一元二次方程的解法(3)---配方法
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文档简介
一元二次方程的解法(3)---配方法
广州市萝岗区镇龙二中 李小兵
教材内容：华师大版九年级数学上册22.2一元二次方程的解法第3课时
教材分析：
配方法是继直接开平方法和因式分解法之后的第三种解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的通法.用配方法解一元二次方程虽较麻烦、也不常用，但配方运算中体现出的配方、比较、转化等数学思想方法及所渗透的思维多向性都有助于学生思维能力的培养以及思维品质的提高。配方法是推出求根公式的关键，学好配方法对二次三项式求最值，二次函数求顶点坐标、求最值，以及完全平方式的灵活运用都有很重要的作用。
教学目标：
知识与技能：
1.理解一元二次方程的解法----配方法.
2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.
过程与方法：
1.会用配方法解一元二次方程.
2.体会转化的数学思想方法.
3.培养学生观察分析和综合运用知识的能力。
情感态度与价值观：
1.让学生通过自主探究，体会获取成功的喜悦感。
2.通过合作交流，发扬协作精神.
3.使学生理解事物都是相互联系、相互制约的辨证唯物主义观点以及“特殊到一般”的基本思想方法。
教学重、难点：
用配方法解一元二次方程既是重点又是难点。关键是理解如何正确配方。
教学方法分析：
《新课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。”本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。注重学生的个性差异，因材施教，分层教学。注重师生互动、生生互动，让不同层次的学生动眼、动脑、动手、动口，参与数学思维活动，充分发挥学生的主体作用。善于运用多元的评价对学生适时、有度的“激励”，帮助学生认识自我、建立自信，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”。
教学过程:
教学流程图：
一、创设情境 温故探新
前面我们已经探讨了一元二次方程的两种解法---直接开平方法和因式分解法，请大家想一想直接开平方法适用于什么样的类型？
板书：⑴x2=a(a≥0) ； ⑵(x+b)2=a(a≥0)
1、(开心练一练)用直接开平方法解下列方程.
( 1)9x2=1 (2)(x-2)2=2
设计意图：温故探新巩固直接开平方法解一元二次方程，熟悉可用直接开平方法的方程特征,同时为探究配方法作铺垫。
2、（静心想一想）下列方程能用直接开平方法解吗
(1) x2-4x+4=2 (2) x2+12x+36=9 (3)x2+6x-15=0
设计意图：第(1)小题是练习1的第(2)小题展开后的结果，（1）（2）小题学生易改写成(x+b)2=a(a≥0)的形式用直接开平方法解出，但第（3）小题“形似神不似”，激发矛盾，提出问题，引出本课课题。通过创设问题情境，选择新旧知识的切入点，进行启发提问，构造问题悬念，易激发学生的好奇心和求知欲。
二、合作交流 探究新知
1、(大胆试一试)填适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2+6x+ =(x + 3 )2
(2) x2+8x+ =(x )2
(3) x2-4x+ =(x )2
(4) x2+px+ = (x )2
共同点：
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
右边:所填常数等于一次项系数的一半.
设计意图：问题串的设计从一次项系数为正到一次项系数为负,从数字系数到字母系数,由易而难,由浅入深,由具体到抽象,由感性到理性,循序渐进,符合学生的认知规律.通过引导学生观察、分析、讨论、交流、探究得出结论，达到突破难点的目的。体现了以学生为主体教师为主导的新课程理念。
2、现在你会解方程 x2+6x-15=0吗？
解:把常数项移到方程右边得：x2+6x=15
两边同加上32 得：x2+6x+32 =15+32
即(x+3)2=24
两边直接开平方得：x+3=±2
∴原方程的解为：x1=-3+2，x2=-3-2
设计意图：学生思考后尝试配方过程，教师予以适当指导。此例照应本课开头，画龙点睛，达到解决问题的目的。通过学生的归纳总结，得出配方法及用配方法解形如x2+px+q=0型一元二次方程的步骤。
3、配方法：通过配方将方程的左边配成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数，运用直接开平方求出方程的解的方法叫配方法。
由上例学生讨论归纳得出：解形如x2+px+q=0型一元方程的一般步骤：
（１）移项（将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边）
（2）配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方
（3）开平方
（４）写出方程的解
三.范例研讨 运用新知
例1: 用配方法解方程：x2-6x-7=0
解: 移项得：x2-6x=7
配方得：x2-6x+32=7+32
