第四章 指数函数与对数函数 单元检测（含答案）

第四章 指数函数与对数函数单元检测
一、单选题
1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．9
3．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B．
C． D．
4．已知函数是定义在R上的偶函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．现有某生物死亡若干年后，考古学家测算得其体内碳14含量衰减为原来的67.25%，则该生物死亡的年数大约为（参差数据：）
A．3037 B．3056 C．3199 D．3211
二、多选题
9．若，则下列说法中正确的是（ ）
A．当为奇数时，的次方根为 B．当为奇数时，的次方根为
C．当为偶数时，的次方根为 D．当为偶数时，的次方根为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．在上单调递增 D．在上单调递减
11．下列正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，且，则
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则或
D．若方程有两个不同的实数根，则
三、填空题
13．函数的减区间是________；
14．若函数是偶函数，则__________．
15．已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_________．
16．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则______．
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)判断的奇偶性，并加以证明.
19．已知函数.
(1)当时，利用单调性定义证明在上单调递增；
(2)若存在，使，求实数a的取值范围.
20．已知函数（，且）．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求a的值．
21．求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法求值域，例如：，所以函数的最小值为－1，当且仅当时取得最小值．
(1)利用配方法求函数的最小值；
(2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买x吨，运费为4万元每次，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值应为多少？
22．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数有2个零点，求实数的取值范围．
答案
1．C
2．D
3．C
4．D
5．D
6．A
7．A
8．A
9．AD
10．ABD
11．ABD
12．CD
13．
14．1
15．
16．
17．（1）原式
（2）原式
18．（1）由函数是指数函数可得，解得
（2）是偶函数，
证明：由（1）可得，所以，定义域为
∵，
∴是偶函数.
19．（1）取，则，
，故，，故，，，
故，即，函数单调递增.
（2），故，即，
当时，，不成立；
当时，不成立；
当时，，，故，故，解得，
综上所述：
20．（1）当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.
证明如下：
由，得函数的定义域为，
，且，则，
，
当时，函数在上为减函数，
所以，即，
此时函数在上为减函数；
当时，函数在上为增函数，
所以，即，
此时函数在上为增函数；
（2）由(1)知，当时，函数在上为减函数；
则在上，，
得，解得；
当时，函数在上为增函数；
则在上，，
得，解得；
综上，a的值为或.
21．（1）由，则，
所以函数的最小值为4，当且仅当即时取得最小值.
（2）一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4万元每次，
一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 元，
由，有，
当且仅当 即吨时，等号成立，
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
22．（1）易知函数的定义域为，
函数为偶函数．
，即，
.
（2），
设，
，
所以当时单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以不等式的解集为
（3）函数与图象有2个公共点，
有两个解，
即有两个解，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
从而必须满足：
，
解得，
所以实数的取值范围是．