8.6.2 直线与平面垂直 同步练习（含解析）

《第六节　空间直线、平面的垂直》同步练习
（课时2　直线与平面垂直）
一、基础巩固
知识点1　直线与平面垂直的判定
1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是(　　)
A.α∥β,且m α B.m∥n,且n⊥β
C.m⊥n,且n β D.m⊥n,且n∥β
2.[2022天津河西区高一期末]如图,圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则(　　)
A.BC⊥平面A'AC B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC D.AC⊥平面A'AB
3.[2022北京市第十二中学高一段考]如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(多选)[2022安徽皖南名校高一下期末联考]如图,在以下正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 (　　)
5.[2022北京朝阳区高一下期末改编]如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=.证明AC⊥平面BDD1,并求点C到平面BDD1的距离.
6.[2022江苏省镇江中学高一月考]如图,四面体PABD中,AD⊥平面PAB,PB⊥PA.
(1)求证:PB⊥平面APD;
(2)在△APD中,若AG⊥PD,G为垂足,求证:AG⊥BD.
知识点2　直线与平面所成的角
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16,点P在平面A1B1C1D1上,且点A1,C与点P间的距离分别为2,2,则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
8.[2022江苏南京金陵中学高二下适应性考试]如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=90°,则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是以BC为底边的等腰直角三角形,且BC=4,AA1=4,D是BC边的中点.
(1)证明:AD⊥平面BB1C1C.
(2)求直线BB1与平面ADB1所成角的正弦值.
知识点3　直线与平面垂直的性质
10.已知l,m,n是三条不同的直线,α是一平面.下列命题中正确的个数为(　　)
①若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
②若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n;
③若l∥α,l⊥m,则m⊥α.
A.1 B.2 C.3 D.0
11.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(　　)
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则直线AA1到平面BB1D1D的距离是(　　)
A.1 B. C. D.
13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN.
二、能力提升
1.[2022江西南大附中高二下段考]如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,点G是点P在平面ABC内的投影,则点G是△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
2.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1 与平面BED的距离为(　　)
A.1 B. C. D.2
3.(多选)[2022湖北新高考协作体高一下联考]如图所示,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则 (　　)
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AB=AA1,D是A1B1的中点,点F在棱BB1上,记B1F=λBF,若AB1⊥平面C1DF,则实数λ=(　　)
A. B. C. D.1
5.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2.下列说法正确的是(　　)
A.四棱锥C-A1B1BA为“阳马”
B.四面体A1-CC1B1为“鳖臑”
C.四棱锥B-A1ACC1体积的最大值为
D.过A点分别作AE⊥A1B于点E,AF⊥A1C于点F,则EF⊥A1B
6.[2022山西运城高一下期末]如图已知∠AOB=∠AOC=60°,在平面α内,OA是平面的斜线,且OA=OB=OC=1,BC=,则直线OA与平面α所成的角的大小为　　　　.
7.[2022北京东城区高一下期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,点E为侧棱PA的中点,过C,D,E三点的平面交侧棱PB于点F.
(1)求证:AB∥平面CDEF.
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求证:PA⊥CF.
条件①:PD=AD;条件②:DE⊥平面PAB.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 证明你的结论.
(2)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求实数a的取值范围.
9.[2023湖南师范大学附属中学高二入学考试]如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PC的中点为M,BD的中点为O,且PO⊥平面ABCD.
(1)证明:PA∥平面MBD;
(2)若PD⊥PB,∠DAB=60°,AD=1,求直线PO与平面PAD所成角的正弦值.
10.[2022河南驻马店高一下期末]如图,三棱锥P-ABC中,△PAB,△ABC均为等边三角形,PA=4,O为AB的中点,点D在AC上,满足AD=1,且平面PAB⊥平面ABC.
(1)证明:DC⊥平面POD.
(2)若点E为PB的中点,问:直线AC上是否存在点F,使得EF∥平面POD.若存在,求出FC的长及EF到平面POD的距离;若不存在,说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.B　A中,由α∥β,且m α,知m∥β;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的任意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β,B符合题意;C,D中,m β或m∥β或m与β相交,不符合题意.故选B.
2.A　
A √ 依题意得AA'⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以AA'⊥BC,又AB是底面圆的直径,所以BC⊥AC,又AA'∩AC=A,AA',AC 平面A'AC,所以BC⊥平面A'AC.
