第一单元《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学七年级下册第一单元《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知下列各式：， ， ， ，，其中二元一次方程的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 方程在自然数范围内的解( )
A. 有无数对 B. 只有对 C. 只有对 D. 只有对
3. 若是关于、的二元一次方程，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
4. 已知是关于，的二元一次方程，则，的值是 ( )
A. B. C. D.
5. 已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为( )
A. B. C. D.
6. 若方程组的解为，则方程组的解为( )
A. B. C. D.
7. 为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 已知关于、的方程组，给出下列结论：是方程组的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解；，的都为自然数的解有对．其中正确的为( )
A. B. C. D.
9. 端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装个粽子，种食品盒每盒装个粽子，若现将个粽子分别装入、两种食品盒中两种食品盒均要使用并且装满，则不同的分装方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10. 在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品只能购买个或个且钱全部用完的情况下注：每种方案中都有三种奖品，共有多少种购买方案( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
11. 从年月日零点起，铁路实施了第六次大提速，推出了“子弹头”动力组。一普通列车长为米，“子弹头”动力组列车长为米。两列车若同向而行，两车交会的时间为秒；若两列车相向而行，两车交会的时间为秒。求“子弹头”动力组列车和普通列车的速度。若设“子弹头”动力组列车的速度为米秒，普通列车速度为米秒，则可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
12. 甲，乙，丙三人做一个抽牌游戏，三张纸牌上分别写有个数字，，均为正整数，且，每轮每人各抽一张纸牌，纸牌上的数字就是这一轮的得分．经过若干轮后至少四轮，甲的总得分为，乙的总得分为，丙的总得分为则甲抽到的次数最多为 次( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个方程的解应该是_____________．
14. 关于，的方程和，下列说法正确的有______写出所有正确的序号
当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
15. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为____
16. 国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查每名游客都填了调查表，且只选了一个景点，统计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多人．则该旅行团共有________人．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知是整数，关于，的二元一次方程组有整数解，求的值．
本小题分
已知关于、的二元一次方程组．
若，求方程组的解；
若方程组的解中，的值为正数，的值为正数，求的范围．
19. 本小题分
如果关于，的方程组的解，的值满足，试求的值．
本小题分
数轴上有两个动点，，如果点始终在点的左侧，我们称作点是点的“追赶点”如图，数轴上有个点，，它们表示的数分别为，，已知点是点的“追赶点”，且，表示的数分别为，．
由题意易知，点是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同；类似的，______．
在，，三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含的代数式来表示．
若，，求和的值．
21. 本小题分
阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，即，
把方程代入，得，，把代入，得，方程组的解为
请你根据以上方法解决下列问题：
模仿小军的“整体代换”法解方程组
已知，满足方程组求的值．
22. 本小题分
面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．现有消毒液吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
辆型车和辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
请你帮我们设计租车方案；
若辆型车需租金元次，辆型车需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
23. 本小题分
商场计划拨款万元，从厂家购进台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元．
若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共台，用去万元，请你研究一下商场的进货方案
若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案
24. 本小题分
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元
求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，请你帮助该公司设计购买方案；
若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
25. 本小题分
植树节，某校决定组织甲乙两队参加义务植树活动，并购买队服．表是服装厂给出的服装的价格表：
购买服装的套数 套 套 套及以上
每套服装的价格 元 元 元
经调查：两个队共人甲队人数不少于人，如果分别各自购买队服，两队共需花费元，请回答以下问题：
如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省______元．
甲、乙两队各有多少名学生？
到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调人，从乙队抽调人，组成丙队要求从每队抽调的人数不少于人现已知重新组队后，甲队平均每人需植树棵；乙队平均每人需植树棵；丙队平均每人需植树棵，甲乙丙三队共需植树棵，请直接写出所有的抽调方案．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二元一次方程的概念有关知识，利用二元一次方程对各式进行判断即可解答．
