第五章 三角函数章末检测
一、单项选择题
1、设角α的始边为x轴非负半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2、若角α的终边经过点(8，－6)，则cos 2α＝( )
A．－ B．
C. D．－
3、已知角α的终边过点A(1，)，则cos＝( )
A．－ B．0
C. D．
4、已知函数f(x)＝sin，则函数f(x)的图象的对称轴方程为( )
A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈Z
C．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈Z
5、关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增
6、已知2sin α－cos α＝，则tan α＝( )
A．－2 B．－
C．±2 D．±
7、智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，它是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声.
已知某噪声的声波y＝Asin(A >0，ω>0)在上的大致图象如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线对应的解析式可以为( )
A．y＝2sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝2sin
8、已知函数f(x)＝acos＋ sin(a∈R)是偶函数，g(x)＝f＋1.若关于x的方程g(x)＝m在上有两个不相等实根，则实数m的取值范围是( )
A．[0,3] B．[0,3)
C．[2,3) D．[＋1,3)
二、多项选择题
9、已知函数f(x)＝2sin2x，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的单调递增区间为，k∈Z
D．f(x)的图象关于点对称
10、给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝
C.若α≠(k∈Z)，则tan＝
D.若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1
11、已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)，若|f(x1)－f(x2)|＝2，且|x1－x2|的最小值为，则下列说法正确的是( )
A．ω＝2
B．函数f(x)在上单调递增
C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
D． x∈R，都有f＝f
12、若函数f(x)＝cos 2x＋sin x，则关于f(x)的性质说法正确的有( )
A．f(x)为偶函数 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)既有最大值也有最小值 D．f(x)有无数个零点
三、填空题
13、已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
14、已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
15、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，图中f(0)＝，f＝0，则f＝________.
16、定义运算“★”：a★b＝sin a·sin b．设函数f(x)＝＋，给出下列四个结论：①π是f(x)的最小正周期；②f(x)在[0，π]上有2个零点；③f(x)在区间上单调递增；④f(x)的图象可以由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．
其中所有正确结论的序号是________．
四、解答题
17、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
18、已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值.
19、已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域.
20、已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx，其中0＜ω＜6，且f＝.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若θ∈，且f(θ)＝，求sin 2θ的值．
21、已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
22、已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.第五章 三角函数章末检测（答案）
一、单项选择题
1、设角α的始边为x轴非负半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解：α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，当sin α>0成立时能推出α的终边在第一、第二象限或在y轴的非负半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件，故选A.
2、若角α的终边经过点(8，－6)，则cos 2α＝( C )
A．－ B．
C. D．－
解：因为点(8，－6)在角α的终边上，所以tan α＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，故选C.
3、已知角α的终边过点A(1，)，则cos＝( B )
A．－ B．0
C. D．
解：∵角α的终边过点A(1，)，∴sin α＝＝，cos α＝＝，则cos＝cos α－sin α＝×－×＝0，故选B.
4、已知函数f(x)＝sin，则函数f(x)的图象的对称轴方程为( C )
A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈Z
C．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈Z
解：f(x)＝sin＝cos 2x.令2x＝kπ，k∈Z，得x＝kπ，k∈Z.故选C.
5、关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是( A )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增
解： 因为f＝＝≠f(x)，所以A错误．因为函数f(x)的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝|tan(－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以B正确．由f(x)＝|tan x|的图象可知C、D均正确．故选A.
6、已知2sin α－cos α＝，则tan α＝( A )
A．－2 B．－
C．±2 D．±
解：由2sin α－cos α＝，得(2sin α－cos α)2＝4sin2α－4sin αcos α＋cos2α＝5，
∴＝＝5，即tan2α＋4tan α＋4＝0，解得tan α＝－2.故选A.
7、智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，它是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声.
已知某噪声的声波y＝Asin(A >0，ω>0)在上的大致图象如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线对应的解析式可以为( D )
A．y＝2sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝2sin
解：由题图可知y＝f(x)＝Asin的图象过(0,1)，两点，∴f(0)＝Asin ＝1，∴A＝1，∴A＝2，f＝2sin＝0，∴ω＋＝π＋2kπ(k∈Z)，∴ω＝π(k∈Z)．当k＝0时，y＝f(x)＝2sin，此时函数的周期为＝2，要想抵消噪声，只需将函数y＝f(x)＝2sin的图象向左或向右平移一个单位长度即可，即得到y＝f(x＋1)＝2sin＝－2sin或y＝f(x－1)＝2sin＝2sin的图象，故选项D符合，故选D.
8、已知函数f(x)＝acos＋ sin(a∈R)是偶函数，g(x)＝f＋1.若关于x的方程g(x)＝m在上有两个不相等实根，则实数m的取值范围是( C )
A．[0,3] B．[0,3)
C．[2,3) D．[＋1,3)
解：因为函数f(x)＝acos＋sin(a∈R)是偶函数，所以f＝f，
即acos 0＋sin 0＝acos＋sin，
即a＝－a－，得a＝－1，
所以f(x)＝－cos＋sin
＝2
＝2sin＝2sin，
所以g(x)＝f＋1＝2sin＋1＝2sin＋1.作出函数y＝g(x)在上的图象，如图所示．
由图知，若方程g(x)＝m在上有两个不相等实根，则函数y＝g(x)与y＝m的图象有两个不同的交点，则2≤m＜3，所以实数m的取值范围是[2,3)，故选C.