B 显然BC与AB不垂直,所以BC不可能垂直于平面A'AB.
C 显然AC与A'C不垂直,所以AC不可能垂直于平面A'BC.
D 显然AC与AB不垂直,所以AC不可能垂直于平面A'AB.
3.D　因为PA⊥平面ABC,AB 平面ABC,AC 平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,所以△PAB,△PAC为直角三角形.又AB是圆O的直径,所以BC⊥AC,△ABC为直角三角形.因为PA∩AC=A,PA 平面PAC,AC 平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又PC 平面PAC,所以BC⊥PC,△PBC为直角三角形.综上,四面体P-ABC的四个面都是直角三角形.故选D.
4.BD
A 由异面直线AB与CE的夹角为45°,知直线AB与平面CDE不垂直.
B √ 由题图知,AB⊥CE,AB⊥ED,又CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE.
C 由异面直线AB与CE的夹角为60°,知直线AB与平面CDE不垂直.
D √ 连接AC,因为ED⊥AC,ED⊥BC,AC∩BC=C,所以ED⊥平面ABC,所以ED⊥AB.连接AD,因为CE⊥AD,CE⊥BD,AD∩BD=D,所以CE⊥平面ABD,所以CE⊥AB.又ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.
5.解析因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
又侧棱AA1⊥底面ABCD,AC 底面ABCD,所以AA1⊥AC.
又DD1∥AA1,所以DD1⊥AC.
又DD1∩BD=D,DD1,BD 平面BDD1,所以AC⊥平面BDD1.设AC,BD交于点O,则CO的长即为点C到平面BDD1的距离.
又AB=2,∠BAD=,所以CO=AO=AB·cos,
即点C到平面BDD1的距离为.
6.证明(1)因为AD⊥平面PAB,PB 平面PAB,所以AD⊥PB,
又PB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD 平面APD,
所以PB⊥平面APD.
(2)由(1)可得PB⊥平面APD,AG 平面APD,
所以PB⊥AG.
又AG⊥PD,PD∩PB=P,PD,PB 平面PBD,
所以AG⊥平面PBD,
因为BD 平面PBD,所以AG⊥BD.
7.B　如图所示:
设正方体的棱长为a,则a3=16,故a=2,即AB=2.连接A1C1,A1C1=a=4,C1P==2,又A1P=2,所以点P在A1C1上且为中点.连接AC与BD交于点O,连接OP.可知AC⊥平面BDD1B1,则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角.在直角三角形COP中,sin∠CPO=.故选B.
8.C　如图,因为PA=PB=PC,所以P在底面的射影O是△ABC的外心.又∠BAC=90°,所以O为BC的中点,所以AO为PA在底面的射影,∠PAO即为所求的角.在等边△PBC中,PO=PB=PA,所以sin∠PAO=.又∠PAO为锐角,所以∠PAO=60°,即PA与底面ABC所成的角为60°.
9.解析(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.
又BB1⊥平面ABC,AD 平面ABC,则BB1⊥AD.
因为BC∩BB1=B,BC,BB1 平面BB1C1C,
所以AD⊥平面BB1C1C.
(2)由(1)知,AD⊥平面BB1C1C,
又B1D 平面BB1C1C,所以AD⊥B1D.
可求出AD=2,AB=4,B1D=2,
所以B1D·AD=×2×2=4,S△ABD=BD·AD=×2×2=4.
设点B到平面ADB1的距离为d,
由,得·d=S△ABD·B1B,即×4×d=×4×4,解得d=,
即点B到平面ADB1的距离为.
设BB1与平面ADB1所成角为θ,
则sin θ=,
即BB1与平面ADB1所成角的正弦值为.
10.B　对于①,因为l∥m,m∥n,所以l∥n,又l⊥α,所以n⊥α,即①正确;对于②,因为m⊥α,n⊥α,所以m∥n,又l∥m,所以l∥n,即②正确;对于③,因为l∥α,l⊥m,所以m∥α或m α或m⊥α或m与α斜交,即③错误.
11.B　因为EG⊥平面α,FH⊥平面α,所以E,F,H,G四点共面.又PQ 平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ.又EG∩EF=E,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B.
