青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三下学期开学摸底考试数学（文）试题（解析版）

2023
2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三下学期开学摸底考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“直线：与直线：垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知某公交车早晨点开始运营，每分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过点作轴，垂足为，连接交轴于点，若的面积为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，记区间的最大长度为，最小长度为.则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．3
二、填空题
13．已知向量，若，则__________.
14．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.
三、双空题
15．函数的最小正周期为__________；若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________.
四、填空题
16．已知正三棱锥的四个顶点都在球上，外接圆的半径为，三棱锥的体积为，则球的表面积为__________.
五、解答题
17．在中，角的对边分别为，若.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
18．由于生活方式的改变，颈椎病不再是老年人的专属，越来越多的年轻人患上了颈椎病．现在的通讯设备发达，常常可以看到一群人在走路时、在吃饭时、在乘车时低着头玩手机，长期下来，就很容易使颈椎损伤，患上颈椎病．手机和颈椎病可以说是形影不离．
某研究型学习小组调查研究“长期使用智能手机对颈椎病的影响”对名手机党调查得到部分统计数据如下表，规定：日使用手机时间超过小时为频繁使用手机，已知频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人．
非频繁使用手机 频繁使用手机 合计
颈椎病人数
非颈椎病人数
合计
（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响？
附：，其中．
19．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
21．函数.
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求证：，时，.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线相交于点，，求的值.
23．已知函数.
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若的最小值为1，求的最小值.
2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三下学期开学摸底考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解出集合,再根据并集概念求出结果即可.
【详解】解:由题,
由,则.
故选:C
2．设复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数乘法运算和共轭复数定义可求得，根据虚部定义可得结果.
【详解】，，的虚部为.
故选：A.
3．“”是“直线：与直线：垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】若，则，解得或.
所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．已知某公交车早晨点开始运营，每分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由几何概型公式计算可得答案.
【详解】由几何概型概率求法知所求概率.
故选：.
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式，结合可直接构造方程求得结果.
【详解】，，
由，得：，即，解得：.
故选：B.
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的倍角公式，以及同角三角函数的关系，进行化简求值即可得解.
【详解】.
故选：.
7．在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出直线与所成角，并利用余弦定理求得其余弦值.
【详解】取的中点为E，连接，，则，
所以为与所成的角（或其补角）.
设正四面体的棱长为，则，，，
所以在中，.
故选：C
8．已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式可构造方程求得，进而得到离心率.
【详解】由双曲线方程可知：双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
右焦点到一条渐近线的距离，解得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
9．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可比较出大小关系.
【详解】，.
故选：B.
10．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过点作轴，垂足为，连接交轴于点，若的面积为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】利用抛物线的几何性质可得，，再根据三角形的面积公式列方程求解即可.
【详解】由抛物线的几何性质可，，
将代入可得，，
又，
所以的面积为，
解得.故选B.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
11．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，可得.设
可得数列为等差数列，其公差为，然后求出，即可得到，即可求解
【详解】由，
得，可得.
设，
可得数列为等差数列，其公差为，
由，，可得，，
,
所以，
故，
所以.
故选：.
12．定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，记区间的最大长度为，最小长度为.则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．3
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和值域结合新定义，求出，再利用导数求出函数的单调区间和最值即可得出答案.
【详解】由已知可得，解得，
区间的最大长度为，最小长度为，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以不存在零点.
故选：C.
二、填空题
13．已知向量，若，则__________.
【答案】0
【分析】根据向量线性运算的坐标计算即可求解.
【详解】由题意知，又，所以，解得,
故答案为：0
14．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】首先画出可行域，设，根据的几何意义求的最小值.
【详解】设，则，求z的最小值，即求直线纵截距的最大值，
作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，
由可得，
所以.
故答案为:.
三、双空题
15．函数的最小正周期为__________；若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________.
【答案】 2 ##0.25
【分析】根据正弦型函数的周期公式即可求解周期，根据单调性即可列不等式求解.
