8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习（含解析）

《第三节　简单几何体的表面积与体积》同步练习
（课时1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积）
一、基础巩固
知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.[2022安徽卓越县中联盟高一下期中联考]长方体相交于一个顶点的三条棱长之比是2∶3∶6,体对角线长为7,则这个长方体的表面积为(　　)
A.18 B.72 C.36 D.108
2.[2022江苏南通海安高一期末]已知正三棱锥的底面边长为4,高为2,则该三棱锥的表面积是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
3.[2022江西景德镇高一下期中]在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见,因为六、八是中国人的吉利数字,所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的,但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒,其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒,高为18.7 cm,底面边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据),用一层绒布将其侧面包裹住,忽略绒布的厚度,则至少需要绒布的面积为(　　)
A.120 cm2 B.162.7 cm2
C.785.4 cm2 D.1570.8 cm2
4.[2022重庆长寿区高一下期末]已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2,8的正方形,侧棱长为5,则该棱台的表面积为(　　)
A.148 B.168 C.193 D.88
5.正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为(　　)
A. B. C. D.
6.中国有一种容器叫作方斗,方斗的形状是一个上大下小的正四棱台,如图.如果一方斗的高为3分米,上底面边长为6分米,下底面边长为4分米,则此方斗外表面的侧面积为
　　　平方分米.
7.若棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为 (　　)
A.26 B.28 C.30 D.32
8.[2022江西上饶六校高一下期末联考]已知一个直四棱柱的高为2,其底面四边形ABCD水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形,则这个四棱柱的体积为 (　　)
A.4 B.8 C.8 D.16
9.[2022吉林长春市一三七中学高一下期中]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是36,点E在棱CC1上,且CE=2EC1,则三棱锥E-BCD的体积是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
10.[2022北京东城区高一下期末]已知正四棱锥S-ABCD的底面边长是2,体积是,那么这个四棱锥的侧棱长为(　　)
A. B.2 C. D.2
二、能力提升
1.如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为6 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥,则当△ABC的边长变化时,三棱锥的表面积S的取值范围是(　　)
A.(0,36π) B.(0,27)
C.(0,45-9) D.(0,54)
2.(多选)攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长近似为 m,高近似为 m,则(　　)
A.正四棱锥的底面边长近似为3 m
B.正四棱锥的斜高近似为2 m
C.正四棱锥的侧面积近似为48 m2
D.正四棱锥的体积近似为12 m3
3.(多选)[2022湖北省部分省级示范高中高二下期末]截角四面体亦称“阿基米德多面体”,是一种半正八面体,是由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体,则 (　　)
A.该截角四面体一共有12条棱
B.该截角四面体一共有8个面
C.该截角四面体的表面积为7
D.该截角四面体的体积为
4.[2022河南信阳高一期末]《九章算术》中将正四棱台体(棱台的上下底面均为正方形)称为方亭.如图,现有一方亭ABCD-EFHG,其中上底面与下底面的面积之比为1：4,BF=EF,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形.已知方亭四个侧面的面积之和为12,则方亭的体积为　　　　.
5.《九章算术》中将三条棱互相平行,且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,如图所示,已知五面体ABCDEF为羡除,其中AB∥CD∥EF,AB=4,CD=8,EF=3,CD与EF的距离等于8,点A到平面CDEF的距离为6,则该羡除的体积为　 　.
6.有两个相同的直三棱柱,高为(a>0),底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,求实数a的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.B　由题意可设长方体的棱长分别为2a,3a,6a,所以体对角线长为=7,解得a=1,所以这个长方体的表面积为2×(2×3+2×6+3×6)=72.故选B.
2.D　如图,正三棱锥O-ABC中,OM=2,取BC的中点B,连接AN,ON,则M在AN上,且MN=AN.又AB=4,BN=2,所以AN==2,所以MN=,则ON=,所以S△OBC=BC·ON=,S△ABC=BC·AN=4,故三棱锥的表面积为×3+4=12.
3.C　根据正六棱柱的底面边长为7 cm,高为18.7 cm,得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7=785.4(cm2),所以至少需要绒布的面积为785.4 cm2.
4.A　棱台的侧面是等腰梯形,高h==4,所以一个侧面积为(2+8)×4=20,所以该棱台的表面积S=20×4+2×2+8×8=148.
5.B　设正方体的棱长为a,则正方体的表面积是6a2.以正方体的四个顶点为顶点作正四面体,则棱长为a,它的表面积是4××(a)2×=2a2,所以正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为.故选B.
6.20　解析如图,由题意可得OO1=3,AB=6,A1B1=4,所以AO=3,A1O1=2,所以AA1=,则梯形ABB1A1的高为,所以梯形ABB1A1的面积为×(6+4)×=5,所以此方斗外表面的侧面积为5×4=20.
7.B　该棱台的体积V=×3×(4+16+)=28.
8.D　因为直观图是正方形,所以四边形ABCD的直观图的面积是2×2=4,则四边形ABCD的面积是4×2=8,所以直四棱柱的体积是8×2=16.
9.C　VE-BCD=S△BCD·CE=S△BCD·CC1=·=4.故选C.
10.C　因为正四棱锥S-ABCD底面边长是2,所以底面积为2×2=4.设正四棱锥的高为h,由V=×4h=,得h=,所以侧棱长为l=.
二、能力提升
1.D　设三棱锥底面的边长为a,则02.BD　如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为正方形ABCD的中心,则SO为正四棱锥S-ABCD的高.在Rt△SOA中,OA==3(m),则AB=6 m,则斜高为=2(m),侧面积S=×6×2×4=24(m2),体积V=×62×=12(m3).故选BD.
3.BCD
4.　解析由题意得,设EF=2x,则AB=4x,BF=x.如图,过点E,F在等腰梯形ABFE内分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为点M,N.在等腰梯形ABFE中,因为EF∥AB,EM⊥AB,FN⊥AB,则四边形MNFE为矩形,所以MN=EF,EM=FN,则MN=2x.因为AE=BF,EM=FN,∠AME=∠BNF=90°,所以Rt△AME≌Rt△BNF,所以AM=BN==x.在Rt△BNF中,由勾股定理得FN=x,所以等腰梯形ABFE的面积为S=·x=3x2=,所以x=1,所以EF=2x=2,AB=4x=4,方亭的高h==2,故方亭的体积为×h×(S上+S下+)=×2×(4+16+)=.
5.120　解析如图,连接AC,EC,AF,则该羡除的体积V=VA-DEC+VA-EFC+VA-BFC.设C到平面ABFE的距离为d,则VA-EFC=VC-AEF=S△AEF·d.VA-BFC=VC-ABF=S△ABF·d.又,所以,即VA-BFC=VA-EFC.因为VA-EFC=×3×8×6=24,VA-DCE=×8×8×6=64,所以V=64+24+24×=120.
6.解析由题意,知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱,有如下四种情况:
①边长为5a,的面重合在一起,拼成一个四棱柱,表面积为24a2+28;
②边长为4a,的面重合在一起,拼成一个三棱柱或四棱柱,表面积为24a2+32;
③边长为3a,的面重合在一起,拼成一个三棱柱或四棱柱,表面积为24a2+36;
④两个直三棱柱的底面重合在一起,拼成一个三棱柱,表面积为12a2+48.
因为表面积最小的是一个四棱柱,
所以24a2+28<12a2+48,即12a2<20,
解得0