第七章随机变量及其分布列章末测试
一、单选题
1、某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标
2、已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P x y z
则P(X≥2)＝( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
3、袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
4、某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是( )
A. B. C. D.
5、已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.158 7，则P(1A．0.158 7 B．0.341 3
C．0.841 3 D．0.658 7
6、设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于( )
A. B.0 C.－ D.
7、甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲、乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.48
8、已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4.该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中2次时，罚球次数恰为4次的概率是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9、设离散型随机变量X的分布列如表：
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.2 n 0.3
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则( )
A．m＝0.1 B．n＝0.1
C．E(Y)＝－8 D．D(Y)＝－7.8
10、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A.X服从二项分布
B.P(X＝1)＝
C.X的均值E(X)＝
D.X的方差D(X)＝
11、近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
12、一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球．下列说法正确的是( )
A．第二次取到白球的概率是
B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件
C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件
D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为
三、填空题
13、设随机变量X～N(2，σ2)，P(014、袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________；E(ξ)＝______.
15、某学校成立了A，B，C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是_______.
16、一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
四、解答题
17、甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
(1)乙投篮次数不超过1的概率；
(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
18、某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，，丙通过各环节的概率与甲相同.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：
参与环节 笔试 面试
手机话费/元 20 30
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.
19、微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分．设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
(1)经过一轮比赛，设甲单位的得分为X，求X的分布列．
(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．
20、在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.
(1)求这4 000名学生的竞赛平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)≈0.954 5.
21、某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观)．分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下表：
经济前景等级 悲观 尚可 乐观
问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响)，根据经验，这100位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性．
(1)该杂志记者又随机访问了两位业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景等级为“乐观”的概率；
(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下表(正数表示赢利，负数表示亏损)：
经济前景等级 乐观 尚可 悲观
物联网项目年回报率/% 12 4 －4
人工智能项目年回报率/% 7 5 －2
根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议．
22、迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩(单位：分，满分为100分)作为样本进行统计，统计后发现所有学生的成绩都在区间[40,100]内，并制成如下所示的频率分布直方图．
(1)估计这200名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间[80,100]内的人数为X，成绩在区间[70,100]内的人数为Y，记Z＝X＋Y，比较E(X)＋E(Y)与E(Z)的大小关系．第七章随机变量及其分布列章末测试（答案）
一、单选题
1、某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( C )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标
解：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝5，说明前4次均未击中目标．
2、已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P x y z
则P(X≥2)＝( D )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解：P(X≥2)＝x＋＋y＋z＝1－＝0.6.
3、袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D )
A. B. C. D.
解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C××＝.
4、某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是( B )
A. B. C. D.
解：设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，
∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A)＝＝＝.
5、已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.158 7，则P(1A．0.158 7 B．0.341 3
C．0.841 3 D．0.658 7
解：由正态曲线的性质知，随机变量X、Y的正态曲线形状相同，(如图)．
由题意P(Y>2)＝P(X>1)＝0.158 7，
∴P(16、设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于( A )
A. B.0 C.－ D.
解：由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0，∴a－b＝.
7、甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲、乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为( B )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.48
解：设事件A为“目标至少被命中一次”，事件B为“甲命中目标”，
则P(A)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8或P(A)＝1－0.4×0.5＝0.8，
P(AB)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＝0.6，
∴P(B|A)＝＝0.75，故选B．
8、已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4.该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中2次时，罚球次数恰为4次的概率是( C )
