第一单元《直角三角形》单元测试卷（困难）（含解析）

湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，，，，下列结论中，正确的个数是( )
．
A. B. C. D.
2. 如图，已知在四边形中，为对角线，，，，在边上取一点，连接、若，现有下列五个结论：；与互余；平分；，，其中正确的命题个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 如图，在中，，，，为边上一点，，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 四边形中，，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：，，，，其正确的个数有( )个
A. B. C. D.
7. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积。如图是由个边长为的小正方形拼成的图形，是其中个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )
A. B. C. D.
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
B. 一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D. 三个内角对应相等的两个三角形全等
9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的负半轴上，其中，，将矩形绕点逆时针旋转，点恰好落在轴上，线段与交于点，那么点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
11. 如图，，平分，，，，则下列结论：，平分，，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
12. 如图，已知平分平分下列结论正确的有( )
若则
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，有一副三角板与，其中，，，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点、重合，且点、、三点在同一直线上，则的度数是_______________．
14. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，、分别是，的中点，若，，则线段的长为_____．
15. 如图，四边形中，，，是边上的一点，且，若线段上存在点，使则的度数为______．
16. 如图，和相交于点，，，、分别平分和，若，则的度数是________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，中，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．
在图的中，，，请在图中画出关于点的二分割线，且角度是______．
已知，在图中画出不同于图，图的，所画同时满足：
为最小角；
存在关于点的二分割线，的度数是______．
已知，同时满足：
为最小角；
存在关于点的二分割线，请求出的度数用表示．
18. 本小题分
如图，已知直线经过点，交轴于点，直线：交直线于点．
求直线的函数表达式和点的坐标；
求的面积；
在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知，，且、满足
求点的坐标；
如图，已知点，点、关于轴对称，连接交轴于，交的延长线于，求：的值；
如图，若点、，连、，试确定的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围．
20. 本小题分
在直线上顺次取，，三点，分别以，为边在直线的同侧作等边三角形，作得的两个等边三角形的另一顶点分别为，两点连结．
如图所示，若，，求的长度．
如图所示，连结，，求证：．
如图所示，将图中的等边三角形绕点作适当的旋转，连结，若有，试求的度数．
21. 本小题分
在中，，点是直线上一点不与重合，以为一边在的右 侧作，使，连接．
如图，当点在线段上，如果，则_______度；
设，．
如图，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
22. 本小题分
如图，过等边的顶点在内部作射线，设，记点关于射线的对称点为点，直线交于点，连接，．
求出的大小；用含的式子表示
试说明在变化的过程中，的大小保持不变，并求出的大小
连接，交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并予以证明．
23. 本小题分
已知：如图，于点，，判断与的位置关系，并说明理由．
24. 本小题分
我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
性质理解：
如图，在“对顶三角形”与中，则，则____．
性质应用：
如图，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．
拓展提高：
如图，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，直接写出的度数用含的式子表示
25. 本小题分
如图，在中，已知平分交于点，过点作，，分别交、于点、点，求证：垂直平分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
故正确；
由得：，
，
，
故正确；
由得：点、、、共圆，
，，
，
，
故正确；
如图，
作于，
由得：平分，
，
，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故正确；
如上图，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
故不正确，
故选：．
设，依次表示出，，，，从而计算得，从而得出点、、、共圆，进一步得出结果；
计算可得出结果；
可推出，，进一步得出结果；
作，可推出，，进一步得出结果；
可推出的面积大于的面积，进而得出的面积大于与的面积之和，进一步得出的面积大于与的面积之和．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键寻找角之间数量关系．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，涉及勾股定理，属于难题．
解：如图所示：以为边向右作等边三角形，连接，过点作，过点作，过点作，垂足分别为，，，交于点，通过证明，得出，可得，点在直线上运动，通过得出和得出的最小值．
【解答】
解：如图所示：以为边向右作等边三角形，连接，过点作，过点作，过点作，垂足分别为，，，交于点，
，
四边形为长方形，
．
和是等边三角形，
，，，
或，即，
，
，
，
点在直线上运动，
在中，
，，
，
，
又，
，
，
则，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小且为，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．
在上取一点，使，连接，过点作于，证明≌，由全等三角形的性质得出，当点和点重合时，最小，用含角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当点和点重合时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是，
故选A．
5.【答案】
【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足为，在垂线上截取，连接，作，交的延长线于，
，
，
，
，
≌
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，设，则，
，
解得： 舍去，，
，
故选：．
过点作的垂线，垂足为，在垂线上截取，连接，作，交的延长线于，证明≌，根据勾股定理求出长，求得，则在中，，然后利用含的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形，等腰直角三角形．解题的关键是把绕点逆时针旋转得到，证明出．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出是含角的直角三角形是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明和全等，然后逐项判断即可．
【解答】
证明：
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，故正确；
，
，
故正确，
，，
，
，故正确，
无法判断，故错误，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得．
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【解答】
解：如图，经过、的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知≌≌，
，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是熟记判定三角形全等的方法．
【解答】
解：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，
选项A不符合题意；
斜边与一锐角相等的两个直角三角形全等或一直角边与一锐角相等的两个直角三角形全等，
选项B不符合题意；
顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等，利用证两个等腰三角形全等，
选项C符合题意；
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，
选项D不符合题意．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，勾股定理和点的坐标确定，坐标与图形变化旋转的有关知识，利用直角三角形全等的判定得，再利用勾股定理得，最后利用点的坐标确定得结论．
【解答】
解：连接，，与相交与点，如下图所示：
在中，
，，
，
，
则，
在和中，
，，，
≌，
因此，
在中，设，则，
，
即，
解得，即，
，
故选A．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，关键是推出．
根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线定义和对顶角相等得出，即可得出，再利用全等三角形的判定与性质及勾股定理得出答案．
【解答】
解：过点作于点，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，，
，
在和中
，
，，
，
在中，，，
在中，，
即，
解得：，
即的长为．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义及角平分线的定义掌握平行线的性质定理及垂直的定义，角平分线的定义是解题的关键．
根据，可得，然后分别求出，，，，的度数，即可判断．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
，
平分，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
又，
，
平分，故正确；
，故错误．
故B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握平行线的判定和性质证明，得出，可得正确；由，得出，，，可得正确；由于不一定等于，因此不一定平行于，得出错误；根据已知条件结合平行线的性质和角平分线定义，可以得出正确．
【解答】
解：平分，平分，
，，
，
，
，
，故正确；
，
，，，
，故正确；
不一定等于，或者说不一定等于，
因此不一定平行于，故错误；
，，
，
，
，
，
，故正确．
因此正确的有个．
故选C．
13.【答案】或或或
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出和的度数，再分别求出即可．
【解答】
解：有四种情况：
第一种情况：如图，
，，，
，，
第二种情况：如图，
，，
第三种情况：如图，
，，
第四种情况：如图，
，
，
，
的度数是或或或，
故答案为：或或或．
14.【答案】．
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算；连接，，先利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出，然后连接、，再根据旋转的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可．
【解答】
解：如图，连接，，
，，
，
是的中点，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，连接，过点作于点，于点，
则，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
连接、、，过点作于点，于点，先由证得≌，得出，，再由证得≌，得出，则，然后由证得≌，得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
【解答】
解：过点作，设，
，，，
，
，
，
，
，
，
、分别平分和，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为．
17.【答案】解：如图所示：，
故答案为：
如图所示：
如图所示：
故答案为：或；
如图，若是最大角时，是等腰三角形，是直角三角形，
，
，
，且，
，
如图，是等腰三角形，是直角三角形，
，且，
，
若，满足题意，
若，满足题意，
故或或或．
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
首先了解二分割线的定义，然后把分成角和角即可；
可以画出或的三角形；
分四种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
18.【答案】解：设直线的函数表达式为．
图象经过点，，
，解得
直线的函数表达式为．
联立解得：
点的坐标为
，，
点在轴上，，
当是直角三角形时，需分和两种情况．
当时，点在图中的位置：
点和点均在轴上，轴．
，
当时，点在图中的位置：
设，
，，，
，，，，
在中，，
在中，，
，
即，解得，．
综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或．
【解析】此题主要考查一次函数的综合，较难．
利用待定系数法求解析式，再联立方程求的坐标；
根据三角形面积求解；
利用分类讨论的思想，当是直角三角形时，需分和两种情况求解
19.【答案】解：由题意得，，，
则，
，
点的坐标为；
设与轴交于点，
，点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，，
点、关于轴对称，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
：：；
作点关于轴的对称点，过点作轴于，连接、，
由题意得，，，
在和中，
，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
．
【解析】根据二次根式的性质分别求出、的值，得到点的坐标；
证明为等腰直角三角形，得到≌，得到，计算即可；
作点关于轴的对称点，过点作轴于，连接、，证明≌，根据全等三角形的性质证明．
本题考查的是二次根式的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：和为等边三角形，
，，，，
，
，
，
，
；
证明：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
≌，
；
解：如图，连接，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
≌，
，
，，
，
，
，
．
【解析】本题考查的是等边三角形的性质，含直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理有关知识
根据等边三角形的性质得出，从而得出，结合求出，然后求出即可；
欲证明，只要证明≌即可；
连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得即可解决问题．
21.【答案】解：；
，
理由：，

