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圆锥曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
考法1 点、线的存在性问题
【例1】（2022·长沙一中模拟预测）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【解题指导】
【解题技法】存在性问题的求解方法
(1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法”，将不确定性问题明朗化。一般步骤:
①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出;
2列出关于待定系数的方程(组);
③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法
【跟踪训练】
【例3】（2022 深圳二模）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）若经过定点的直线与曲线相交于、两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
考法2 含参数的存在性问题
【例2】（2022·南京外国语学校模拟预测）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为
（1）求椭圆的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解题指导】（1）点代入椭圆的方程→→离心率为→，，之间关系→解得，→椭圆的标准方程；
（2）先设出直线的方程为→联立椭圆的方程→关于的一元二次方程→设，，，→，→点的坐标→求，，→→求得参数的值；
【解题技法】字母参数值存在性问题的求解方法
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程
【跟踪训练】
（2022·天津市第四中学模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.
（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；
（2）已知直线与圆交于 两点，与曲线交于 两点，其中 在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.
1．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.
(1)求的顶点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.
(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.
4．（2023·福建厦门·统考二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．
(1)求C的方程；
(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．
5．（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.
①为等差数列；②为等比数列.
(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
(2)（1）中所求的左 右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由
6．（2023·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
7．（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．
(1)求证：点R为线段的中点；
(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
9．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
10．（2023·贵州毕节·统考一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
思路引导
母题呈现
模拟训练
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圆锥曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
考法1 点、线的存在性问题
【例1】（2022·长沙一中模拟预测）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【解题指导】
【解析】(1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.
由得x＝，即xP＝.
将点的坐标代入直线l的方程得b＝，
因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，
所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
【解题技法】存在性问题的求解方法
(1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法”，将不确定性问题明朗化。一般步骤:
①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出;
2列出关于待定系数的方程(组);
③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法
【跟踪训练】
【例3】（2022 深圳二模）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）若经过定点的直线与曲线相交于、两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设，则由题意，，
，
化简可得动圆圆心的轨迹的方程为；
（Ⅱ）设，，，．
由题意，设直线的方程为，联立抛物线方程可得，
，①，
②，③
假设存在，，使得，则④，
⑤，
，
代入化简可得，
，
存在直线，使得，
考法2 含参数的存在性问题
【例2】（2022·南京外国语学校模拟预测）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为
（1）求椭圆的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解题指导】（1）点代入椭圆的方程→→离心率为→，，之间关系→解得，→椭圆的标准方程；
（2）先设出直线的方程为→联立椭圆的方程→关于的一元二次方程→设，，，→，→点的坐标→求，，→→求得参数的值；
【解析】（1）椭圆经过点，可得①，
由离心率得，即，则②，代入①解得，，，
故椭圆的方程为.
（2）由题意可设的斜率为，则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理得
设，，，，
，④
在方程③中，令得，的坐标为，
从而，，，
注意到，，共线，则有，即有，
所以，
⑤，
④代入⑤得，
又，所以.
故存在常数符合题意.
【解题技法】字母参数值存在性问题的求解方法
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程
【跟踪训练】
（2022·天津市第四中学模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.
（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；
（2）已知直线与圆交于 两点，与曲线交于 两点，其中 在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知，，又，所以，动点的轨迹是椭圆.
由椭圆的定义可知，，，又因为所以，
故的轨迹方程.
（2）由题设可知，、一个椭圆外，一个在椭圆内；、一个在内，一个在外，在直线上的四点满足：
由
消去得：，恒成立.
设，，由韦达定理，
得，
.
所以，到距离，，
当且仅当，即时等号成立.
验证可知满足题意.
，
1．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.
(1)求的顶点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.
(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）设，由知，由且向量与共线，知在边的中垂线上，由此能求出的顶点的轨迹方程；
（2）设，过点的直线方程为，代入双曲线方程，得，再由根的判别式和韦达定理即可求出的取值范围；
（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.
【详解】（1）设，由知，
是的重心，.
且向量与共线，在边的中垂线上，
，
又，
化简得，
即所求的轨迹方程是.
（2）设，过点的直线方程为，
代入得，
，
且，解得.
，则或，
，
则的取值范围是.
（3）设，则，即.
当轴时，，
即，故猜想.
当不垂直轴时，，
.
又与同在内，
.
故存在，使恒成立.
【点睛】轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；
（2）设标准方程，求方程中的基本量
（3）求轨迹方程
相关点法：（1）分析题目：与动点相关的点在已知曲线上；
（2）寻求关系式，，；
（3）将，代入已知曲线方程；
（4）整理关于，的关系式得到M的轨迹方程
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.
【分析】（1）由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数p，即可得方程；
（2）法一：设，，利用求得，讨论与轴是否垂直，求直线所过的定点；法二：设直线的方程为，联立抛物线及韦达定理、得；最后结合确定的轨迹，即可确定定点和定值；
【详解】（1）因为点在上，则，而，所以，
，所以，故该抛物线的方程为.
（2）法一：设，不妨设，
，则，解得，
①当与轴不垂直时，，
此时直线的方程为：，整理得
，则的方程为：，则直线恒过定点
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即当为该圆心时，为定值；
②当轴时，，此时，而，故；
当时，也满足，
综上，平面内存在一个定点，使得为定值4
法二：设直线的方程为
联立，且，
由韦达定理得：，
由，即，解得，
即，直线恒过定点，
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即定点为该圆心时，为定值；
【点睛】关键点点睛：第二问，根据求纵坐标乘积，并确定直线过的定点坐标，最后利用判断的轨迹，即可得结论.