A. B.
C. D.
解：因为篮球运动员每次罚球命中的概率都为0.4，所以罚球4次可以看成4次独立重复试验，因为罚球命中2次时，罚球次数恰好为4次，说明第4次罚球命中，前3次恰好命中1次，
所以概率为C×0.4×0.62×0.4＝3×2×2＝
二、多选题
9、设离散型随机变量X的分布列如表：
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.2 n 0.3
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则( BC )
A．m＝0.1 B．n＝0.1
C．E(Y)＝－8 D．D(Y)＝－7.8
解： 由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，
得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，
从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确；
E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；
因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误．
10、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( ABC )
A.X服从二项分布
B.P(X＝1)＝
C.X的均值E(X)＝
D.X的方差D(X)＝
解：由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0，X＝0，记其概率为
P(X＝0)＝＝；
②后4个数只出现1个1，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝C＝；
③后4个数出现2个1，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C·＝，
④后4个数出现3个1，记其概率为
P(X＝3)＝C·＝，
⑤后4个数都出现1，X＝4，记其概率为
P(X＝4)＝＝，
故X～B，故A正确；
又P(X＝1)＝C＝，故B正确；
∵X～B，∴E(X)＝4×＝，故C正确；
∵X～B，∴X的方差D(X)＝4××＝，故D错误.
11、近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( ABD )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
解： 对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；
对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；
对于选项D：P(280＜X＜320)＝P(μ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7×≈0.341 35，正确.
12、一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球．下列说法正确的是( AD )
A．第二次取到白球的概率是
B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件
C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件
D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为
设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到红球”．
对A，P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝，所以选项A正确；
对B，取到两个球还可能为一个红球和一个白球，所以“取到两个红球”和“取到两个白球”不是互为对立事件，所以选项B错误；
对C，P(B1)＝，P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝×＋×＝，
P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝≠P(B1)P(B2)，所以“第一次取到红球”和“第二次取到红球”不是互为独立事件，所以选项C错误；
对D，由选项C知，P(B2)＝，P(A1|B2)＝＝＝＝，所以选项D正确．
三、填空题
13、设随机变量X～N(2，σ2)，P(0解：P(X<0)＝P(X<2)－P(0≤X<2)＝0.5－0.15＝0.35.
14、袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝____1____；E(ξ)＝________.
解：由题意可得P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5(m＋n＝－12舍去).
又取出的两个球为一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2，所以m－n＝1.易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
15、某学校成立了A，B，C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是________.
解：依题意4位学生申请A，B，C三个课外学习小组的方法有34种，这4位学生中，恰有2人申请A学习小组的方法有C×22种，所以这4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率为＝.
16、一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
解：因为P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
四、解答题
17、甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
(1)乙投篮次数不超过1的概率；
(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
解 (1)记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.
“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.
故所求的概率P＝P(A＋·B＋··A)
＝P(A)＋P(·B)＋P(··A)＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(A)＝＋×＋××＝.
(2)甲、乙投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝P(A)＝；
P(ξ＝2)＝P(·B)＝×＝；
P(ξ＝3)＝P(··A)＝××＝；
P(ξ＝4)＝P(··)＝××＝.
所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
18、某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，，丙通过各环节的概率与甲相同.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：
参与环节 笔试 面试
手机话费/元 20 30
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.
解 (1)设事件A表示“甲被机器人社团录取为新成员”，事件B表示“乙被机器人社团录取为新成员”，事件C表示“丙被机器人社团录取为新成员”.
则P(A)＝P(C)＝×＝，P(B)＝×＝，
所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率p＝P(BC＋AC＋AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝2×××＋××＝.
(2)设事件D表示“甲、乙、丙三人都被机器人社团录取”，
则P(D)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
所以甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率p＝1－P(D)＝1－＝.
(3)X的所有可能取值为60，90，120，150.
P(X＝60)＝××＝，
P(X＝90)＝2×××＋××＝＝，
P(X＝120)＝2×××＋××＝，
P(X＝150)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X 60 90 120 150
P
所以E(X)＝60×＋90×＋120×＋150×＝110.
19、微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分．设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
(1)经过一轮比赛，设甲单位的得分为X，求X的分布列．
(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．
解 (1)由题意知X的取值可能为－1,0,1，
则P(X＝－1)＝×＝，
P(X＝0)＝×＋×＝，
P(X＝1)＝×＝，
那么X的分布列为
X －1 0 1
P
(2)第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位累计得分有四种情况(不按先后顺序)：－1，－1，－1；－1，－1,0；－1，－1,1；－1,0,0.