12.C　如图所示,连接AC交BD于点O.因为AA1∥BB1,AA1 平面BB1D1D,BB1 平面BB1D1D,所以点A到平面BB1D1D的距离即直线AA1到平面BB1D1D的距离.易得AC⊥平面BB1D1D,故AO的长即为点A到平面BB1D1D的距离,AO=AC=,所以直线AA1到平面BB1D1D的距离为.故选C.
13.证明因为AB⊥平面PAD,AE 平面PAD,
所以AE⊥AB.
又AB∥CD,所以AE⊥CD.
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.
又MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以MN⊥平面PCD,
所以AE∥MN.
二、能力提升
1.C　连接AG,BG.因为点G是点P在平面ABC内的投影,所以PG⊥平面ABC,所以PG⊥BC.又PA⊥BC,PA∩PG=P,所以BC⊥平面APG,所以BC⊥AG.同理可得AC⊥BG,所以点G是△ABC的垂心.
2.A　如图,连接AC交BD于点O,连接OE.在△CC1A中,OE∥AC1.又OE 平面BDE,AC1 平面BDE,所以AC1∥平面BDE,所以直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离.连接AE.在三棱锥E-ABD中,V三棱锥E-ABD=S△ABD×EC=×2×2×.在三棱锥A-BDE中,BD=2,BE=,DE=,所以S△EBD=×2=2.设点A到平面BED的距离为h,则V三棱锥A-BDE=S△EBD×h=×2×h=h=,解得h=1.
3.AC　对于A,因为在折叠前的正方形SG1G2G3中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,所以在折叠后的四面体S-EFG中,SG⊥GE,SG⊥GF,又GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG,故A正确.对于B,根据A知,SG⊥平面EFG,而SE与SG相交,故SE不可能与平面EFG垂直,故B错误.对于C,因为FG2⊥EG2,所以FG⊥EG,又FG⊥SG,SG∩EG=G,所以GF⊥平面SEG,又SE 平面SEG,所以GF⊥SE,故C正确.对于D,因为EF不垂直于EG,所以EF不垂直于平面SEG,故D错误.故选AC.
4.D　因为C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,所以C1D⊥平面AA1B1B,故C1D⊥AB1.如图,作DF⊥AB1交BB1于点F,此时AB1⊥平面C1DF.在矩形A1B1BA中,AB=A1A,所以四边形A1B1BA是正方形,连接A1B,则A1B⊥AB1,所以DF∥A1B.又D为A1B1的中点,所以F为BB1的中点,即B1F=BF.故选D.
5.D　在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,侧棱AA1⊥平面ABC.A中,因为AC⊥BC,所以显然BC与AB不垂直,又CA,CA1,CB1不垂直于平面A1B1BA,所以四棱锥C-A1B1BA不为“阳马”,故A错误;B中,△A1B1C不为直角三角形,理由如下:设AC=a,BC=b,则a2+b2=4,A1C2=a2+4,B1C2=b2+4,若△A1B1C为直角三角形,则∠A1B1C或∠B1A1C为直角,当∠A1B1C为直角时,A1+B1C2=A1C2,即4+b2+4=a2+4,又a2+b2=4,所以b2=0,显然不成立,所以∠A1B1C不为直角,同理可证∠B1A1C不为直角,所以△A1B1C不为直角三角形,所以四面体A1-CC1B1不是“鳖臑”,故B错误;C中,在Rt△ACB中,4=AC2+BC2≥2AC·BC,即AC·BC≤2,当且仅当AC=BC时取等号,则·BC=AA1·AC·BC=AC·BC≤,故C错误;D中,由BC⊥平面AA1C1C,得BC⊥AF,又AF⊥A1C且A1C∩BC=C,则AF⊥平面A1BC,故AF⊥A1B,又AE⊥A1B,且AF∩AE=A,则A1B⊥平面AEF,则A1B⊥EF,故D正确.故选D.
6.45°　解析取线段BC的中点D,连接AD,OD,如图.因为∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=1,BC=,则△AOB,△AOC都是正三角形,即有AB=AC=1,AB2+AC2=2=BC2,有∠BAC=90°,因此AD⊥BC,AD=BC=,而OB2+OC2=2=BC2,所以∠BOC=90°,因此OD=BC=,则OD2+AD2=1=OA2,有∠ADO=90°,即AD⊥OD,而OD∩BC=D,OD,BC 平面OBC,于是得AD⊥平面OBC,∠AOD是直线OA与平面α所成的角,又AD=OD,则∠AOD=45°,所以直线OA与平面α所成的角的大小为45°.
