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突破圆锥曲线压轴小题
圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。
类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
【例1】(1)(2022·济南联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|＋|＝|－|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F2：(x－c)2＋y2＝a2都内切，其中0
A. B. C. D.
(2)(2022·广州模拟)已知A，B分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【方法总结】
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．
【针对训练】(1)(2022·深圳模拟)F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则·等于( )
A．4－2 B．4＋ C．6－2 D．6＋2
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(0A．椭圆C的焦距为2
B．曲线E过点F2的切线斜率为±
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB斜率之积为－
D．|PQ|＋|PF2|的最小值为2
类型2 圆锥曲线与三角形“四心”问题
【例2】(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x＝a上，且满足＝λ，λ∈R.若5＋4＋3＝0，则双曲线C的离心率为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G，则p＝________.
【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．
【针对训练】 (1)（2022·南京外国语学校模拟预测）已知F1(－1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1(2)（2022·湖北·荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
类型3 圆锥曲线在生活中的应用
【例3】(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为( )
A．－ B．－ C. D.
(2)（2022·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为( )
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-88.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-88.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-88.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-88.TIF" \* MERGEFORMATINET
图1 图2
A. B. C. D.
【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．
【针对训练】(1)（2022·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于( )
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-89.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-89.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-89.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-89.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.∶ B．1∶ C．1∶3 D．1∶
(2)（2022·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-90.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-90.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-90.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-90.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．1 B．2 C．3 D．2.5
1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河南·统考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线C于不同的两点M，N，设，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东聊城·统考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2022·四川成都·树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·河北唐山·统考三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
11．（多选题）（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（ ）
A．若直线与的斜率分别为，，则
B．直线与轴垂直
C．
D．
12．（多选题）（2023·山西·校联考模拟预测）过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A．可能为锐角三角形
B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C．若，则的面积为
D．最小值为
13．（多选题）（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知双曲线和圆，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．当时，双曲线与圆没有公共点
D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点
14．（多选题）（2023·安徽蚌埠·统考二模）球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为，高为．假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（ ）
A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆
B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆
C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为
D．若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为
15．（多选题）（2023·山东淄博·统考一模）已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（ ）
A．若，则为双曲线，且渐近线方程为
B．若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆
C．若点的坐标为，线段与轴垂直，则
D．若直线，的斜率分别为，，则
16．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左 右焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积__________.
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．
18．（2023·四川·校联考模拟预测）为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________.
19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为______．
20．（2023·云南玉溪·统考一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______．
思路引导
母题呈现
模拟训练
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突破圆锥曲线压轴小题
圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。
类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
【例1】(1)(2022·济南联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|＋|＝|－|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F2：(x－c)2＋y2＝a2都内切，其中0A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由|＋|＝|－|两边平方，
可得·＝0，则⊥，
由已知得即|PF1|－|PF2|＝a，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，得
在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
得＋＝4c2，即e2＝＝，所以e＝.
(2)(2022·广州模拟)已知A，B分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知得A(－2,0)，B(2,0)，设椭圆C上动点P(x，y)，
则利用两点连线的斜率公式可知kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝·＝＝＝＝－.
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，
则直线PB的方程为y＝－(x－2)，
根据对称性设k>0，
令x＝3，得yM＝5k，yN＝－，
即M(3,5k)，N，则|MN|＝5k＋.
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
由正弦定理得2r1＝，2r2＝，
∵∠MPN＋∠APB＝180°，∴sin∠MPN＝sin∠APB，
∴＝＝＝＝≥＝，
当且仅当5k＝，即k＝时，等号成立，
即的最小值为.
【方法总结】
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．
【针对训练】(1)(2022·深圳模拟)F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则·等于( )
A．4－2 B．4＋ C．6－2 D．6＋2
【答案】C
【解析】在双曲线C中，a＝1，b＝，c＝，
则F1(－，0)，F2(，0)，
因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在且不为零，
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-85.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-85.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-85.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-85.TIF" \* MERGEFORMATINET
因为l⊥F2B，则△F1BF2为直角三角形，
可得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2＝12，
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2，
所以4＝(|BF1|－|BF2|)2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝12－2|BF1|·|BF2|，
可得|BF1|·|BF2|＝4，
联立
解得|BF2|＝－1，
因此·＝(＋)·＝2＋·
＝(－1)2＝6－2.
