一元二次方程的解法（2）[上学期]
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文档简介
第22.2章 一元二次方程的解法（2）
教学目标
1.知识与技能
(1)知道求根公式法与配方法、开平方法的联系；
(2)熟练运用求根公式解一元二次方程。
2.过程与方法
通过尝试、讨论，探索推导求根公式。
3.情感、态度与价值观
通过本节学习，使学生养成良好的独立思考问题的习惯和运算习惯，解题时做到耐心细致。
教学重点难点
1.重点 求根公式。
2.难点 求根公式的推导。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
１．试用配方法解下列方程：
（１） （）；
（２） 。
【点评】由（１）配方、开平方得，引导学生对化简时的符号问题进行讨论，得出作为下面导出求根公式的铺垫之一；由（２）配方得，引导学生进行讨论，能否用直接开方法来求出x，使学生明确负数不能开平方，所以必须大于或等于0,作为导出求根公式的铺垫之二。从而分散教学难点，为顺利导出求根公式做准备。
2.二次项系数不为1时如何配方。
用配方法解方程：
【点评】设计此题的目的，一是复习配方法，二是为求根公式的推导作铺垫。
（二）合作交流，解读探究
1.求根公式
【自主探索】学生对照以上解法用配方法解方程 。
因为，所以可把方程的左右两边都除以二次项系数a，得：
，
移项，得：
配方，得：
即。
让学生展开讨论：此时可用开平方法来求解吗？
让学生充分发表意见，从而明确：因为，所以，根据平方根的性质，只有当时，才可用开平方法求得
再让学生讨论吗？
先让学生充分发表意见，再指出：
但因式子前面已有符号“”，所以无论，还是，
最终结果总是
即
这样，我们就得到了一元二次方程 的求根公式
【点评】①使学生感受求根公式的美妙，在公式中出现的字母就是给出的一元二次方程中的系数，只要将相应的系数代入到公式中即可求出一元二次方程的解；
②用求根公式解一元二次方程，应先将方程化为一般形式，再将相应的系数代入对应的字母中，要注意a，b，c的符号，在求值时要有耐心和细心；
③在运用求根公式求解时，应先计算的值：当时，可用公式求出方程的两个实数根；当时，原方程没有实数根，也就不必代入公式计算了。
2.公式法
利用求根公式，我们可以由一元二次方程中系数a，b，c的值，直接求得方程的解。这种解方程的方法就叫做公式法。
【探究】运用公式法解方程应该注意什么
①先将一元二次方程化为一般形式；
②确定a，b，c的值；
③计算的值；
④根据的值确定方程根的情况。
（三）应用迁移，巩固提高
例１解下列方程：
（１）；
（２）；
（３）。
解：（１）这里a＝３，b＝－１，c＝－２
所以
即原方程的解是，。
（２）这里a＝９，b＝－12，c＝4
所以原方程的解是。
（３）这里a＝１，b＝５，c＝８
所以原方程无解。
例２学生阅读教材的例６，进一步熟悉和掌握运用公式法解方程的方法步骤。
【讨论】运用公式法解一元二次方程哪些环节容易出错？
【答案】公式记错、系数弄错、数值代错、计算出错
【练一练】见教材第35页的练习，学生独立完成。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1.求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用；
2.运用求根公式解一元二次方程的一般步骤：①将方程写成一般形式；
②写出a,b,c的数值；③计算的值。
3.一元二次方程根的情况由来决定：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根。
【拓展】解关于x的方程
这是一道字母系数的一元二次方程，主要是考查学生的发散思维和运用能力。
解：这里的a＝２，b＝，c＝
因为
所以
所以，。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.将方程化为一般形式为，其中
a＝ ４ ，b＝ －9 ，c＝ 18 ， －207 ，原方程根的情况是 没有实数根 。
2．已知，，则使的x的值为（Ｄ）
A．或 B．或
C． D．或
3．方程的两根为、，则等于（A）
A． B．－2 C．－1 D．