【详解】，故，当时，，故，解得,故的最大值为.
故答案为：2，
四、填空题
16．已知正三棱锥的四个顶点都在球上，外接圆的半径为，三棱锥的体积为，则球的表面积为__________.
【答案】##
【分析】设的外接圆圆心为，由正棱锥结构特征可知平面，利用三棱锥体积可求得，分别讨论球心位于线段上和延长线上的情况，利用勾股定理可构造方程求得球的半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】三棱锥为正三棱锥，为等边三角形，
设的外接圆圆心为，则平面，
由正弦定理得：，解得：，
，，解得：；
设三棱锥的外接球半径为，
当球心位于线段上时，如图所示，
在中，，解得：（舍）；
当球心位于延长线上时，如图所示，
在中，，解得：.
综上所述：球的半径，球的表面积.
故答案为：.
五、解答题
17．在中，角的对边分别为，若.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；
（2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长.
【详解】（1）由正弦定理得：，
，
，，，则.
（2），，
由余弦定理得：，解得：，
的周长.
18．由于生活方式的改变，颈椎病不再是老年人的专属，越来越多的年轻人患上了颈椎病．现在的通讯设备发达，常常可以看到一群人在走路时、在吃饭时、在乘车时低着头玩手机，长期下来，就很容易使颈椎损伤，患上颈椎病．手机和颈椎病可以说是形影不离．
某研究型学习小组调查研究“长期使用智能手机对颈椎病的影响”对名手机党调查得到部分统计数据如下表，规定：日使用手机时间超过小时为频繁使用手机，已知频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人．
非频繁使用手机 频繁使用手机 合计
颈椎病人数
非颈椎病人数
合计
（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响？
附：，其中．
【答案】（1），，表见解析；（2）有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响．
【分析】（1）根据频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人，频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为可算出的值，进而可填出其他空；
（2）根据表中数据先算出，再结合观测值表可判断出结论.
【详解】解：（1）因为频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人，
而频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为，
所以频繁使用手机的人数为，非频繁使用手机的人数为，
所以，．
补全表中所缺数据如下：
非频繁使用手机 频繁使用手机 合计
颈椎病人数
非颈椎病人数
合计
（2）根据题意计算观测值为，
所以有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响．
19．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，根据勾股定理可证得，由面面垂直和线面垂直的性质可证得结论；
（2）由面面平行性质可知点到平面的距离即为点到平面的距离，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）为中点，，，又，，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）由三棱柱结构特征可知：平面平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离，
又，
.
20．已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过的直线交椭圆于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，由求解；
（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，联立方程组，结合韦达定理，由求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则
解得
所以椭圆的方程为.
（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，
联立方程组代入消元并整理得：，
，
则，.
，
将，代入，整理得：
，
，
将韦达定理代入化简得：.
因为直线过点，所以，
代入，得.
21．函数.
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求证：，时，.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；
(2)由第（1）问的结论，取 时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵在上为增函数，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
∵，
∴，
∴的取值范围是.
（2）证明：由（1）知时，在上为增函数，
∴令，其中，，
则，
则，
即，
即，
∴
……
，
∴累加得，
∴.
【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题．
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线相交于点，，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用加减消元法、二倍角的余弦公式，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；
（2）把直线的普通方程化成标准参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可.
【详解】解：（1）由（为参数），所以.
则直线的普通方程为：；由，
所以
又，，
所以，
则曲线的直角坐标方程为：.
（2）由（1）可知：直线的参数方程标准形式为（为参数），
将该方程代人曲线的直角坐标方程化简可得：，.
设点，所对应的参数分别为，，
所以，，则，，
所以.
23．已知函数.
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若的最小值为1，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）采用分类讨论，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；
（2）利用绝对值三角不等式可得，将变形，结合基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）依题意，当，时，得，
则，即，所以,
当时，，解得，所以；
当时，，无解；
当时，，解得,即，
故不等式的解集为.
（2）依题意，，
当且仅当时取等号，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为2.