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(0A．椭圆C的焦距为2
B．曲线E过点F2的切线斜率为±
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB斜率之积为－
D．|PQ|＋|PF2|的最小值为2
【答案】BC
【解析】圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线为以C(4,0)为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为(x－4)2＋y2＝1，
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-86.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-86.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-86.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-86.TIF" \* MERGEFORMATINET
由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(2－|PF1|)
＝|PQ|＋|PF1|－2≥|Q′F1|－2.
由图知Q′(3,0)，
|Q′F1|－2＝3＋c－2＝5－2，
解得c＝2，b＝1，
椭圆方程为＋y2＝1.
故焦距|F1F2|＝2c＝4，A错误；
|PQ|＋|PF2|≥|Q′F2|＝3－c＝1，D错误；
设曲线E过点F2的切线斜率为k，
则切线方程为kx－2k－y＝0，
由圆心到切线方程的距离等于半径得＝1，
即k＝±，B正确；
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPA·kPB＝·＝，
又点P，A，B都在椭圆上，即＋y＝1，
＋y＝1 ＝－，C正确．
类型2 圆锥曲线与三角形“四心”问题
【例2】(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x＝a上，且满足＝λ，λ∈R.若5＋4＋3＝0，则双曲线C的离心率为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由＝λ，λ∈R，
则点H在∠F1PF2的角平分线上，
由点H在直线x＝a上，则点H是△PF1F2的内心，
由5＋4＋3＝0，
由奔驰定理(已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0)知，
＝5∶4∶3，
即|F1F2|·r∶|PF1|·r∶|PF2|·r＝5∶4∶3，
则|F1F2|∶|PF1|∶|PF2|＝5∶4∶3，
设|F1F2|＝5λ，|PF1|＝4λ，|PF2|＝3λ，
则|F1F2|＝2c＝5λ，
即c＝，|PF1|－|PF2|＝2a＝λ，
即a＝，则e＝＝5.
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G，则p＝________.
【答案】
【解析】设M，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
设过点M的直线方程为x＝t＋x0，①
与y2＝4x联立得y2＝4t＋4x0，
即y2－4ty＋－4x0＝0，②
由题意知Δ＝16t2－4＝0，
即2pt2－xt＋2px0＝0，
则t1＋t2＝，t1·t2＝x0(t1，t2分别表示l1，l2斜率的倒数)，
由于方程②Δ＝0，则其根为y＝2t，
当t＝t1时，y1＝2t1，当t＝t2时，y2＝2t2，
∵△MPQ的重心为G，
∴＋y1＋y2＝＋2(t1＋t2)
＝＋2×＝＝，③
而x1＋x2＝t1＋x0＋t2＋x0
＝2(t＋t)－(t1＋t2)＋2x0
＝2[(t1＋t2)2－2t1t2]－(t1＋t2)＋2x0
＝2－＋2x0＝－2x0.
∴x0＋x1＋x2＝－x0＝3，④
联立③④得p＝.
【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．
【针对训练】 (1)（2022·南京外国语学校模拟预测）已知F1(－1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1【答案】B
【解析】因为|MF1|＋|MF2|＝4>|F1F2|＝2，
所以M的轨迹是椭圆＋＝1在第一象限内的部分，如图所示．
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-87.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-87.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-87.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-87.TIF" \* MERGEFORMATINET
因为I是△MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，
所以＝，
所以r＝，所以S1＝＝，
又因为G是△MF1F2的重心，
所以OG∶GM＝1∶2，
所以
＝·＝，所以S1＝S2.
(2)（2022·湖北·荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
【答案】
【解析】设OA 所在的直线方程为y＝x ，
则OB 所在的直线方程为y＝－x，
解方程组得
所以点A 的坐标为 ，
抛物线的焦点F的坐标为.
因为F是△OAB的垂心，所以kOB·kAF＝－1 ，
所以－·＝－1 ＝.
所以e2＝＝1＋＝，解得e＝.
类型3 圆锥曲线在生活中的应用
【例3】(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】B
【解析】由已知可得A(x0,2)在第一象限，
将点A的坐标代入双曲线方程可得x－＝1，
解得x0＝，所以A(，2)，
又由双曲线的方程可得a＝1，b＝，
所以c＝，则F2(，0)，
所以|AF2|＝2，且点A，F2都在直线x＝上，
又|OF1|＝|OF2|＝，
所以tan∠F1AF2＝＝＝，
所以∠F1AF2＝60°，
设∠F2AM的角平分线为AN，
则∠F2AN＝(180°－60°)×＝60°，
所以∠F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°，
所以直线的斜率为tan 150°＝－.