即
在与中，
，
≌，

，
，
，
；
当点在延长线上时，，
当点在的延长线上时，

【解析】
【分析】
本题考查的知识点有全等三角形的判定、全等三角形的性质、分类讨论思想解题关键是全等三角形 的判定与 性质两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角．
先根据已知条件和全等三角形的判定定理得出≌，再根据三角形全等得出对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
在第问的基础上，将转化成三角形的内角和；
是和第 的拓展和延伸，要注意分两种情况即“当点在射线上时”和“当点在射线的反向延长线上时”分别求解即可．
【解答】
解： ，

即
在与中，

≌，
，
，
，
，
又
．
故答案为；
见答案；
当点在延长线上时，．
，
理由：，
，
在和中
，
≌，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，．
，
理由：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即
综上所述，当点在延长线上时，；当点在的延长线上时，

22.【答案】解：等边，
，
又因为对称
，
，
故的大小为；
不发生变化，
由知，，
，，
，
，
，

如图，线段，，之间的数量关系为：
证明：如图，在上取一点，使，连接，
由知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
点关于射线的对称点为点，
，，
，
，
，
，
即
【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
根据等边可知，因为对称可知，则可求出的大小；
先判断出，，在判断出，，进而得出，，，即可得出结论
先判断出是等边三角形，得出，，在判断出，进而判断出，得出，再判断出，得出，，即可得出结论．
23.【答案】．
理由如下：
于点，在与中，
，≌，，，
，，．
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等．
24.【答案】解：；
如图：
、分别平分和，
，，
又，
，
，
，
，
由图知与为对顶三角形，
，
又比大，
，
由，得，
．
答：的度数为．
，是的角平分线，
设，，
，即：，
和的平分线和相交于点，
，，
，
，
即：．

【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理可得到，进而得到，由图知与为对顶三角形得出，由题意知比大，联立方程组即可解得答案．
设，，可得，结合，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】
解：由对顶三角形可得，
在中，，
；
见答案；
见答案．
25.【答案】证明：平分，，，
，，，
，，
，
，
三线合一．
【解析】根据角平分线得出，，，推出，根据等腰三角形性质推出即可．
本题考查了角平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)