2023年3月份第3周 数学好题推荐（含解析）

2023年3月份第3周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若集合，，则( )
A. B. C. D.
2、若复数z满足，为z的共轭复数，则( )
A. B.5 C. D.3
3、设，那么( )
A. B. C. D.
4、已知函数，过点作函数的切线，可做( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
5、若非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6、若，则( )
A. B. C. D.
7、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A.3 B. C. D.5
9、如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，则棱，的夹角为( )
A. B. C. D.
10、已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11、设，则的值为( )
A.1 B. C.0 D.2
12、从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则不同的选法共有( )
A.156种 B.168种 C.180种 D.240种
13、某大学共有本科生5000人，其中一年级、二年级、三年级、四年级的人数比为.要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )
A.80 B.40 C.60 D.20
14、椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则( )
A. B. C. D.
15、已知圆，，则这两圆的公共弦长为( )
A.2 B. C.2 D.1
16、如图，在三棱柱中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
17、若,则的最小值为( ).
A. B. C. D.4
18、已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
19、设是数列的前n项和，且，，则( )
A.
B.数列是公差为的等差数列
C.数列的前5项和最大
D.
20、已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是( )
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.在上有极大值 D.在上有极小值
21、给出下列说法其中正确的是( )
A.两个相交平面组成的图形叫做二面角
B.异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补
C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角
D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
22、已知向量，，则下列命题正确的是( )
A.存在，使得
B.当时，a与b垂直
C.对任意，都有
D.当时，a与b方向上的投影为
三、填空题
23、已知是定义域为R的奇函数，且当时，则________.
24、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，则的最小值为_____________.
25、在直角梯形中，，，，E为的中点.将和分别沿折起，使得点A,D重合于点F，构成四面体.若四面体的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________.
26、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度________m.
四、解答题
27、已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当时，.
（1）求双曲线C的方程.
（2）设P为双曲线上一点，点M,N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.
28、为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数X进行了统计分析，这些分数都在内，在绘制以5为组距的频率分布直方图（设“”）时，发现，.
（1）试确定n的所有取值，并求k.
（2）经组委会研究确定：在第-阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的参赛者评为一等奖；分数在内的参赛者评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的参赛者评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖，不能提升为等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段被评为二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位学生中最终获得一等奖的人数为，求的分布列和期望.
29、设数列的前n项和为，且，数列满足，且对任意正整数n，都有，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明：数列为等差数列.
（3）令，问是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由.
30、已知函数为的导函数.
(1)讨论的极值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意知，，或，则，故选C.
2、答案：B
解析：因为，
所以，
，
所以，
故选：B.
3、答案：C
解析：，且在R上是减函数，，指数函数在R上是减函数，，幂函数在R上是增函数，，因此.故选C.
4、答案：A
解析：，设切点，
则切线方程为，
将点代入解得，即过点A的切线仅有1条，故选A.
5、答案：C
解析：由得，
又，，，a与b的夹角为60°，故选C.
6、答案：D
解析：本题考查诱导公式及二倍角的余弦公式的应用.，.
7、答案：D
解析：因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.因为当时，不等式恒成立，所以.
8、答案：A
解析：双曲线的一条有近线方程为，可得，
.
故选：A.
9、答案：D
解析：如图，分别延长，，，交于点P，连接AC.在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以是边长为2的等边三角形，所以.又，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选D.
10、答案：D
解析：，，，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.
11、答案：A
解析：，故选A.
12、答案：B
解析：从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有种，所以服务队中至少有1名女生的不同选法共有种，故选B.
13、答案：B
解析：要用分层抽样的方法从该校所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一年级、二年级、三年级、四年级的学生人数比为，三年级要抽取的人数是.故选B.
14、答案：A
解析：如图，由椭圆的光学性质可得，三点共线，
设，则，
则，解得.
又，所以，所以.故选A.
15、答案：C
解析：由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选C.