(2)（2022·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为( )
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-88.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-88.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-88.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-88.TIF" \* MERGEFORMATINET
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为
＋＝1(m>1)，
∴A(－ma,0)，B(0，mb)，
设切线AC为y＝k1(x＋ma)，
切线BD为y＝k2x＋mb，
∴
整理得(a2k＋b2)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，
由Δ＝0知
(2ma3k)2－4(a2k＋b2)(m2a4k－a2b2)＝0，
整理得k＝·，
同理
可得k＝·(m2－1)，
∴(k1k2)2＝＝，即＝，
故e＝＝＝.
【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．
【针对训练】(1)（2022·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于( )
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-89.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-89.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-89.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-89.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.∶ B．1∶ C．1∶3 D．1∶
【答案】C
【解析】由椭圆的光学性质得直线l′平分∠F1PF2，
因为＝
＝＝，
由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4得|PF2|＝3，
故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
(2)（2022·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-90.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-90.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-90.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-90.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．1 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，
INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-91.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-91.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2022\\一轮\\数学\\word\\8-91.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\马珊珊\\2022\\看\\一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\8-91.TIF" \* MERGEFORMATINET
圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)，
圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，
代入双曲线方程y2－x2＝1，
得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，
要使清洁钢球到达底部，即r≤1.
1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，、和共线时取等号，列出的不等式即可.
【详解】，，
.
即的最大值为
故选：A.
2．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入可得b与a的关系式，再由及离心率公式可求得结果.
方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.
【详解】方法一：依题意，易得以为直径的圆的方程为.
又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为.
当时，如图，设，则.
联立，解得或，所以，.
又因为，所以轴.
所以，.所以，所以.
因为，所以.
同理，当时，亦可得.
故双曲线C的离心率为.
故选：C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且，
所以，所以，所以.
故选：C.
3．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可知，所以
所以椭圆的上焦点为，
设直线的方程为，
联立消去，得，
所以.
由题设知，所在的直线方程为.
因为直线与直线相交于点，
所以；
同理可得.
所以.
因为为锐角，
所以，
所以
，
即，解得：或，
所以，或，或.
故直线的斜率的取值范围是.
故选:D.
4．（2023·河南·统考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线C于不同的两点M，N，设，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的抛物线，设出点M，N的坐标，利用求出点M，N的纵坐标和即可求解作答.
【详解】依题意，点，设点，则，
由得：，解得，，
因此点Q的纵坐标为，
所以Q到x轴的距离为.
故选：B
5．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
6．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，即，则，则，即可得出双曲线的离心率为.
【详解】双曲线（，）的渐近线的方程为，
双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，
根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，
则，则，
，
则该双曲线的离心率为，
故选：D.
7．（2022·山东聊城·统考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解
【详解】设双曲线的标准方程为，
则由题意最小横截面的直径为20cm，可知，
设点，
则
解得，
所以，
故选：D
8．（2022·四川成都·树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，根据题意可得，求得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出、的关系，求得离心率．
【详解】连接、，易知、、共线，、、共线，
设，，
，所以，，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，即，解得，
因为，
由勾股定理可得，即，即，
.
故选：B.
9．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距，根据椭圆及双曲线的定义可以用表示出,在中根据余弦定理可得到的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成.
故选：C.
10．（2022·河北唐山·统考三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出长轴长.
【详解】椭圆的面积，即①.
因为点P为椭圆C的上项点，所以.
因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.
因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②
①②联立解得：.
所以椭圆C的长轴长为2a=6.
故选：B
11．（多选题）（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（ ）
A．若直线与的斜率分别为，，则
B．直线与轴垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】设，由斜率公式及点在椭圆上可得判断A，联立直线的方程求出、坐标，由条件可得即可判断B，求出中点在上，即可判断CD.
【详解】如图，
设，则，故A正确；
直线的方程为，直线的方程为，联立得，即，
同理可得，因为，所以，所以，则直线与轴垂直，故B正确；
同理，所以，故的中点在直线上，故C正确；D错误，
故选：ABC.