4．（2023·福建厦门·统考二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．
(1)求C的方程；
(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由椭圆的离心率及△ABF2的面积为3，列出两个基本量的方程求解即可；
（2）根据对称性可知，圆E的圆心在轴上，利用直线l特殊位置时求出符合条件的圆E的方程，一般情况下前进性验证即可.
【详解】（1）已知椭圆C的离心率为，所以；
由当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3，得，即，又，
所以，又，则，椭圆方程为.
（2）当l⊥x轴时，以AB为直径的圆的圆心为F1，半径；
当l为x轴时，以AB为直径的圆的圆心为O，半径；
因为直线l过点F1，所以以AB为直径的所有圆关于轴两两对称的，
根据对称性可知，圆E与以AB为直径的圆内切时，圆心在轴上.设圆心E，半径为R,
当以AB为直径的圆在圆E内部与E相切时，
则，，故，
又，所以， ，即，，圆E的方程为；
当以AB为直径的圆在圆E外部与E相切时，
则，，故，又，
所以， ，即，，圆E的方程为；
当直线l斜率不为零时，设直线l的方程为,，，
联立，得，
则，，
所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心，半径，当圆E的方程为时，
，
此时，所以以AB为直径的圆与E相切.
当圆E的方程为时，
，
此时，所以以AB为直径的圆与E相切.
综上圆E的方程或.
【点睛】与圆锥曲线相关的圆问题方法点睛
因为圆的方程在圆锥曲线的求解过程中计算量比较大，所以往往不直接进行求解，而是由特殊位置求解圆的方程或者找到其特征，再一般情况下进行验证即可.
5．（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.
①为等差数列；②为等比数列.
(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
(2)（1）中所求的左 右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由
【分析】(1)周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切，可得，若选①，结合为等差数列与，联立解方程组可求得；若选②，则为等比数列与已知条件列方程组即可解得.
(2)分直线斜率存在或斜率不存在两种情况分类讨论，直线的斜率不存在时，的方程为，根据对称性即可求得点的坐标，代入的方程求得点的坐标，即可写出圆的方程，并求出定点坐标；当直线斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立，韦达定理写出两根之和，两根之积，同理求出四个点的坐标，写出以为直径的圆的标准方程，化简求定点.
【详解】（1）选①，由题意解得
所以的标椎方程为.
选②，由题意解得
所以的标椎方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，的方程为，不妨设在轴上方，则，
的方程为，令，得，
所以，同理，
所以以为直径的圆的标准方程为.
②当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立得，
由韦达定理得.
因为，所以的方程为，
令，得，即的坐标为，
同理的坐标为，
所以以为直径的圆的标准方程为
将韦达定理代入并整理得，
令，则，解得或.
当斜率不存在时，令，则，解得或.
由①②知，以为直径的圆过和.
6．（2023·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，
则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案；
（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.
【详解】（1）设，，，
联立直线l与双曲线E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且．
由韦达定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，点M的轨迹方程为，其中或．
（2）双曲线E的渐近线方程为．
设，，联立得，同理可得，
因为，
所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则．
即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
7．（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．
(1)求证：点R为线段的中点；
(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设设，，，联立椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出的坐标，计算；继而求出直线的方程，求得点坐标，即可证明结论；
（2）利用（1）的分析，求得，进而表示出，，计算的结果， 再求得的表达式，即可求得与之间的关系，即可得出结论.
【详解】（1）证明：由题意知，，
设，，，
联立，得，，
则，，
直线的方程为，
令，得，所以，
同理，．
所以
,
直线，令得，所以，
则，故点R为线段的中点．
（2）由（1）知，，
又，
所以．
由（1）知点R为线段的中点，
故
，
所以．
故存在，使得．
【点睛】难点点睛：解答直线和圆锥曲线的位置关系类的题目时，解决问题的思路想法不是很困难，一般利用直线方程和圆锥曲线方程联立，可得根与系数的关系，结合题设进行化简求值等，但难点在于计算的复杂性，以及计算量较大，并且大多为字母参数的运算，因此要十分细心.
8．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；
（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.
【详解】（1）依题意可知，，
则，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，
则，
所以的面积.
（2）由（1）可，解得，
所以双曲线C的方程为，
设，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以，
，
则，
故为定值.·
9．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【分析】（1）由已知条件，椭圆的定义及的关系可知和，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；
（2）设点，，由直线的方程即可求出点的坐标，由的方程即可求出点的坐标，由已知条件可知，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.
【详解】（1）∵△为等边三角形，且，
∴，
又∵，∴，
设椭圆的方程为，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由已知得，设，,
则直线的斜率为，直线的方程为，
即点坐标为，
直线的斜率为，直线的方程为，
即点坐标为,
∵,∴,∴，
又∵，，
∴，即，
整理得，
①若直线的斜率存在时,设直线的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立得，
其中，
，，
即，，，
所以或，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
②若直线的斜率不存在时，
由得，
即，解得或，
此时直线的方程为或，
所以此时直线恒过点或，
综上所述，直线恒过点或.
10．（2023·贵州毕节·统考一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【分析】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为，根据抛物线的定义，，则C的方程可求；
（2）若选①，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，得直线的方程即可判断；
若选②，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，设，由题意，结合韦达定理得对任意的恒成立，则，得出答案．
【详解】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为
根据抛物线的定义，，
则抛物线方程为：．
（2）若选①，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，
，设直线的方程为：，设，，
联立，得，恒成立
得，
直线的斜率
直线的方程为
由，化简得
直线过定点，存在
若选②，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，
，设直线的方程为：
设，，设
联立，得，恒成立
得，
轴平分
，即对任意的恒成立，则．
存在．
思路引导
母题呈现
模拟训练
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