即(x-3)2=16
开平方得： x-3=±4
∴原方程的解为：x1=-1，x2=7
设计意图:例1是上例的变式，本例采用“先做后说，师生共作，注重实质，循环上升”的教学方法，让学生的思维进一步得以训练，领会配方的要领，达到突出重点的目的。
拓展与应用：你能用配方法解方程2x2-6x-7=0吗？
设计意图：本例是例1的进一步变式，教师通过引导学生观察、分析、比较，从特殊到一般，从而得出结论---用配方法可解一个任意的一元二次方程。这样的设计，开阔了学生的视野，发散了学生的思维，深层次地激发了学生探索问题、解决问题的学习积极性。
四、反馈练习 巩固新知
1、填空: （认真做一做）
(1) x2-8x +( ) = (x - )2 (2) x2+1.5x +( )=(x + )2
(3)x2-2x+( ) = (x - )2 (4) x2+ 2mx +( )=(x + )2
2、用配方法解下列方程：
(1)x2+8x-15=0 (2)x2-5x-6=0 (3)2x2-5x-6=0 (4) x2+px+q=0(p2-4q＞0)
3.用配方法将下列式子化成a(x+h)2+k的形式。
(1)-3x2-2x+1 (2)x2-x+1 (3)y2+y-2
设计意图:反馈练习的设计目标明确，难易得当体现因材施教的原则.这样一方面强化了学生对配方过程的理解，另一方面也增强了学生应用意识的培养。
五、课堂小结 布置作业
小结：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤：
（１）化二次项系数为1（方程两边同时除以二次项系数a）
（2）移项（将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边）
（３）配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）
（４）开平方
（5）写出方程的解
设计意图：通过小结，使知识成为“系统”，起到画龙点睛的作用，也为下一节求根公式的推导打下坚实的基础。另外，这个环节的设计，还可以培养学生的概括能力。
作业：（A组）课本第38页习题第2题
（B组）1.已知x是实数，求y=x2-4x+5的最小值.
2.已知x2+y2-4x+8y+20=0,灵活应用配方法求x+y的值.
3.借助配方法任写一个代数式使它的值恒大于0.
设计意图：（1）巩固所学的概念；（2）发现和弥补教学中的遗漏和不足；
（3）强化基本技能训练，拓展学生的灵活应用能力。
板书设计
配方法 步骤 例1 拓展 练习
合作交流探究新知
课堂小结布置作业
一次项系数变为负又如何配方呢
2006年九年级数学新课程教学设计（案例）评比
范例研讨运用新知
反馈练习巩固新知
创设情境温故探新
观察(1)(2)看所填的常数与一次项系数之间有什么关系
(1)(2)的结论适合于(3)吗 适用于(4)吗
如何把方程(3)转化成(x+b)2=a(a≥0)的
形式呢
能否把(3)转化成(x+b)2=a(a≥0)的
形式呢
广州市萝岗区镇龙二中 李小兵
教材内容：华师大版九年级数学上册22.2一元二次方程的解法第3课时
教材分析：
配方法是继直接开平方法和因式分解法之后的第三种解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的通法.用配方法解一元二次方程虽较麻烦、也不常用，但配方运算中体现出的配方、比较、转化等数学思想方法及所渗透的思维多向性都有助于学生思维能力的培养以及思维品质的提高。配方法是推出求根公式的关键，学好配方法对二次三项式求最值，二次函数求顶点坐标、求最值，以及完全平方式的灵活运用都有很重要的作用。
教学目标：
知识与技能：
1.理解一元二次方程的解法----配方法.
2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.
过程与方法：
1.会用配方法解一元二次方程.
2.体会转化的数学思想方法.
3.培养学生观察分析和综合运用知识的能力。
情感态度与价值观：
1.让学生通过自主探究，体会获取成功的喜悦感。
2.通过合作交流，发扬协作精神.
3.使学生理解事物都是相互联系、相互制约的辨证唯物主义观点以及“特殊到一般”的基本思想方法。
教学重、难点：
用配方法解一元二次方程既是重点又是难点。关键是理解如何正确配方。
教学方法分析：
《新课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。”本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。注重学生的个性差异，因材施教，分层教学。注重师生互动、生生互动，让不同层次的学生动眼、动脑、动手、动口，参与数学思维活动，充分发挥学生的主体作用。善于运用多元的评价对学生适时、有度的“激励”，帮助学生认识自我、建立自信，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”。
教学过程:
教学流程图：
一、创设情境 温故探新
前面我们已经探讨了一元二次方程的两种解法---直接开平方法和因式分解法，请大家想一想直接开平方法适用于什么样的类型？
板书：⑴x2=a(a≥0) ； ⑵(x+b)2=a(a≥0)
1、(开心练一练)用直接开平方法解下列方程.
