【解析版】广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学（理）试题

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梅州市高三总复习质检试卷（2014.3）
数学（理科）
一、选择题.
1.设集合M＝{x|x2＋x－2＜0，}，N＝{x|0＜x≤2}，则M∩N＝（ ）
　A、（－1,2）　　　　B、（－2,1］　　　C、（0,1］　　　D、（0,1）
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2.在复平面内，复数的对应点位于（ ）
　A、第一象限　　　　B、第二象限　　　C、第三象限　　D、第四象限
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3.下列命题中的假命题是（ ）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
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4.已知向量＝（ ）
　A、2　　　　　　　　B、－2　　　　　C、－3　　　　　D、3
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5.阅读右面的程序框图，则输出的S＝（ ）
　A、14　　　　　　　 B、20　　　　　 C、30　　　　　 D、55
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【答案】C
【解析】
试题分析：第一次循环， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 第二次循环， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 第三次循环， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 第四次循环， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 结束循环，输出 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
考点：循环结构程序框图.
6.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）
　A、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 　　　　　　　 B、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 C、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 　　　　　D、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
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7.如图，设D是图中连长为2的正方形区域 ( http: / / www.21cnjy.com )，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（ ）21教育网
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8.在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）－2c．
关于函数f(x)＝(2x)* HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的性质，有如下说法：
①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；
③函数f(x)的单调递增区间为( ∞， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )，（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，+∞)．
其中所有正确说法的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
A、0　　　　　　　　B、1　　　　　　　C、2　　　　　　D、3
【答案】B
【解析】
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二、填空题
（一）必做题（9－13题）
9.函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值为____________.
( http: / / www.21cnjy.com )
10. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的展开式中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的项的系数是____________.（用数字作答）
( http: / / www.21cnjy.com )
11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程是____________.2·1·c·n·j·y
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )12. 已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，
A∪B＝R，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的最小值为____________.
( http: / / www.21cnjy.com )
13.已知函数f（x）＝x－［x］，其中［ ( http: / / www.21cnjy.com )x］表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f（x）＝kx＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是____________.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
考点：根据函数图像求交点个数
（二）选题题（14－15题，只能选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（参数t HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 R），圆C的参数方程是（参数θ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 R），则圆C的圆心到直线l的距离为____________．21·世纪*教育网
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15.（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O ( http: / / www.21cnjy.com )外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于＿＿＿＿
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：设半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com ).根据割线定理可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).
考点：切割线定理.
三、解答题
16.（本小题满分12分）已知函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的部分图象如图所示。
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
(2)△ABC的内角分别是A，B，C，若f（A）＝1，cosB＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求sinC的值。
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )由图象可得 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调减区间为 ( http: / / www.21cnjy.com ). ……6分
( http: / / www.21cnjy.com )
17.（本小题满分12分） ( http: / / www.21cnjy.com )某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）请根据图中所给数据，求出a的值；
（2）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（3）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，（2） ( http: / / www.21cnjy.com )（3）
( http: / / www.21cnjy.com ) 1 2 3
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
试题分析：（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积表示概率，且所有小长方形面积和为1，得等量关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，（2）先确定成绩在 ( http: / / www.21cnjy.com )内的学生 ( http: / / www.21cnjy.com )（2）学生成绩在 ( http: / / www.21cnjy.com )内的共有400.05=2人，在 ( http: / / www.21cnjy.com )内的共有400.225=9人，
成绩在 ( http: / / www.21cnjy.com )内的学生共有11人． ……………4分
设“从成绩在 ( http: / / www.21cnjy.com )的学生中随机选3名，且他们的成绩都在 ( http: / / www.21cnjy.com )内”为事件A，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以选取的3名学生成绩都在 ( http: / / www.21cnjy.com )内的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com )． ………6分
（3）依题意， ( http: / / www.21cnjy.com )的可能取值是1，2，3． ………………7分
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )． ……………10分
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )的分布列为
( http: / / www.21cnjy.com ) 1 2 3
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )． …………………12分
考点：频率分布直方图, 分布列和数学期望.
18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB，AB＝BC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 PB，∠APB＝30°，M为PB的中点。21世纪教育网版权所有
（1）求证：PD∥平面AMC；
（2）求锐二面角B－AC－M的余弦值。
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）详见解析. （2） ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）证明：连接 ( http: / / www.21cnjy.com )，设 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ 四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形，∴点 ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点． ………… 2分 21cnjy.com
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )的中位线，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ). ………… 4分
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )． ……………6分
( http: / / www.21cnjy.com )
在 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com ).
∴ 二面角 ( http: / / www.21cnjy.com )的余弦值为 ( http: / / www.21cnjy.com )． ………… 14分
考点：线面平行判定定理，二面角的求法.
19.（本小题满分14分）设等比数列{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 }的前n项和为Sn，已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 。
（1）求数列{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 }的通项公式；
（2）在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。
（I）在数列{ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 }中是否存在三项 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（II）求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 .
( http: / / www.21cnjy.com )两式相减： ( http: / / www.21cnjy.com ). ………………2分
又 ( http: / / www.21cnjy.com ),
因为数列 ( http: / / www.21cnjy.com )是等比数列，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，故 ( http: / / www.21cnjy.com ).
所以 ( http: / / www.21cnjy.com ) . ………………4分
( http: / / www.21cnjy.com )（Ⅱ）令 ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ) …………11分
两式相减：
( http: / / www.21cnjy.com )
…………13分
( http: / / www.21cnjy.com ). ………………14分
考点：等比数列通项，错位相减法求和.
20.（本小题满分14分）如图，椭圆 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的左顶点为A，M是椭圆C上异点A的任意一点，点P与点A关于点M对称。21·cn·jy·com
（1）若点P的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值；
（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的取值范围。
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com ),（2） ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以 点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )． ………2分
由点 ( http: / / www.21cnjy.com )在椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )． …………4分
( http: / / www.21cnjy.com )
21.（本小题满分14分）已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）。
（1）当a＝－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间；
（2）当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，函数y＝f（x）图象上的点都在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围。
（3）求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （e为自然对数的底数）
( http: / / www.21cnjy.com )（2）因函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象上的点都在 ( http: / / www.21cnjy.com )所表示的平面区域内，则当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，
不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立，即 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立，
设 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )），只需 ( http: / / www.21cnjy.com )即可． …… 4分
由 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
（ⅰ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，
函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减，故 ( http: / / www.21cnjy.com )成立． ………5分
（ⅱ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )，因 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，
① ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )时，在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上， ( http: / / www.21cnjy.com )，则函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增，
( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上无最大值（或：当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )），此时不满足条件；
( http: / / www.21cnjy.com )考点：利用导数求单调区间，不等式恒成立，利用导数证明不等式.
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