二、多项选择题
9、已知函数f(x)＝2sin2x，下列说法正确的是( ACD )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的单调递增区间为，k∈Z
D．f(x)的图象关于点对称
解：f(x)＝2sin2x＝－cos 2x＋1，
对于A，最小正周期T＝＝π，故A正确；对于B，易知函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝1－cos 2(－x)＝1－cos 2x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故B不正确；对于C，由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故C正确；对于D，由2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，所以f(x)＝1－cos 2x的图象关于点对称，故D正确，综上所述，选ACD.
10、给出下列四个结论，其中正确的结论是( CD )
A.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝
C.若α≠(k∈Z)，则tan＝
D.若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1
解：由诱导公式二知α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，所以A错误；
当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝；
当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误；
若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，所以C正确；
将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.
若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；
若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确.
11、已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)，若|f(x1)－f(x2)|＝2，且|x1－x2|的最小值为，则下列说法正确的是( CD )
A．ω＝2
B．函数f(x)在上单调递增
C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
D． x∈R，都有f＝f
解：f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(ω＞0)，因为|f(x1)－f(x2)|＝2，所以f(x1)为f(x)的最大值，f(x2)为f(x)的最小值，或f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，设f(x)的最小正周期为T，因为|x1－x2|的最小值为，所以＝，即T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝1，所以选项A错误．f(x)＝sin，令t＝2x＋，由x∈，得t＝2x＋∈，因为函数y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，所以选项B错误．
将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为g(x)＝sin＝sin＝－cos 2x，因为函数g(x)＝－cos 2x是偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴对称，故选项C正确．因为f＝sin ＝，所以直线x＝是函数f(x)的一条对称轴，所以 x∈R，都有f＝f，故选项D正确．选CD.
12、若函数f(x)＝cos 2x＋sin x，则关于f(x)的性质说法正确的有( CD )
A．f(x)为偶函数 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)既有最大值也有最小值 D．f(x)有无数个零点
解：对于A，f(－x)＝cos(－2x)＋sin(－x)＝cos 2x－sin x≠f(x)，故A错误；对于B，f(x＋π)＝cos[2(x＋π)]＋sin(x＋π)＝cos 2x－sin x≠f(x)，故B错误；对于C，f(x)＝cos 2x＋sin x＝1－2sin2x＋sin x＝－22＋，当sin x＝时，f(x)有最大值，当sin x＝－1时，f(x)有最小值，故C正确；对于D，令f(x)＝cos 2x＋sin x＝0，则有1－2sin2x＋sin x＝0，解得sin x＝1或sin x＝－，所以x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)，故D正确．故选CD.
三、填空题
13、已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
解：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
14、已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
解：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
15、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，图中f(0)＝，f＝0，则f＝___－_____.
解：由已知可得f(0)＝sin φ＝，f(x)在x＝0处附近单调递增，且0<φ<π，故φ＝，又点是函数f(x)＝sin的图象在y轴右侧的第一个对称中心，所以＋＝π，可得ω＝2，故f(x)＝sin，因此f＝sin＝sin＝－sin ＝－.
16、定义运算“★”：a★b＝sin a·sin b．设函数f(x)＝＋，给出下列四个结论：①π是f(x)的最小正周期；②f(x)在[0，π]上有2个零点；③f(x)在区间上单调递增；④f(x)的图象可以由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．
其中所有正确结论的序号是__①②______．
解：根据a★b＝sin a·sin b，
可知f(x)＝sin 2xsin ＋sinsin ＝sin，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故①正确；当x∈[0，π]时，2x＋∈，则当2x＋＝π或2x＋＝2π，即x＝或x＝时，f(x)＝0，即函数f(x)在[0，π]上有2个零点，故②正确；当x∈时，2x＋∈，因为y＝sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)在上不单调，故③错误；将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin2的图象，故④错误．综上可知，所有正确结论的序号是①②.
四、解答题
17、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
解 (1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2.
18、已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值.
解 (1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，
cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝.
所以sin β＝sin[(β＋α)－α]
＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α
＝×－×＝.
(2)因为cos α＝，sin α＝，
所以＝
＝＝12.
19、已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域.
解 (1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域为.
20、已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx，其中0＜ω＜6，且f＝.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若θ∈，且f(θ)＝，求sin 2θ的值．
解 (1)由题意得f(x)＝sin 2ωx＋＝sin＋.
∵f＝sin＋＝，
∴sin＝0.
∴－＝kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋1，k∈Z.
又0＜ω＜6，∴k＝0，ω＝1.
∴f(x)＝sin＋.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)有f(θ)＝sin＋＝，
得sin＝.
∵θ∈，∴2θ－∈.
∴cos＝.
∴sin 2θ＝sin
＝sin＋cos
＝×＋×
＝.
21、已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解：(1)由题意，f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因此，函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由题意，g(x)＝f＝2sin.
又x∈，所以4x＋∈，
因此，函数g(x)在上的值域为(－1,2]．
22、已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
解 （1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－∴b∈∪.
故实数b的取值范围为
∪.
