8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习（含解析）

《第三节　简单几何体的表面积与体积》同步练习
（课时2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积）
一、选择题
1.[2022陕西汉中高一上期末]中国古代数学专著《九章算术》中记载了一种被称为曲池的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体.现有一个如图所示的曲池,AA1垂直于底面,且AA1=3,底面扇环的圆心角为,弧AD的长度是弧BC的长度的3倍,若CD=2,则该曲池的体积为(　　)
A. B.5π C. D.6π
2.[2022辽宁葫芦岛高一下期末]万花筒是由苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明的一种光学玩具,将有鲜艳颜色的实物放于圆筒的一端,圆筒中间放置一正三棱镜(正三棱柱),另一端用开孔的玻璃密封,由孔中看去即可观测到对称的美丽图象.已知正三棱镜底面边长为6 cm,高为16 cm,现将该三棱镜放进一个圆柱形容器内,则该圆柱形容器的侧面积至少为(注:容器壁的厚度忽略不计)(　　)
A.96π cm2 B.64π cm2 C.32π cm2 D.192π cm2
3.[2022江西九校高二上期中联考]已知圆台的上、下底面的半径分别为3,4,母线长为5,若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上,则球O的表面积为(　　)
A.50π B.100π C.150π D.200π
4.新情境[2022陕西渭南高二下月考]一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫作“球台”,两平行平面间的距离叫作球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台,其直观图如图2.已知杯底的直径为2 cm,杯口直径为4 cm,杯的深度为 cm,则该卧足杯侧面所在球面的表面积为(　　)
A.100π cm2 B.96π cm2
C.π cm2 D.169π cm2
5.(多选)如图,直角梯形ABCD中,AB=2,CD=4,AD=2,则(　　)
A.以AD所在直线为旋转轴,将此梯形旋转一周,所得几何体的侧面积为16π
B.以CD所在直线为旋转轴,将此梯形旋转一周,所得几何体的体积为
C.以AB所在直线为旋转轴,将此梯形旋转一周,所得几何体的表面积为20π+4π
D.以BC所在直线为旋转轴,将此梯形旋转一周,所得几何体的体积为
6.(多选)[2022江苏镇江一中段考]如图,在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶,得到圆锥SO(其中S为顶点,O为底面圆心),母线SA长为6 m,C是母线SA的靠近点S的三等分点,从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,若灯光带的最小长度为2 m,则(　　)
A.圆锥SO的侧面积为12π m2
B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为18 m2
C.圆锥SO的外接球表面积为72π m2
D.棱长为 m的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
7.[2022安徽阜阳高一下期末]每年元宵节人们会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,来营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面的一部分(除去两个球冠).如图2,球冠是指一个球面被平面所截后剩下的曲面,截得的圆面是底,垂直于截面的直径被截得的部分是高.若球冠所在球的半径为R,球冠的高为h,则球冠的面积S=2πRh.已知该灯笼的高为46 cm,圆柱的高为3 cm,圆柱的底面圆直径为30 cm,则围成该灯笼所需布料的面积为(　　)
A.2 090π cm2 B.2 180π cm2
C.2 340π cm2 D.2 430π cm2
8.[2022安徽宣城中学高一下期中]紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品,经典的壶型有西施壶、石瓢壶、潘壶等,其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.一个石瓢壶壶体的相关数据(单位:cm)如图中所示,则该石瓢壶的容积约为(　　)
A. cm3 B. cm3
C.98π cm3 D. cm3
9.[2022广东东莞高一下期末]已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为(　　)
A. B. C. D.
二、非选择题
10.[2022河南安阳高一下联考]将大小不同的两个空心铁球O2,O1依次放入一倒置、有盖且装满水的圆锥形容器中,若两球相切,两球均与圆锥形容器的侧面相切,且上面的大球O1与圆锥形容器的上盖也相切.圆锥形容器的轴截面是边长为6的正三角形ABC,如图所示,则放入两球后溢出的水的体积为　　　　.
11.天津滨海新区文化中心地处天津滨海新区开发区,是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色,被称为“滨海之眼”,如图所示,中心球状建筑引起了小明的注意,为了测量球的半径,小明设计了两个方案.方案甲:构造正三棱柱,侧面均与球相切,如图所示,底面边长约为30 m,估计此时球的完整表面积为　　　　m2;方案乙:测得球被地面截得的圆的周长约为16π m,地面到球顶部高度约为16 m,估计此时球的完整体积为　　　　m3.
12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=1,∠ABC=45°,该三棱柱的高为2.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
(2)将两块形状与该三棱柱完全相同的木料按如图所示两种方案沿阴影面进行切割,把木料一分为二,留下体积较大的一块木料.根据所学的知识,请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大,说明理由,并求出这个较大的表面积.
参考答案
一、选择题
1.D　不妨设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r,由弧AD的长度是弧BC的长度的3倍,知R=3r,所以CD=R-r=2r=2,所以r=1,R=3.又AA1垂直于底面,底面扇环的圆心角为,故该曲池的体积V=×(R2-r2)×AA1=6π.
2.B　由题意知圆柱的高为16 cm.当该圆柱形容器的侧面积最小时,底面圆即为三棱柱底面的外接圆.设底面圆的半径为R cm,由正弦定理知2R=,故R=2,此时侧面积为2π×2×16=64π(cm2).故选B.