12．（多选题）（2023·山西·校联考模拟预测）过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A．可能为锐角三角形
B．过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C．若，则的面积为
D．最小值为
【答案】CD
【分析】对于A：联立直线AB与抛物线的方程，由韦达定理得，，从而得到，由此判断即可；对于B：判断得点在抛物线外，由此得以判断；对于C：利用抛物线的定义可求得，进而求得，从而根据即可判断；对于D：利用抛物线的定义得到，从而利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A：因为抛物线C：的焦点为F，所以，
设，，AB方程为，
由，得，所以，，
故，所以∠AOB为钝角，故A错误；
对于B：因为对于，当时，，
所以在抛物线外，显然过与抛物线C相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误；
对于C：当时，设，则，
，即，不妨设，
此时，故AB方程为，
联立抛物线C：，解得，
所以，故C正确；
对于D：由选项A知，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：CD．
13．（多选题）（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知双曲线和圆，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．当时，双曲线与圆没有公共点
D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设双曲线上的点的坐标为，表示出的距离，即可得到圆心到双曲线上的点的距离的最小值，从而判断D.
【详解】解：由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故选项A正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故选项B错误；
因为圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故选项C正确；
设双曲线上的点的坐标为，，则圆心到点的距离为
，当且仅当时取等号，
所以圆心到双曲线上的点的距离的最小值为，且双曲线上只有两个点到圆心的距离为，
所以当时，双曲线与圆恰有两个公共点，故选项D正确．
故选：ACD
14．（多选题）（2023·安徽蚌埠·统考二模）球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为，高为．假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（ ）
A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆
B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆
C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为
D．若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为
【答案】ACD
【分析】先由已知条件求出圆面的半径，结合已知条件分别画出太阳光线与伞还原的球状，根据所成的不同角度，逐一判断伞在地面的影子形状，作出判断即可．
【详解】图一，在中，由于，解得；
选项A，太阳光线与地面所成角为时，如图二将伞还原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投影形成完整的圆，正确；
选项B，太阳光线与地面所成角为时，如图三球冠只有部分被照射，故不能形成椭圆，错误；
选项C，太阳光线与地面所成角，且伞柄沿着光线方向时，球冠被完整照射，如图四，而由于与地面成一定角度，投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被拉长为原来的倍，则，离心率为，正确；
选项D，太阳光线与地面所成角为时，如图五，当垂直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影成椭圆，此时长轴长为，正确；
故选：ACD
15．（多选题）（2023·山东淄博·统考一模）已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（ ）
A．若，则为双曲线，且渐近线方程为
B．若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆
C．若点的坐标为，线段与轴垂直，则
D．若直线，的斜率分别为，，则
【答案】BD
【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.
【详解】对于，若，则为双曲线，其双曲线的渐近线方程为：，故选项错误；
对于，因为点在曲线上，所以，所以，则曲线为椭圆，又因为，所以为焦点在轴上的椭圆，故选项正确；
对于，因为点的坐标为，所以过点与轴垂直的直线方程为，代入曲线方程可得：，若，则有，
若，则有，故选项错误；
对于，由题意可知：，，设点，
则，，所以，
又因为点在曲线上，所以，
所以，故选项正确，
故选：.
16．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左 右焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积__________.
【答案】1
【分析】根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入双曲线方程即可得到，然后联立双曲线与圆的方程即可得到点的坐标，从而得到结果.
【详解】由题意得，所以，所以.
因为点在上，所以，所以，解得.
所以，所以双曲线的方程为.
由，解得，所以.
故答案为:
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．
【答案】2
【分析】由题可得，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.
【详解】由点在抛物线上得：，即,
所以抛物线C的方程为：,
设直线的方程为，，,
由直线与的倾斜角互补得，
即，所以,
联立，得，
所以，,
所以，即，所以,
所以
．
故答案为：2.
18．（2023·四川·校联考模拟预测）为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________.
【答案】
【分析】首先表示出，，，的坐标，依题意可得，即可得到为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得解.
【详解】解：不妨设，，，，
则，为椭圆的焦点，所以，
又，所以，
且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，
所以为椭圆上一点，
由，解得，则，
故到轴的距离为.
故答案为：
19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，
到圆上动点的距离为，
所以，，当且仅当三点共线时等号成立，且点在线段上，
所以，
又，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，又，
所以，
当且仅当点为线段与抛物线的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为2，
故答案为：2
20．（2023·云南玉溪·统考一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______．
【答案】
【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得或，再分和两种情况讨论，当时求出、的坐标，由，即可得到关于的不等式，解得即可.
【详解】解：联立抛物线与椭圆的方程消去整理得到，解得或．
①时，代入解得，已知点位于轴右侧，取交点，则，
此时，与矛盾，不合题意．
②时，代入解得．已知点，关于轴对称且位于轴右侧，取交点、，
已知，则轴，．
此时，即，两端同除以可得：，解得．
因为，所以，所以．
故答案为：
思路引导
母题呈现
模拟训练
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