16、答案：A
解析：设，，，则构成空间的一个基底，
，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
17、答案：A
解析：因为,所以=,所以,当且仅当，即时取等号,所以的最小值为,故选A.
18、答案：D
解析：因为，故数列为等比数列，设公比为q，
由，，得，所以，则，
所以，故选D.
19、答案：AC
解析：，
，或(舍)，故选项A正确；
又，，，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，，
数列的前5项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，故选项D错误，故选AC.
20、答案：ABC
解析：由，可知，则，即.设，则由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极小值.故选ABC.
21、答案：BD
解析：对于A，显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误；对于B，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，故B正确；对于C，因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确.故选BD.
22、答案：BD
解析：对于A，若，则，即，所以不存在这样的，故A错误；对于B，若，则，即，得，故B正确；对于C，，，当时，，故C错误；对于D，，两边同时平方得，即，，解得，，，设a与b的夹角为，a在b方向上的投影为，故D正确，故选BD.
23、答案：
解析：由，得，又当时，
所以.由是奇函数，得，
所以.
24、答案：8
解析：由题意知，根据正弦定理，可得，
因为，所以，
即，
则，当且仅当时等号成立，
即的最小值为8.
25、答案：
解析：如图.由题意可知，折叠后所构成的四面体中，不可能为直角。在中，由可知，为直角，即.因为平面，所以平面，则有.又因为，所以平面，则有.所以四面体外接球的球心为的中点，半径为.在直角梯形中，设，则有.由，解得(负值已舍去)，则.因此，四面体外接球的半径为.
26、答案：
解析：在中，，，所以由正弦定理，得.在中，.故此山的高度为.
27、答案：（1）由题意，易得，
则由，可得，
，
即.
又，解得（负值舍去），
，
解得，
双曲线C的方程为.
（2）的面积为定值2，证明如下：
由（1）可知双曲线C的渐近线方程为，
设，其中.
为线段MN的中点，
，
将点P的坐标代入双曲线C的方程得，
解得.
设，则.
又，
，
.
又，
，
的面积为定值2.
解析：
28、答案：（1）n的所有取值为14,15,16,17,18,19，k的值为
（2）①；②
解析：（1）根据题意，X在内，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，，，，，.
因为，，，所以n可以取14,15，16,17,18,19.
易知每个小区间的频率，
则
所以，
即，解得.
所以n的所有取值为14,15,16,17,18,19，k的值为.
（2）①由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，，的概率分别是，，，，，.
设，分别表示学生A，B在第一轮获奖等级为i，最终获奖等级为j，其中.
记“学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级”为事件W，
则
.
②学生A最终获得一等奖的概率，
学生B最终获得一等奖的概率，
的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
.
所以的分布列为
0 1 2
P
.
29、答案：（1）因为数列的前n项和，
所以当时，；
当时，，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）因为对任意正整数n，都有，，成等比数列，
所以，即，
所以，
两式相除，得，即.
当n为奇数时，，所以，
当n为偶数时，，
又，所以，
所以，
综上，，
所以，
所以数列为等差数列.
（3）由（2），知，
所以，
所以，，.
假设存在正整数m，k，使得，，成等比数列，
则，
整理，得.
又m，k都是正整数，所以，5，25，即，3，13，对应的，23，25，
所以存在或或，
使得，，成等比数列.
解析：
30、答案：(1)当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.
(2)取值范围为.
解析：(1)由题意知，的定义域为，，
设，则，
①当时，在上单调递增，没有极值；
②当时，若，则在上单调递减，
若，则在上单调递增，
在处取得极小值，且极小值为在上没有极大值.
综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.
(2)由题意知，存在，使得，
即存在，使得，
构造函数，
则，
当，即时，在上恒成立，
单调递增，所以，得，与矛盾，不满足题意.
当，即时，若，则单调递减，
若，则，单调递增，此时，
由，得，
所以，因为，所以不等式不成立.
当，即时，在上恒成立，单调递减，
所以，得，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.