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圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
类型一 巧用焦点三角形的面积、离心率，突破圆锥曲线压轴小题
1设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
（1）|PF1||PF2|＝；（2）S△PF1F2＝b2tan ；（3）e＝.
2设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
（1）|PF1||PF2|＝；（2）S△PF1F2＝；（3）e＝.
【例1】在椭圆＋＝1上，△PF1F2为焦点三角形，如图所示．
(1)若θ＝60°，则△PF1F2的面积是________；
(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e＝________．
【例2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，则的面积为______．
【跟踪训练】(2022·荆州模拟)已知 P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为________．
类型2 妙用中心弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1.
【例3】（2021·贵州·遵义师范学院附属实验学校高二期末（文））已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为
A． B． C． D．
【例4】设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－，则椭圆的离心率为________．
【跟踪训练】已知椭圆的左 右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 .
类型3 会用中点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
1.若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝e2－1.
2.若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝e2－1.
3.若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝.
【例5】 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【例6】已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为，则双曲线E的渐近线的方程为
A． B．
C． D．
【例7】已知一条过点的直线与抛物线交于A，B两点，P是弦AB的中点，则直线的斜率为_______________．
【跟踪训练】已知椭圆的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且中点为，则的离心率_____．
类型4 利用焦点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
1.过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||＝λ||，则椭圆的离心率等于.
2.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于||.
3.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|AB|＝，S△AOB＝.
【例8】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，经过右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知＝3，则k＝( )
A．1 B. C. D．2
【例9】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）过双曲线的右焦点，作直线交的两条渐近线于，两点，，均位于轴右侧，且满足，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为
【例10】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则|AB|为
【例11】 设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为 。
【跟踪训练】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C. D.
1.（2023·湖北·天门教育科学研究院高二期末）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·安徽亳州一中高二月考）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3.（2023·安徽·六安一中高二期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4.（2023·内蒙古·海拉尔二中高三期末）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
5.（2023·安徽·淮北师大附中高二期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点在抛物线上，过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
8．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．8 C．12 D．
10．已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
11．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
12.（2023·广东·执信中学高三月考）已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为，则直线l的斜率为________.
13．已知抛物线，点Q在x轴上，直线与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是_____.
14．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
思路引导
母题呈现
模拟训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
类型一 巧用焦点三角形的面积、离心率，突破圆锥曲线压轴小题
1设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
（1）|PF1||PF2|＝；（2）S△PF1F2＝b2tan ；（3）e＝.
2设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
（1）|PF1||PF2|＝；（2）S△PF1F2＝；（3）e＝.
【例1】在椭圆＋＝1上，△PF1F2为焦点三角形，如图所示．
(1)若θ＝60°，则△PF1F2的面积是________；
(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e＝________．
【答案】(1)3 (2)
【解析】(1)由结论1得S△PF1F2＝b2tan ，即S△PF1F2＝3.
由公式e＝＝＝.
【例2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】由，，，由结论2可知．
【跟踪训练】(2022·荆州模拟)已知 P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为________．
【答案】
【解析】由结论可得：S＝b2tan，可得S＝1·tan＝.
类型2 妙用中心弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1.
【例3】（2021·贵州·遵义师范学院附属实验学校高二期末（文））已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由结论可得，，故选B
【例4】设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】kAP·kBP＝－，e2－1＝－，∴e2＝，e＝.
【跟踪训练】已知椭圆的左 右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 .
【详解】kAP·kBP＝
，，所以椭圆的离心率；
类型3 会用中点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
1.若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝e2－1.
2.若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝e2－1.
3.若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝.
【例5】 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线中点弦中的斜率规律得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.
【例6】已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为，则双曲线E的渐近线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，由结论2
，，可得双曲线的渐近线方程为，故选：．
【例7】已知一条过点的直线与抛物线交于A，B两点，P是弦AB的中点，则直线的斜率为_______________．
【答案】1
【详解】由结论3可知
【跟踪训练】已知椭圆的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且中点为，则的离心率_____．
【答案】
【解析】且，
，即
类型4 利用焦点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
1.过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||＝λ||，则椭圆的离心率等于.
2.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于||.
3.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|AB|＝，S△AOB＝.