7.解析(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD.又CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.
(2)方案一　选择条件①.
因为PD=AD且点E为侧棱PA的中点,所以DE⊥PA.
因为PD⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PD⊥CD,
又AD⊥CD,PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,
故CD⊥平面PAD.
又PA 平面PAD,所以CD⊥PA.
又DE∩CD=D,DE,CD 平面CDEF,
所以PA⊥平面CDEF.
又CF 平面CDEF,所以PA⊥CF.
方案二　选择条件②.
因为DE⊥平面PAB,PA 平面PAB,所以DE⊥PA.
以下同方案一.
8.解析(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.证明如下:
当a=2时,四边形ABCD为正方形,则BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以BD⊥PA,
又AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
(2)连接AM,因为PA⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,所以DM⊥PA,
又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA 平面PAM,PM 平面PAM,所以DM⊥平面PAM,
因为AM 平面PAM,所以DM⊥AM,
所以≥AB,即a≥4.
所以实数a的取值范围为[4,+∞).
9.解析(1)如图,连接AC,则O为AC与BD的交点.
连接OM,因为底面ABCD为菱形,所以O为AC的中点,
又M为PC的中点,所以OM∥PA,
又OM 平面BDM,PA 平面BDM,
所以PA∥平面MBD.
(2)方法一　如图,作OE⊥AD,垂足为E,连接PE,作OH⊥PE,垂足为H.
因为PO⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,所以PO⊥AD.
又OE⊥AD,PO∩OE=O,所以AD⊥平面POE,
因为OH 平面POE,所以OH⊥AD,
又OH⊥PE,AD∩PE=E,所以OH⊥平面PAD,
则∠OPE即为直线PO与平面PAD所成的角.
因为∠DAB=60°,四边形ABCD为菱形,所以△ABD为等边三角形,
又AD=1,所以BD=1,OD=,所以OE=ODsin 60°=,
因为PB⊥PD,所以PO=BD=,
在Rt△POE中,PE=,由OH·PE=OE·OP,得OH=,
所以点O到平面PAD的距离为,则sin∠OPE=.所以直线PO与平面PAD所成角的正弦值为.
方法二　设点O到平面PAD的距离为d,
由题知,△PAO与△PDO都是直角三角形,且PO=OD=,AO=,所以PA==1,
PD=,
在△PAD中,PA=AD=1,PD=,
所以S△PAD=,S△AOD=×1×sin 60°=.
又VP-AOD=VO-PAD,则S△AOD×PO=S△PAD×d,即×d,解得d=,
设直线PO与平面PAD所成角为θ,则sin θ=,
所以直线PO与平面PAD所成角的正弦值为.
10.解析(1)由△PAB,△ABC均为等边三角形,O为AB的中点,得AB=PA=4,AO=2AD=2,∠DAO=60°,
由余弦定理得DO=,
从而在△AOD中,AO2=AD2+OD2,
得△AOD为直角三角形,且OD⊥AD.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且PO⊥AB,PO 平面PAB,
则由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABC,
由AD 平面ABC,得PO⊥AD,
因此由AD⊥OD,AD⊥PO,OD∩PO=O,得AD⊥平面POD,即DC⊥平面POD.
(2)存在点F,使得EF∥平面POD.
取OB的中点M,连接EM,可得EM∥PO,再在平面ABC内作MF∥OD交AC于点F,该点F即为满足题意的点(如图).
由于EM∥PO,EM 平面POD,PO 平面POD,则ME∥平面POD,
又MF∥OD,FM 平面POD,DO 平面POD,所以MF∥平面POD,
又MF 平面FME,ME 平面FME,MF∩ME=M,
所以平面POD∥平面EFM.
又EF 平面FME,因此EF∥平面POD.
又=2,所以DF=,AF=,CF=AC-AF=.
由(1)可知,AD⊥平面POD,则AD⊥平面EFM,DF=即为平面POD与平面EFM间的距离,也即EF到平面POD的距离.
综上,存在点F,使得EF∥平面POD,此时CF=,EF到平面POD的距离为.