【解析版】山西省山大附中2013-2014学年高二下学期3月月考数学（文）试题

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一．选择题(每题3分,共36分)（请把正确答案写在答题纸上）
1．垂直于同一条直线的两条直线一定
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
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2.复数（为虚数单位）的虚部是
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" C． D．
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3.设表示直线,表示不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若且,则 B．若且,则
C．若且,则 D．若,则
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考点： 直线与平面垂直的性质定理，平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的性质.
4.在正方体中，下列几种说法错误的是
A． B． C．与成角 D． 与成角
【答案】B
【解析】
试题分析：如图， A选项中在平面上的投影为，而，故，A正确
B选项中，，故，B正确
C选项中，
考点：导数的定义
5.在正方体中，与平面所成的角的大小是
A．90° B．30° C． 45° D．60°
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6 已知正四棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，则异面直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )所形成角的余弦值为
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，不妨 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 设取 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 中点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，连接 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 即为异面直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )所形成的角，在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
考点：两条异面直线所成的角，余弦定理
7.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
A． B．
C． D．
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8.一平面截一球得到直径为6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是
　　A .　 　 B. 　 C.　　 D.
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9. 设四面体各棱长均相等, 为的中点, 为上异于中点和端点的任一点,则在四面体的面上的的射影可能是 21世纪教育网版权所有
A．① B．② C．③ D．④
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10.将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：
①⊥;②△是等边三角形;③与平面所成的角为60°;
④与所成的角为60°.其中错误的结论是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
试题分析: 如图，①取AC中点E，连接DE,BE,,
故⊥，①正确：②显然，，△不是等边三角形，④取CD的中点H,取BC中点F，连接ＥＨ，ＦＨ，则ＥＨ＝ＦＨ＝ＥＦ，是等边三角形，故与所成的角为60°③由④知与平面所成的角为60°21教育网
考点：直线与平面垂直的判定，两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角
11.已知三棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )的侧棱与底面边长都相等， ( http: / / www.21cnjy.com )在底面 ( http: / / www.21cnjy.com )上的射影为 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，则异面直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )所成的角的余弦值为21cnjy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
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12.如图，在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一点,为上任意两点,且的长为定值,则下面四个值中不为定值的是
A．点到平面的距离
B．直线与平面所成的角
C．三棱锥的体积
D．二面角的大小
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二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.已知是虚数单位,则复数的共轭复数是_____________
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14.正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为　　　　　　
【答案】
【解析】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
试题分析： 由正三棱柱的底面边长为2，易得底面所在平面截其外接圆O的半径 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ,又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ,根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形， 满足勾股定理，我们易得球半径R满足： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 21·cn·jy·com
故外接球的表面积 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
考点：棱柱的几何特征及球的体积和表面积
15.若四棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )的底面是边长为1的正方形，且侧棱垂直于底面，若 ( http: / / www.21cnjy.com )与底面 ( http: / / www.21cnjy.com )成60°角，则二面角的平面角的正切值为 ．
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16.已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤．
（1）当满足条件 时，有；（2）当满足条件 时，有．
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三.解答题(本大题共5个小题,共48分.要求写出必要的演算过程和推理步骤)
17.在直三棱柱中,,，求：
（1）异面直线与所成角的余弦值；
（2）直线到平面的距离．
( http: / / www.21cnjy.com )（2）因为//平面
所以到平面的距离等于到平面的距离 8分
设到平面的距离为，
因为，所以 10分
可得 11分
直线与平面的距离为． 12分
考点：两条异面直线所成角的余弦值； 直线到平面的距离
18.．四边形与都是边长为的正方形，点是的中点，
平面.
（1）求证：平面平面;
（2）求三棱锥的体积.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）欲证．先证即可；
（2）用等体积法.
试题解析：（1） ∵ABCD为正方形 ∴
∵平面平面
又平面平面平面
∵平面 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 平面
∴平面平面 6分
（2） V= 12分
考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．
（1）证明平面；
（2）证明平面．
【答案】
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（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴。 ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC，∴。 ②
由①和②推得平面PBC。
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD。
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。
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20.如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )，斜边 ( http: / / www.21cnjy.com )． ( http: / / www.21cnjy.com )可以通过 ( http: / / www.21cnjy.com ) 以直线 ( http: / / www.21cnjy.com )为轴旋转得到，且二面角 ( http: / / www.21cnjy.com )是直二面角．动点 ( http: / / www.21cnjy.com )在斜边 ( http: / / www.21cnjy.com )上．
（1）求证：平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）求 ( http: / / www.21cnjy.com )与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )所成角的最大角的正切值． ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
20
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正视图
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侧视图
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俯视图
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C
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