所以第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率P＝3＋C2×＋C2×＋C2×＝.
20、在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.
(1)求这4 000名学生的竞赛平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)≈0.954 5.
解 (1)由题意知
中点值 45 55 65 75 85 95
频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，
∴这4 000名学生的竞赛平均成绩为70.5分.
(2)依题意z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，
∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5，14.312)，
而P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝P(56.19＜z＜84.81)≈0.682 7，
∴P(z≥84.81)≈≈0.158 7.
又0.158 7×4 000＝634.8≈635.
∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.
(3)全市竞赛考生的成绩不超过84.81分的概率p≈1－0.158 7＝0.841 3.
而ξ～B(4，0.841 3)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499.
21、某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观)．分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下表：
经济前景等级 悲观 尚可 乐观
问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响)，根据经验，这100位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性．
(1)该杂志记者又随机访问了两位业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景等级为“乐观”的概率；
(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下表(正数表示赢利，负数表示亏损)：
经济前景等级 乐观 尚可 悲观
物联网项目年回报率/% 12 4 －4
人工智能项目年回报率/% 7 5 －2
根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议．
解：(1)用频率估计概率，预测经济前景等级为乐观、尚可、悲观的概率分别为＝0.2，＝0.7，＝0.1，
设两位业内人士分别为甲、乙，
事件A＝“甲预测经济前景等级为‘乐观’”；事件B＝“乙预测经济前景等级为‘乐观’”；事件C＝“至少有一人预测经济前景等级为‘乐观’”．
由于P(A)＝P(B)＝0.2，P()＝P()＝0.8，且事件A，B相互独立，
解法一 所以P(C)＝P(AB)＋P(B)＋P(A) ＝0.2×0.2＋0.8×0.2＋0.2×0.8＝0.36.
解法二 P(C)＝1－P( )＝1－0.8×0.8＝0.36.
所以估计至少有一人预测中国经济前景等级为“乐观”的概率为0.36.
(2)设物联网项目年回报率为随机变量X(%)，人工智能项目年回报率为随机变量Y(%)，则分布列分别为
X 12 4 －4
P 0.2 0.7 0.1
Y 7 5 －2
P 0.2 0.7 0.1
E(X)＝12×0.2＋4×0.7－4×0.1＝4.8，E(Y)＝7×0.2＋5×0.7－2×0.1＝4.7.
D(X)＝(12－4.8)2×0.2＋(4－4.8)2×0.7＋(－4－4.8)2×0.1＝18.56，
D(Y) ＝(7－4.7)2×0.2＋(5－4.7)2×0.7＋(－2－4.7)2×0.1＝5.61，
两者年回报率期望相差无几，方差有显著差别，
建议选择投资平均年回报率稍小，但投资风险小得多的人工智能项目．
22、迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩(单位：分，满分为100分)作为样本进行统计，统计后发现所有学生的成绩都在区间[40,100]内，并制成如下所示的频率分布直方图．
(1)估计这200名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间[80,100]内的人数为X，成绩在区间[70,100]内的人数为Y，记Z＝X＋Y，比较E(X)＋E(Y)与E(Z)的大小关系．
解 (1)这200名学生的平均成绩约为10×(45×0.005＋55×0.02＋65×0.025＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.005)＝69.5(分)．
(2)成绩在区间[80,100]内的概率为10×(0.015＋0.005)＝，故X～B.
成绩在区间[70,100]内的概率为10×(0.03＋0.015＋0.005)＝，故Y～B.
∴E(X)＋E(Y)＝2×＋2×＝.
由题意得，Z的可能取值为0,1,2,3,4，且X≤Y.
P(Z＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝2＝；
P(Z＝1)＝P(X＝0，Y＝1)＝C××＝；
P(Z＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＝2＋C××＝；
P(Z＝3)＝P(X＝1，Y＝2)＝C××＝；
P(Z＝4)＝P(X＝2，Y＝2)＝2＝.
∴E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
故有E(X)＋E(Y)＝E(Z)．
