数学人教A版（2019）必修第二册8.6.3 平面与平面垂直（共27张ppt）

(共27张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直
第 8章 立体几何初步
人教A版2019必修第二册
知识回顾
1.直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
符号表示：
符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a//b.
2.直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两条直线平行.
3.直线与平面垂直的性质
性质1：若a⊥α，m α，则a⊥m.
性质2：(直线与平面垂直的性质定理)
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
垂直于同一平面的两条直线平行.
性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
α
β
a⊥α
b⊥α
a//b
性质5：若l⊥α，l⊥β，则. α//β
新知导入
竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？
为了让一面墙砌的稳固，不易倒塌，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？
答：垂直
二面角
定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
记法
棱为l,两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β。
画法 如图
新知讲解
α
β
l
思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？
答：无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.
二面角的平面角的特点：
（1)角的顶点在二面角的棱上
（2)角的两边分别在二面角的两个面内
（3)角的两边都与棱垂直
二面角的范围
如图示，当∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角.
α
β
l
A
B
O
因此，二面角的平面角的取值范围为__________.
一般地，两个平面α，β相交，如果它们所成的二面角α-l-β是直二面角，就说平面α与β互相垂直. 记作α⊥β.
α(β)
l
A(B)
O
当∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°时，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面.
当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面.
α
β
l
A
B
O
[0°, 180°]
注意区分各种角的取值范围：
异面直线所成角：___________，线面角：____________.
(0°, 90°]
[0°, 90°]
求二面角大小的步骤：
(1) 作 — 作出平面角；
(2) 证 — 明所作的角满足定义，即为所求二面角证的平面角；
(3) 求 — 将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小.
简称为“一作二证三求”.
作出二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法) 在二面角的棱上找一个特殊点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA，OB.
如图所示，∠AOB为二面角α- a -β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点A作另一个平面的垂线AE，过垂足E作棱的垂线交棱于点F，连接点A与垂足F，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A- BC- D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点O作垂直于棱的平面γ，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α- l -β的平面角．
【提醒】二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作为平面角的顶点．
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们进一步研究两个平面垂直的判定和性质，先研究平面与平面垂直的判定.
观察 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直. 如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理？
β
α
a
如果一个平面存在一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直. 即
若a α，a⊥β，则α⊥β.
这就是平面与平面垂直的判定定理
平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号表示：
证明：
A
B
D
C
E
例7 已知：如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A’BD
⊥平面ACC'A'.
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD，∴AA'⊥BD.
又AC⊥BD，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面A'BD，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
证明1：
证明2：
例7 已知：如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A’BD
⊥平面ACC'A'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
例8：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC
证明：∵PA⊥平面ABC
BC在平面ABC内
∴PA⊥BC
∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径
∴∠BCA=90°即BC⊥AC
又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中
∴BC在平面PBC内
∴平面PAC⊥平面PBC
课堂练习
1. 如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了. 这是为什么
解：转动时，如果尺边与这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，根据平面与平面垂直的判定定理可得，工件相邻两个面互相垂直.
2. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( ).
(A) α⊥γ，β⊥γ (B) α∩β＝a，b⊥a，b β
(C) a//β，a//α (D) a//α，a⊥β
D
3. 如下页图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么
解：平面ABC⊥平面BCD，
平面ABD⊥平面BCD
平面ABC⊥平面ACD
理由如下：
∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC.
又BD 平面ABC，∴AA'⊥BD.
∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，∴ AC⊥BD，
又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'.
证明1：
4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点.
求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′.
B
D
C
A′
B′
C′
A
证明2：
随堂检测
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
√
解 由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
巩固练习
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ）
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n α C.m∥n，n⊥β，m α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
√
解 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
3.(多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法正确的有( )
A.平面PAD⊥平面PAB B.平面PAD⊥平面PCD
C.平面PBC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PCD
√
√
√
解 由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故选ABC.
巩固练习
解 因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF 平面PDF，BC 平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故①正确；
因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE. 因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；
因为BC 平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；
只有②不正确.故正确的命题为①③④.
4.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：
①BC∥平面PDF； ②平面PDF⊥平面ABC；
③DF⊥平面PAE； ④平面PAE⊥平面ABC.
其中正确命题的序号是________.
①③④
巩固练习
5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.
求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
巩固练习
证 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
6.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，
垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB
的中点M到点D的距离为3.
(1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；(2)求六面体ABCDEF的体积.
（1）证:取EF的中点N，连接MN，DN，MD.
根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，
又M，N分别为AB，EF的中点，∴MN⊥EF，MN＝2.
∴MN⊥DN，
又∵EF∩DN＝N，
∴MN⊥平面CDEF.
又MN 平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF.
6.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，
垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB
的中点M到点D的距离为3.
(1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；(2)求六面体ABCDEF的体积.
(2) 解　连接CE，则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C－ABFE＋V三棱锥A－CDE.
由(1)知MN⊥平面CDEF，
又MN∥BF∥AE，∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，