( 1)9x2=1 (2)(x-2)2=2
设计意图：温故探新巩固直接开平方法解一元二次方程，熟悉可用直接开平方法的方程特征,同时为探究配方法作铺垫。
2、（静心想一想）下列方程能用直接开平方法解吗
(1) x2-4x+4=2 (2) x2+12x+36=9 (3)x2+6x-15=0
设计意图：第(1)小题是练习1的第(2)小题展开后的结果，（1）（2）小题学生易改写成(x+b)2=a(a≥0)的形式用直接开平方法解出，但第（3）小题“形似神不似”，激发矛盾，提出问题，引出本课课题。通过创设问题情境，选择新旧知识的切入点，进行启发提问，构造问题悬念，易激发学生的好奇心和求知欲。
二、合作交流 探究新知
1、(大胆试一试)填适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2+6x+ =(x + 3 )2
(2) x2+8x+ =(x )2
(3) x2-4x+ =(x )2
(4) x2+px+ = (x )2
共同点：
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
右边:所填常数等于一次项系数的一半.
设计意图：问题串的设计从一次项系数为正到一次项系数为负,从数字系数到字母系数,由易而难,由浅入深,由具体到抽象,由感性到理性,循序渐进,符合学生的认知规律.通过引导学生观察、分析、讨论、交流、探究得出结论，达到突破难点的目的。体现了以学生为主体教师为主导的新课程理念。
2、现在你会解方程 x2+6x-15=0吗？
解:把常数项移到方程右边得：x2+6x=15
两边同加上32 得：x2+6x+32 =15+32
即(x+3)2=24
两边直接开平方得：x+3=±2
∴原方程的解为：x1=-3+2，x2=-3-2
设计意图：学生思考后尝试配方过程，教师予以适当指导。此例照应本课开头，画龙点睛，达到解决问题的目的。通过学生的归纳总结，得出配方法及用配方法解形如x2+px+q=0型一元二次方程的步骤。
3、配方法：通过配方将方程的左边配成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数，运用直接开平方求出方程的解的方法叫配方法。
由上例学生讨论归纳得出：解形如x2+px+q=0型一元方程的一般步骤：
（１）移项（将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边）
（2）配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方
（3）开平方
（４）写出方程的解
三.范例研讨 运用新知
例1: 用配方法解方程：x2-6x-7=0
解: 移项得：x2-6x=7
配方得：x2-6x+32=7+32
即(x-3)2=16
开平方得： x-3=±4
∴原方程的解为：x1=-1，x2=7
设计意图:例1是上例的变式，本例采用“先做后说，师生共作，注重实质，循环上升”的教学方法，让学生的思维进一步得以训练，领会配方的要领，达到突出重点的目的。
拓展与应用：你能用配方法解方程2x2-6x-7=0吗？
设计意图：本例是例1的进一步变式，教师通过引导学生观察、分析、比较，从特殊到一般，从而得出结论---用配方法可解一个任意的一元二次方程。这样的设计，开阔了学生的视野，发散了学生的思维，深层次地激发了学生探索问题、解决问题的学习积极性。
四、反馈练习 巩固新知
1、填空: （认真做一做）
(1) x2-8x +( ) = (x - )2 (2) x2+1.5x +( )=(x + )2
(3)x2-2x+( ) = (x - )2 (4) x2+ 2mx +( )=(x + )2
2、用配方法解下列方程：
(1)x2+8x-15=0 (2)x2-5x-6=0 (3)2x2-5x-6=0 (4) x2+px+q=0(p2-4q＞0)
3.用配方法将下列式子化成a(x+h)2+k的形式。
(1)-3x2-2x+1 (2)x2-x+1 (3)y2+y-2
设计意图:反馈练习的设计目标明确，难易得当体现因材施教的原则.这样一方面强化了学生对配方过程的理解，另一方面也增强了学生应用意识的培养。
五、课堂小结 布置作业
小结：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤：
（１）化二次项系数为1（方程两边同时除以二次项系数a）
（2）移项（将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边）
（３）配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）
（４）开平方
（5）写出方程的解
设计意图：通过小结，使知识成为“系统”，起到画龙点睛的作用，也为下一节求根公式的推导打下坚实的基础。另外，这个环节的设计，还可以培养学生的概括能力。
作业：（A组）课本第38页习题第2题
（B组）1.已知x是实数，求y=x2-4x+5的最小值.
2.已知x2+y2-4x+8y+20=0,灵活应用配方法求x+y的值.
3.借助配方法任写一个代数式使它的值恒大于0.
设计意图：（1）巩固所学的概念；（2）发现和弥补教学中的遗漏和不足；
（3）强化基本技能训练，拓展学生的灵活应用能力。
板书设计
配方法 步骤 例1 拓展 练习
合作交流探究新知
课堂小结布置作业
一次项系数变为负又如何配方呢
2006年九年级数学新课程教学设计（案例）评比
范例研讨运用新知
反馈练习巩固新知
创设情境温故探新
观察(1)(2)看所填的常数与一次项系数之间有什么关系
(1)(2)的结论适合于(3)吗 适用于(4)吗
如何把方程(3)转化成(x+b)2=a(a≥0)的
形式呢
能否把(3)转化成(x+b)2=a(a≥0)的
形式呢