人教A版必修第二册第六、七章综合检测
一、单项选择题
1、已知i为虚数单位，若复数z＝，则|iz|＝( )
A．1 B．
C. D．2
2、已知向量m＝(－7,2＋a)，n＝(a＋13，－6)，若n＝λm，则λ＝( )
A．－2或 B．－2或
C．－2 D．
3、已知单位向量a，b满足(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
4、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，则cos A＝( )
A. B．
C. D．
5、已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
6、在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
7、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2－b2)sin(A＋B)－(a2＋b2)sin(A－B)＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8、如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
二、多项选择题
9、已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是( )
A．z2＝ B．|z1|＝
C．|z1＋z2|≥2 D．12＝－i
10、下列命题中的真命题是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
11、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A.＝－ B.＝－＋
C.＋＝ D.＋＋＝0
12、如图，△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有( )
A．sin A＝ B．BD＝1
C．5＝3 D．△BCD的面积为
三、填空题
13、已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则(a－b)a＋b＝________．
14、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
15、已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．
16、被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山茂密丛林之中，故名“少林寺”．登上峻极峰(嵩山顶，一般指峻极峰)，倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌参差，大有“一览众山小”之气势．山峰间云岚瞬息万变，美不胜收．如图，某人在山脚A处(海拔约为350米)测得观看日出的最佳观测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1 050米到达休息点D，此时测得B处的仰角约为75°，则B处的海拔约为________米．
四、解答题
17、已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
19、已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
20、已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f(A)＝1，求△ABC的周长．
21、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
22、在①asin B＝b；
②△ABC的面积S△ABC＝bc；③bc＝b2＋c2－a2这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，b＋c＝6，________.
(1)求a的最小值；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．人教A版必修第二册第六、七章综合检测（答案）
一、单项选择题
1、已知i为虚数单位，若复数z＝，则|iz|＝( B )
A．1 B．
C. D．2
解：iz＝＝＝＝＝2＋i，所以|iz|＝＝.
2、已知向量m＝(－7,2＋a)，n＝(a＋13，－6)，若n＝λm，则λ＝( B )
A．－2或 B．－2或
C．－2 D．
解：因为n＝λm，所以向量n∥m，
即有(a＋13)(2＋a)－(－6)×(－7)＝0，解得a＝1或a＝－16.
当a＝1时，λ＝－2，当a＝－16时，λ＝，故选B.
3、已知单位向量a，b满足(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为( C )
A. B．
C. D．
解：因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2cos〈a，b〉＋1＝0，则cos〈a，b〉＝－.因为a与b的夹角的取值范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.
4、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，则cos A＝( D )
A. B．
C. D．
解：由S△ABC＝acsin B＝2sin B，且c＝2，可得a＝2，所以cos A＝＝.
5、已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则( D )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
解：＝＋＝6b，得不出＝λ，
∴，不共线，∴A，B，D三点不共线，A错误；
得不出＝λ，∴，不共线，∴A，B，C三点不共线，B错误；
得不出＝λ，∴，不共线，∴B，C，D三点不共线，C错误；
＝＋＝3a＋9b＝3，∴A，C，D三点共线，D正确．
故选D.
6、在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( B )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
解：因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.
7、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2－b2)sin(A＋B)－(a2＋b2)sin(A－B)＝0，则△ABC是( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解：由已知得a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]－b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝0 2a2cos Asin B－2b2sin Acos B＝0 2sin2A·cos Asin B－2sin2Bsin Acos B＝0，
因为sin Asin B≠0，所以2sin Acos A＝2sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B.
由于A，B∈(0，π)，因此由sin 2A＝sin 2B 2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝.因此△ABC是直角三角形或等腰三角形.
8、如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·＝( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
解：在△ABC中，＝(＋)，∴·＝(＋)·＝(·＋·)．
∵O是△ABC外接圆的圆心，||是半径长，
∴2||·cos∠OAB＝||，∴·＝||·||cos∠OAB＝＝6.同理可得·＝＝4，∴·＝5.故选C.
二、多项选择题
9、已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是( ABD )
A．z2＝ B．|z1|＝
C．|z1＋z2|≥2 D．12＝－i
解：因为z1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝＝，故A正确；|z1|＝＝，|z2|＝＝，所以|z1|＝，故B正确；因为|z1＋z2|＝＝＜2，故C错误；12＝(1＋i)×＝－i，故D正确．故选ABD.
