2022-2023学年北师大版八年级数学下册 1.4.角平分线随堂练习　（含答案）

1.4.角平分线
随堂练习
一、单选题
1．如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在中，，，如图：（1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和；（2）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；（3）连结并延长交于点．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在的中垂线上 D．
3．以下说法正确的是（ ）
A．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B．若a b 3，ab 2，则a b 1
C．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线
4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，∠CAB的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，则DE的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC 和∠ABC的平分线AE， BF相交于点O， AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2； ③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的结论个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，用圆规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD=BE，分别以D，E为圆心、大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC内交于点F，连接BF并延长交AC于点G．若AB=3，BC=5，S△ABC=32，则△BCG的面积是（ ）
A．20 B． C． D．12
8．如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，点M是平分线上的一点，点P、点Q分别在射线、射线上，满足，若的面积是2，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法不正确的是（　　）
A．在角的内部，角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
B．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
C．圆有无数条对称轴
D．等腰三角形的对称轴是底角的平分线所在的直线
二、填空题
11．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=10cm，AC=6cm，则BE的长为_____．
12．如图，在矩形中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，再分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交边于则的周长为_________．
13．如图，在中，若为的平分线，，则______．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=12，AD是△ABC的一条角平分线，E为AB的中点，若CD=4，则△AED的面积为_________．
15．如下图中，，平分，，，则的面积是______．
三、解答题
16．“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论----“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如右图，在中，若，则．
以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：
在平面直角坐标系中，，，已知，点为轴上方的一点．
（1）如图1，若的角平分线交于点，已知点，上有一点．则①与轴的位置关系为______；②求的长度；
（2）如图2，、分别平分、，过点作的平行线，分别交、于点、．若，，求四边形的周长；
（3）当点为轴上方的一动点（不在轴上）时，连接、．若邻补角的角平分线和的角平分线交于点，过点作的平行线，分别交直线、直线于点、．随着点移动，图形形状及点、、的位置也跟着变化，但线段、和之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系______．
17．如图，CA平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的大小；
（2）若AE=2，BE=1，CD=3，求四边形AECD的面积．
18．如图，三角形ABC中，，D是BC上的一点，连接AD，DF平分交的外角的平分线于F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．如图所示，在∠AOB的内部，求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
20．如图，在中，，，是的一个外角的平分线，点D在的延长线上，连接，，，且．求证：
(1)是等边三角形；
(2)求证：．
21．如图，中，BC的垂直平分线与外角的平分线交于点P，于M，于N．
(1)求证：；
(2)当，时，求BM和AM的长．
参考答案：
1．A2．D3．D4．C5．D6．C7．A9．D10．D
11．2cm
12．15+3
13．
14．12
15．12
16．（1）①平行；②3；（2）14；（3）
17．（1）120°；（2）7
18．（1）证明：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB，
∴∠ACE=∠ABC+∠CAB=2∠ABC
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠FCE
∴2∠ABC=2∠FCE，
∴∠ABC=∠FCE，
∴CF∥AB；
（2）∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠FCE=∠ADC+∠DAC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠FDC，
∴2∠FCE=∠ADC+∠DAC=2∠FDC+∠DAC，
∴2∠FCE-2∠FDC=∠DAC，
∵∠DFC=∠FCE-∠FDC，
∴2∠DFC=2∠FCE-2∠FDC=∠DAC=40°，
∴∠DFC=20°．
19．利用线段的垂直平分线的性质与角平分线的性质，分别作CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线．
试题解析：
①连结CD，②作线段CD的垂直平分线a，③作∠AOB的平分线OM，OM交a于点P，点P就是所求作的点．如图所示：
20．（1）证明：过M作于F，交延长线于E，如图，则，
∵平分，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，又，
∴是等边三角形；
（2）解：在上截取，如图，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，又是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
∴，即，
∵，
∴.
21．（1）证明：连接、，
∵AP平分，于M，于N，
∴，
∵PD垂直平分BC，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．