3.B　由题意得圆台的高为h==7.设圆台的上、下底面圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O在直线O1O2上.设OO1=x,球O的半径为R.当圆台的两个底面在球心O的异侧时,OO2=7-x,所以R2=x2+32=(7-x)2+42,解得x=4,R=5;当圆台的两个底面在球心O的同侧时,OO2=x-7,R2=x2+32=(x-7)2+42,解得x=4,R=5(舍去).故球O的表面积为4πR2=100π.
4.A　如图所示,作出球台的轴截面,设球心为O,过O作OE⊥AB交AB于点E,交CD于点F,连接OD,OA.由题意得AB=2,CD=4,EF=,设球的半径为R,则R2=DF2+OF2,R2=AE2+OE2,所以解得所以该卧足杯侧面所在球面的表面积为4πR2=100π(cm2),故选A.
5.BCD　延长DA,CB交于点E,如图1,由题意得,AE=AD=2,BE=BC==2 .对于A,以AD所在直线为轴旋转,得到一个圆台,此圆台的侧面积S侧=(2+4)×2π=12π,故A错误;对于B,以CD所在直线为轴旋转,得到一个以2为底面半径,以2为高的圆柱与一个以2为底面半径,以2为高的圆锥的组合体,所以该组合体的体积为V=V圆柱+V圆锥=22×2π+×22×2π=,故B正确;对于C,以AB所在直线为轴旋转,得到一个圆柱挖去一个圆锥的组合体,所以该组合体的表面积为S=4π+2π×2×4+2×2π=20π+4π,故C正确;对于D,以BC所在直线为轴旋转,得到一个圆锥和一个圆台挖去一个小圆锥的几何体,如图2,所以该几何体的体积为V=×(2)2×2π+×[()2π++(2)2π]××()2×π=,故D正确.故选BCD.
6.AD　设圆锥的底面半径为r.如图,△A'SC为圆维SO的侧面展开图,且A'S=6,SC=2,A'C=2,所以cos∠A'SC==-,所以∠A'SC=,所以,所以r=2 m,所以圆锥的侧面积为×6×2π×2=12π(m2),故A正确.在△ASB中,cos∠ASB=,sin∠ASB=,所以过点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=×6×6×=8(m2),故B错误.设圆锥SO的外接球的半径为R,则R2=(SO-R)2+r2.又SO==4(m),所以R2=+4,所以R=m,则外接球表面积为4πR2=4π××2=(m2),故C错误.设圆锥SO的内切球的半径为t,则,所以t=m.在棱长为m的正四面体中,设其外接球半径为r1又此正四面体的底面外接圆半径为=1(m),高为(m),所以=1+,所以r1=m.因为r17.B　由题意得R2-()2=152,解得R=25 cm,h=25-20=5(cm),所以两个球冠的表面积之和为2S=4πRh=500π(cm2).灯笼中间球面的表面积为4πR2-500π=2 000π(cm2).上下两个圆柱的侧面积之和为2×30π×3=180π(cm2),所以围成该灯笼所需布料的面积为2 000π+180π=2 180π(cm2).
8.B　方法一(公式法)　由题图可知S上=π×()2=9π(cm2),S下=π×()2=25π(cm2),所以圆台的体积V=(S上+S下+)×h=(9π+25π+)×4=π(cm3),所以该石瓢壶的容积约为π cm3.
方法二(补形法)　将圆台补形为圆锥,则圆台的体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积.设大圆锥的高为h cm,则,解得h=10,则大圆锥的底面半径为5 cm,高为10 cm,小圆锥的底面半径为3 cm,高为6 cm,所以圆台的体积V=×π×52×10-×π×32×6=π(cm3),所以该石瓢壶的容积约为π cm3.
9.B　圆柱的轴截面ABB1A1如图所示,记圆柱上、下底面圆的圆心分别为O1,O2,连接O1O2,取O1O2的中点为O,连接OB,则点O为外接球球心,OB为外接球半径.因为母线BB1长度为2,底面半径r=O2B=1,所以外接球半径R=OB=,所以外接球的体积V=π×()3=.
二、非选择题
10.π　解析设球O2,O1的半径分别为r,R.正三角形ABC的高h=3,由h=O1A+R=+R=3,可得R=.又O2A=h-2R-r=-r,O2A==2r,解得r=,所以放入两球后溢出的水的体积为πR3+πr3=π.
11.300π　　解析方案甲,过球心作与正三棱柱底面平行的截面,如图1,则BM=BC=15,∠OBM=,所以tan∠OBM=tan,即球的半径R=OM=×15=5(m),所以S=4πR2=300π(m2).
方案乙,由周长可得截面圆半径r==8(m),过球心作垂直于地面的截面,如图2.由直角三角形可得(16-R)2+r2=R2,解得R=10 m,所以V=πR3=(m3).
12.解析(1)易知△ABC为直角三角形,S△ABC=AB·AC=,
则三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=×2=1.
(2)按方案1切割:
因为,故体积较大的一块是多面体AC-C1A1B1,其表面积S1=.
在△ACB1中,AC=1,AB1=,B1C=,
则AC2+A=B1C2,所以△ACB1为直角三角形,其面积,
故S1=2++1+.
按方案2切割:
因为,故体积较大的一块是多面体BC-C1A1B1,其表面积S2=.
在△BCA1中,BC=,A1C=,A1B=,
所以△BCA1为等腰三角形,其面积,
故S2=1+2+1+=4+2.
S2-S1=4+2>0,
故S2>S1.
综上,按方案2会使留下的木料表面积较大,这个较大的表面积为4+2.