)
A.a在b上的投影向量为|a|sin·
B.(a*b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2
C.λ(a*b)=(λa)·b
D.若a*b=0,则a与b平行
6.(多选)[2022江苏南京航空航天大学附属高级中学高一下调研]定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),令a☉b=x1y2-x2y1,则下列说法正确的是(　　)
A.若a与b共线,则a☉b=0
B.a☉b=b☉a
C.对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b)
D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
7.(多选)平面内任意给定一点O和两个不共线的向量e1,e2,由平面向量基本定理,平面内任何一个向量m都可以唯一表示成e1,e2的线性组合:m=xe1+ye2(x,y∈R),则把有序数组(x,y)称为m在仿射坐标系{O;e1,e2}下的坐标,记为m=(x,y).在仿射坐标系{O;e1,e2}下,设a=(x1,y1),b=(x2,y2)为非零向量,且a,b的夹角为θ,则下列结论一定成立的是(　　)
A.a+b=(x1+x2,y1+y2)
B.若a⊥b,则x1x2+y1y2=0
C.若a∥b,则x1y2-x2y1=0
D.cos θ=
疑难点3　平面向量在三角形“四心”问题中的应用
8.[2022湖北麻城一中调研]已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
9.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,点M为BC中点,点O为△ABC的内心,且=λ+μ,则λ+μ=(　　)
A. B. C. D.1
10.(多选)[2022湖北荆州一中高一月考]著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,且AB=2,AC=3,则下列说法正确的是(　　)
A.·=0 B.·=-
C.· D.
11.在△ABC中,AB=AC,tan C=,H为△ABC的垂心,且满足=a+b,则a+b=　　　　.
12.[2022浙江强基联盟高一下联考]已知P是△ABC的外心,且3+4-2=0,则cos C=　　　　.
参考答案
一、易错题
1.A　因为向量a,b是两个单位向量,为锐角,所以a·b=|a||b|cos=cos∈(0,1),所以|a-b|=.当|a-b|<时,|a-b|=,所以2-2cos<2,所以0≤1,所以为锐角或=0°,所以“为锐角”是“|a-b|<”的充分不必要条件.
2.C　如图,作=a,则A(1,1).作如图所示的,,使∠AOB1=∠AOB2=,则∠B1Ox=,∠B2Ox=,故B1(1,),B2(1,).又a与b的夹角不为0,故m≠1.由图易知实数m的取值范围是(,1)∪(1,).
3.B　由题意可得AC=BCtan 30°=8=8,CD=BCcos 45°=8=4.又AC⊥BC,∠ACD=135°,所以··()=··=0-||||cos(180°-∠ACD)=-8×4=-32.
4.A　由正弦定理,得,得sin B=.又b5.(3,6]　解析由=1,可知c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),化简得ac=a2+c2-b2,则cos B=.又B∈(0,π),所以B=.设△ABC的外接圆的半径为R,则πR2=3π,解得R=.由=2R=2,得b=3,则ac=a2+c2-9=(a+c)2-2ac-9,所以(a+c)2-9=3ac≤(a+c)2,解得a+c≤6,当且仅当a=c=3时等号成立.根据两边之和大于第三边,可得a+c>3,所以a+c的取值范围是(3,6].
二、疑难题
1.C　方法一　·=()·=()·=()···=||||cos∠BAD+|AB|2=4×4×cos 60°+×42=16.
方法二　连接BE,取BE的中点O,连接AO,则·.因为四边形ABCD为菱形,边长为4,且∠BAD=60°,所以BE=2,BE⊥AB.又BO=BE=,AB=4,所以AO=,所以·=19-×12=16.
2.2　解析如图,取BC的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,OM,则·.因为OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当O,N,M三点共线时取等号,所以·的最大值为2.
3.-　解析方法一　如图,以BC的中点D为坐标原点,以直线BC为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x, -y),=(1-x,-y),所以=(-2x,-2y),·()=2x2-2y(-y)=2x2+2(y-)2-≥-,当x=0,y=时取等号,所以·()的最小值为-.
方法二　分别取BC的中点D,AD的中点O,则·()=2·=2(||2-|2)=2(||2-).又|PO|min=0,故所求最小值为-.
4.D　由题意可知=(,-2),把点B绕点A顺时针旋转(相当于逆时针旋转)后得到点P.设P(x,y),则=(cos+2sin,sin-2cos )=(-1,-3),所以解得x=0,y=-1,所以P(0,-1).
5.BD　
6.ACD　
7.AC　因为a=(x1,y1),b=(x2,y2),所以a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,所以a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,所以a+b=(x1+x2,y1+y2),故A正确;若a⊥b,则a·b=0,所以a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+(x1y2+x2y1)|e1||e2|cos+y1y2
=0,故B不一定正确;若a∥b,则存在唯一实数λ,使得a=λb,所以x1e1+y1e2=λ(x2e1+y2e2),所以所以x1y2=x2y1,故x1y2-x2y1=0,故C正确;因为cos θ=,由B可知a·b=x1x2+(x1y2+x2y1)e1·e2+y1y2,不一定有a·b=x1x2+y1y2,故D不一定正确.故选AC.
8.C　取AB的中点D,则2.因为[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],所以[2(1-λ)+(1+2λ)]=,而=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
9.A　由题意,知A=.如图,作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F,根据三角形面积与周长和内心的关系,求得内切圆半径OE=OF==1.易知四边形AEOF为正方形,则.又,则=λ+μ=(λ+),则则λ+μ=.故选A.
10.ACD　如图,因为H为垂心,所以AH⊥BC,则·=0,A正确;设D是BC的中点,因为G为重心,O为外心,所以A,G,D三点共线,OD⊥BC,所以··()·()=()=×(32-22)=,B错误;由B的分析过程得·=()··,C正确;由AH∥OD,得=2,所以AH=2OD,所以=2,即,D正确.故选ACD.
11.　解析如图所示,作AD⊥BC交BC于点D,BE⊥AC交AC于点E,则AD与BE的交点为H,D为BC的中点.不妨设AD=4m,则BD=CD=3m.因为tan∠BHD=tan∠AHE=tan C=,所以HD=m,所以AH=AD-HD=m=AD,所以()=,所以a+b=.
12.-　解析因为P是△ABC的外心,所以||=||=||.由题知2=3+4,两边平方得4||2=9||2+16||2+24·,即4||2=9||2+16||2+24||·||cos 2C,即4=9+16+24cos 2C,所以-=cos 2C=2cos2C-1,则cos C=±.又由2=3+4=3+3+4+4,得.因为>1,则C与外心P在AB的异侧,即C在劣弧上,所以C为钝角,即cos C=-.