【解答】
解：不是二元一次方程，
是二元一次方程，
不是二元一次方程，
不是二元一次方程，
不是二元一次方程．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程，将看做已知数求出是解本题的关键用表示出，令为自然数求出的值，即可确定出方程的自然数解．
【解答】
解：方程变形得：，
当时，；时，；时，；时，，
则方程在自然数范围内的解为，，，．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【解答】
解：是关于、的二元一次方程，
，，
解得：．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
根据二元一次方程的定义含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程解答．
【解答】
解：根据题意，得
，解得；
，解得，
即；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：将得，
所以，
因为的取值与公共解无关，
所以有
解得：
所以这个公共解为
故选：．
6.【答案】
【解析】解：第二个方程组变形为：，
，
，
，
故选：．
将第二个方程组中含，的两项提公因式，两个方程两边都除以，变形成和第一个方程组形式相同，根据整体换元，即可得出方程组的解．
本题考查了利用整体思想解二元一次方程组，通过整理将第二个方程组变形成和第一个方程组形式相同，这是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，求出方程组的解得出满足的条件是解题的关键．先解方程组，由条件方程组的解为整数，再讨论即可求得的值，进一步计算即可．
【解答】解：解方程组可得，，
方程组有整数解，
为和的公约数，且为正整数，
，解得，
，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将，代入检验即可做出判断；
将和分别用表示出来，然后求出来判断；
将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
有得到、都为自然数的解有对．
【解答】
解：将，代入方程组得：，
由得，
由得，故不正确；
解方程
得：
解得：
将的值代入得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故正确；
将代入方程组得：
解此方程得：
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故正确；
因为，所以、都为自然数的解有，，，，故正确．
则正确的选项有，
故选D．
9.【答案】
【解析】解：设种食品盒个，种食品盒个，根据题意得：
，
，
方程的正整数解为：．
则不同的分装方式有种．
故选：．
根据题意列方程，求其正整数解．
本题考查二元一次方程的应用，并求其特殊解的问题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，以及实际问题方案的设计解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
有两个等量关系：购买种奖品钱数购买种奖品钱数购买种奖品钱数；种奖品个数为或个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【解答】
解：设购买种奖品个，购买种奖品个，当种奖品个数为个时，
根据题意，得，
整理，得，
因为，都是正整数，，所以，，，，，，，．
当种奖品个数为个时，
根据题意，得，
整理，得，
因为，都是正整数，，所以，，，，，．
所以有种购买方案．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要参查二元一次方程组的应用分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意追及问题和相遇问题的判断此题中的等量关系为：
动力组秒的路程普通列车秒的路程两车车长之和；
普通列车秒的路程动力组秒的路程两车车长之和．
【解答】
解：根据动力组秒的路程普通列车秒的路程两车车长之和，得方程；
根据普通列车秒的路程动力组秒的路程两车车长之和，得方程．
可列方程组为．
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到相关的等量关系．根据题意，可得每轮甲，乙，丙得数之和为：，则轮之和三人得数总和为：，所以可得：，由，且为正整数，可得，，根据，均为正整数，且，可得，，根据甲的总得分为，可以设甲次得分，次得，次得，根据题意列方程即可求解．
【解答】
解：根据题意，每轮甲，乙，丙得数之和为：，
则轮之和三人得数总和为：，
所以可得：，
，且为正整数，而，
，，
，均为正整数，且，
，，
甲的总得分为，
设甲次得分，次得，次得，
则，
，
，
，，且，为正整数，
，，
所以最大为．
答：甲抽到的次数最多为．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：把代入得，
，
方程组，解得，，
，
，
解得，
故答案为：．
先把代入，求得，再求出，利用代换法求出，即可得出方程组的解．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是运用换元替换的方法来解决．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程是解题的关键．
把，的值代入原方程，解方程组即可．
【解答】
解：当，时，
原方程为，，
此时组成方程组的解为，不符合题意；
当且时，
原方程为，，
组成方程组，解得：，符合题意；
当，时，
方程组为，
第一个方程化简得，与第二个方程相同，
所以有无数个解，符合题意；
当且时，
方程组为，
消去，解得：或，
，
，此时，
有且只有一个解，符合题意；
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的解和加减消元法解二元一次方程组的有关知识，根据题意得到二元一次方程组，解出，的值，代入，得到关于的一元一次方程，解之即可．
【解答】
解：根据题意解方程组得：
把代入得：，
解得：，
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组的应用．设选李子坝轻轨站的有人，选长江索道的有人，选洪崖洞的有人，根据：选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍，选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多人，列出方程组，进而得到，由于人数为正整数，得到、所有可能值，然后将，的值代入中，只有满足为整数才合题意，然后计算出该团人数即可．
【解答】
解：设选李子坝轻轨站的有人，选长江索道的有人，则选磁器口的有人，选洪崖洞的有人，
根据题意得：，
可变形为：，
，得，
即；
，得．
、都是正整数，
或或或或或，
当、、、、时，