【例8】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，经过右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知＝3，则k＝( )
A．1 B. C. D．2
【答案】B
【解析】∵λ＝3，由结论1，e＝，由规律得cos α＝，cos α＝，k＝tan α＝.
【例9（2022·湖北·荆州中学模拟预测）过双曲线的右焦点，作直线交的两条渐近线于，两点，，均位于轴右侧，且满足，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】由，，又，倾斜角，由结论2：；
【例10】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则|AB|为
【答案】12
【解析】易知2p＝3，由结论3知|AB|＝，所以|AB|＝＝12.
【例11】 设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为 。
【答案】64
【解析】由y2＝16x，，由结论3，.
【跟踪训练】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C. D.
【答案】C
【解析】因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
1.（2023·湖北·天门教育科学研究院高二期末）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】由椭圆的方程可得，，，则，
因为，则，
即，即，解得，
因此，.
故选：D.
2.（2023·安徽亳州一中高二月考）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，由题意可得，设，，根据对称性可得，，根据双曲线的定义可得，，，整理可得关于，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
所以，圆心为，半径为，
根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，，
则，由可得，
所以，所以，所以.
故选：B.
3.（2023·安徽·六安一中高二期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：，
令，可得，令，可得，
所以面积，
又点B在椭圆上，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：C
4.（2023·内蒙古·海拉尔二中高三期末）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
【答案】D
【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得：
，设，则.
对A：，故直线不垂直，则A错误；
对B：若直线方程为，联立椭圆方程，
可得：，解得，故，
则，故错误；
对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，
解得，即，故错误；
对：若点M坐标为,则，则，
又过点，则直线的方程为，即，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，属中档题.
5.（2023·安徽·淮北师大附中高二期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得，再由可得出、的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，
将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，
可得，
因为线段的中点坐标为，所以，，，
因为抛物线的焦点为，所以，
又直线过点，因此，所以，，
整理得，又，解得，，
因此，椭圆的方程为，
故选：D.
6．已知点在抛物线上，过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点、、，求得直线的斜率为，可得，再由直线和的斜率互为相反数可求得的值，进而可求得的值，由此可求得点的坐标.
【详解】设点、、，则直线的斜率为，可得，
同理可得直线的斜率为，直线的斜率为，
，所以，，则，，
因此，点的坐标为.
故选：A.
7．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.
【详解】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为：，当时，，
即直线l恒过定点，
故选：A.
8．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
9．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
10．已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设切线，联立，根据得到，计算或，再计算圆方程得到答案.
【详解】，设切线，联立，故，，解得，故，则或
故以MN为直径的圆的方程为或
故选：C.
11．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
【答案】1
【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用求得，即可得出所求.
【详解】设切线斜率为，则切线方程，
联立方程可得，
则，解得，
即切线方程为，
取，得．
∴切线在轴上的截距为1．
故答案为：1．
12.（2023·广东·执信中学高三月考）已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为，则直线l的斜率为________.
【答案】
【分析】由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.
【详解】解：由题意可得，整理可得，
设，则，
两式相减可得，
的中点为，，
则直线斜率.
故答案为：.
13．已知抛物线，点Q在x轴上，直线与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是_____.
【答案】
【分析】将直线方程代入抛物线C中，得到关于的一元二次方程，设出M，N两点坐标，利用韦达定理写出，的关系，利用斜率坐标公式结合已知条件，得到，即可求解Q的坐标.
【详解】易知，由
得，代入抛物线方程得，
设，，则①，
②.设，则，，
依题意有，
所以，即，
整理并把①②代入可得，故Q点的坐标为.
故答案为：.
14．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】2
【分析】根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合和的面积建立方程，解出方程即可
【详解】根据双曲线的定义，可得：
又：
解得：，
双曲线C的离心率为，则有：
在中，由余弦定理，可得：
则有：
的面积为，可得：
解得：
故双曲线C的实轴长为：2
15．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
【答案】
【分析】设的方程为,联立双曲线利用代数式恒成立即可求解直线恒过定点时中的值,进而求得定点.
【详解】设的方程为,则由.
设,则是该方程的两根,
∴,.
又,,故
∴,
又,,
∴,
代入,得：
整理得：,
∴,
∴或.
当时,过与题意不符,故舍去。
当时,过定点.
故答案为：
思路引导
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