10、下列命题中的真命题是( BC )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
解：(1)A不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
C正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC．
11、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( BCD )
A.＝－ B.＝－＋
C.＋＝ D.＋＋＝0
解：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
所以＝＝－，故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B正确；
＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选BCD.
12、如图，△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有( BCD )
A．sin A＝ B．BD＝1
C．5＝3 D．△BCD的面积为
解：由cos 2∠ABC＝－，得2cos2∠ABC－1＝－，又∠ABC为钝角，解得cos∠ABC＝－.因为c＝2，b＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，得＝a2＋4－4a×，解得a＝2，可知△ABC为等腰三角形，即A＝C，所以cos∠ABC＝－cos 2A＝－(1－2sin2A)＝－，解得sin A＝，故A错误．cos A＝＝，在Rt△ABD中，＝cos A，得AD＝，可得BD＝＝＝1，故B正确．CD＝b－AD＝－＝，可得＝，则5＝3，故C正确．S△BCD＝a·CDsin C＝×2××＝，故D正确．
三、填空题
13、已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则(a－b)a＋b＝___1_____．
解：由(1＋i3)z＝2＋i，i3＝－i可得
z＝＝＝＝a＋bi，所以a＝，b＝，从而(a－b)a＋b＝(－1)2＝1
14、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝___3_____．
解：由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3.
15、已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为___1_____．
解：由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝|||AC|cos∠BAC＝||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||·sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1.
16、被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山茂密丛林之中，故名“少林寺”．登上峻极峰(嵩山顶，一般指峻极峰)，倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌参差，大有“一览众山小”之气势．山峰间云岚瞬息万变，美不胜收．如图，某人在山脚A处(海拔约为350米)测得观看日出的最佳观测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1 050米到达休息点D，此时测得B处的仰角约为75°，则B处的海拔约为____1400____米．
解：由题意可知AD＝1 050米，∠BAD≈45° －30°＝15°，∠DBC≈90°－75°＝15°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC≈45°－15°＝30°，∴∠ADB＝180°－∠ABD－∠BAD≈135°.在△ABD中，由正弦定理＝，得AB≈＝1 050(米)．在△ACB中，BC≈AB×sin 45°≈1 050×＝1 050(米)，又山脚A处的海拔约为350米，∴B处的海拔约为1 050＋350＝1 400(米)．
四、解答题
17、已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
解 (1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
19、已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，
b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
20、已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f(A)＝1，求△ABC的周长．
解：(1)f(x)＝sin x cos x＋cos2x
＝sin2x＋cos 2x＋
＝sin ＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin ＝，
又0
所以<2A＋<，
所以2A＋＝，故A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以a2＝b2＋c2－bc＝7，
又sin B＝3sin C，所以b＝3c，
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，
所以b＝3，故△ABC的周长为4＋.
21、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
22、在①asin B＝b；
②△ABC的面积S△ABC＝bc；③bc＝b2＋c2－a2这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，b＋c＝6，________.
(1)求a的最小值；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选①，
由正弦定理得sin Asin B＝sin B，
因为sin B≠0，所以sin A＝，
因为A为锐角，所以A＝.
选②，
因为S△ABC＝bcsin A＝bc，
所以sin A＝，
因为A为锐角，所以A＝.
选③，
易得cos A＝＝＝，
因为A为锐角，所以A＝.
(1)解法一 在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－3bc＝36－3bc，
因为bc≤2＝9，当且仅当b＝c＝3时取等号，
所以36－3bc≥36－27，即a2≥9，解得a≥3，
所以a的最小值为3.
解法二 由正弦定理＝＝，得＝，
所以a＝＝，
因为sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＋sin B＝＝sin，B∈，所以B＋∈，当B＋＝时，sin取得最大值，即sin B＋sin C取得最大值.
所以a＝的最小值为3.
(2)由题意，设∠ACD＝θ，因为AD＝CD，所以∠CAD＝θ，θ∈，在△ABD中，∠BAD＝－θ，B＝π－θ，AD＝2BD，
由正弦定理＝，
即＝，
可得2sin＝sin，
即cos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ，
所以sin θ－cos θ＝0，即sin＝0，
又－＜θ－＜，所以θ－＝0，即θ＝，所以C＝，B＝，
所以△ABC为直角三角形．