都不是整数，不合题意．
当时，．
选李子坝轻轨站的有人，选长江索道的有人，选磁器口的有人，选洪崖洞的有人，
由于每名游客都填了调査表，且只选了一个景点，
所以该旅行团共有人．
17.【答案】解：由方程组得 ，
若有整数解，则或或或，
若，则或，，或；
若，则或，不合题意；
若，则或， ，或；
若，则或，不合题意．
综上所述，的值有，，，．
【解析】本题考查了二元一次方程组的解法，涉及到因式分解相关知识点，解二元一次方程组有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．利用加减消元法易得的解，由为整数可知或或或，分情况解得和的值，验证和均为整数．
18.【答案】解：把代入方程组，得，
解这个方程组得
由，得
把代入，得
整理，得
把代入，得
的值为正数，的值为正数，
解得
【解析】把代入方程组，求解即可；
用含的代数式表示出、，根据的值为正数，的值为正数，得关于的一元一次不等式组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．会用代入法或加减法解二元一次方程组是解决本题的关键．
19.【答案】解：，
利用加减消元法解得：，，
，
即，
解得．
【解析】本题考查了二元一次方程的解，把原方程组两式子相加，相减得到、，再带入，解出，可得到答案．
20.【答案】解：
是、的中点，
；
是、点中点时，；
是、的中点时，
；
，
，
，
，
或
或或，
，或，或，或，，
，
，或，或，．
【解析】
【分析】
本题考查了列代数式，二元一次方程的应用以及数轴上两点间的距离公式，解题的关键是：根据两点间的距离公式求出线段的长；根据数量关系表示出的长度；根据数量关系表示出的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是关键．
由两点间距离直接求解；
是、的中点，；当点在、点中点时，；是、的中点时，；
由已知可得，，分情况求解即可．
【解答】
解：，
故答案为；
见答案；
见答案．
21.【答案】解：
把方程变形：，
把代入，得，即，
把代入，得．
则方程组的解为．
把方程变形：，
将代入中，，
．
【解析】本题考查了整体代入法、灵活选择解法解一元二次方程组合代数式求值，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；
方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．
22.【答案】解：设辆型车载满消毒液一次可运送吨，辆型车载满消毒液一次可运送吨，
依题意得：，
解得：．
答：辆型车载满消毒液一次可运送吨，辆型车载满消毒液一次可运送吨．
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有种租车方案，
方案：租用辆型车，辆型车；
方案：租用辆型车，辆型车；
方案：租用辆型车，辆型车．
选择方案所需租车费用为元，
选择方案所需租车费用为元，
选择方案所需租车费用为元．
，
最省钱的租车方案为：租用辆型车，辆型车，最少租车费为元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
设辆型车载满消毒液一次可运送吨，辆型车载满消毒液一次可运送吨，根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据一次性运完消毒液吨且恰好每辆车都载满消毒液，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案；
利用各方案所需租车费用每辆型车的租金租用型车的数量每辆型车的租金租用型车的数量，即可分别求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
23.【答案】解：设购进甲种电视机台，购进乙种电视机台．
根据题意，得
解得
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各台．
设购进甲种电视机台，购进丙种电视机台．
根据题意，得解得
故第二种进货方案是购进甲种电视机台，丙种电视机台．
设购进乙种电视机台，购进丙种电视机台．
根据题意，得
解得不合题意，舍去．
故此种方案不可行．
上述的第一种方案可获利：元
第二种方案可获利：元．
因为，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电视机台，丙种电视机台．

【解析】本题主要考查的是二元一次方程组的实际应用以及分类讨论思想和对于实际问题中方程组解的取舍情况．弄清题意，找出等量关系，列出方程组是解决问题的关键．本题还需注意可供选择的将有三种情况：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．
因为要购进两种不同型号电视机，那么将有三种情况：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．等量关系为：台数相加，钱数相加；
根据得出的方案，分别算出各方案的利润加以比较．
24.【答案】解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：
解得：．
答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元．
设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：
，均为正整数，
共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆．
方案一获得利润：元；
方案二获得利润：元；
方案三获得利润：元．
，
购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程；利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润．
设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
25.【答案】
【解析】解：买套所花费为：元，
最多可以节省：元
故答案是：．
解：设甲队有人；乙队有人．
根据题意，得
，
解得，
答：甲队有人；乙队有人．
由题意，得，
整理，得
因为要求从每队抽调的人数不少于人且人数为正整数
得或．
所以共有两种方案：从甲队抽调人，从乙乐团抽调人；或者从甲队抽调人，从乙队抽调人．
若甲、乙两个队合起来购买服装，则每套是元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；
设甲、乙队各有名、名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是元，乙乐团每套服装是元．根据等量关系：共人；分别单独购买服装，一共应付元，列方程组即可求解；
利用甲队平均每人需植树棵；乙队平均每人需植树棵；丙队平均每人需植树棵，甲乙丙三队共需植树棵列出方程探讨答案即可．
此题考查二元一次方程组与二元一次方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
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