4．若代数式的值为66，则a的值是3或－11
5．用公式法解下列方程：
（１）；（２）；
【答案】（１），；
（２），
6．用公式法解下列方程：
（１）；（２）
【答案】（１），；（２），
7．选取合适的方法，解关于x的一元二次方程
【答案】，
开放探究
8.若方程和方程，仅有一个相同的解。求它们相同的解及p的值。
【答案】，
教学目标
1.知识与技能
(1)知道求根公式法与配方法、开平方法的联系；
(2)熟练运用求根公式解一元二次方程。
2.过程与方法
通过尝试、讨论，探索推导求根公式。
3.情感、态度与价值观
通过本节学习，使学生养成良好的独立思考问题的习惯和运算习惯，解题时做到耐心细致。
教学重点难点
1.重点 求根公式。
2.难点 求根公式的推导。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
１．试用配方法解下列方程：
（１） （）；
（２） 。
【点评】由（１）配方、开平方得，引导学生对化简时的符号问题进行讨论，得出作为下面导出求根公式的铺垫之一；由（２）配方得，引导学生进行讨论，能否用直接开方法来求出x，使学生明确负数不能开平方，所以必须大于或等于0,作为导出求根公式的铺垫之二。从而分散教学难点，为顺利导出求根公式做准备。
2.二次项系数不为1时如何配方。
用配方法解方程：
【点评】设计此题的目的，一是复习配方法，二是为求根公式的推导作铺垫。
（二）合作交流，解读探究
1.求根公式
【自主探索】学生对照以上解法用配方法解方程 。
因为，所以可把方程的左右两边都除以二次项系数a，得：
，
移项，得：
配方，得：
即。
让学生展开讨论：此时可用开平方法来求解吗？
让学生充分发表意见，从而明确：因为，所以，根据平方根的性质，只有当时，才可用开平方法求得
再让学生讨论吗？
先让学生充分发表意见，再指出：
但因式子前面已有符号“”，所以无论，还是，
最终结果总是
即
这样，我们就得到了一元二次方程 的求根公式
【点评】①使学生感受求根公式的美妙，在公式中出现的字母就是给出的一元二次方程中的系数，只要将相应的系数代入到公式中即可求出一元二次方程的解；
②用求根公式解一元二次方程，应先将方程化为一般形式，再将相应的系数代入对应的字母中，要注意a，b，c的符号，在求值时要有耐心和细心；
③在运用求根公式求解时，应先计算的值：当时，可用公式求出方程的两个实数根；当时，原方程没有实数根，也就不必代入公式计算了。
2.公式法
利用求根公式，我们可以由一元二次方程中系数a，b，c的值，直接求得方程的解。这种解方程的方法就叫做公式法。
【探究】运用公式法解方程应该注意什么
①先将一元二次方程化为一般形式；
②确定a，b，c的值；
③计算的值；
④根据的值确定方程根的情况。
（三）应用迁移，巩固提高
例１解下列方程：
（１）；
（２）；
（３）。
解：（１）这里a＝３，b＝－１，c＝－２
所以
即原方程的解是，。
（２）这里a＝９，b＝－12，c＝4
所以原方程的解是。
（３）这里a＝１，b＝５，c＝８
所以原方程无解。
例２学生阅读教材的例６，进一步熟悉和掌握运用公式法解方程的方法步骤。
【讨论】运用公式法解一元二次方程哪些环节容易出错？
【答案】公式记错、系数弄错、数值代错、计算出错
【练一练】见教材第35页的练习，学生独立完成。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1.求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用；
2.运用求根公式解一元二次方程的一般步骤：①将方程写成一般形式；
②写出a,b,c的数值；③计算的值。
3.一元二次方程根的情况由来决定：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根。
【拓展】解关于x的方程
这是一道字母系数的一元二次方程，主要是考查学生的发散思维和运用能力。
解：这里的a＝２，b＝，c＝
因为
所以
所以，。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.将方程化为一般形式为，其中
a＝ ４ ，b＝ －9 ，c＝ 18 ， －207 ，原方程根的情况是 没有实数根 。
2．已知，，则使的x的值为（Ｄ）
A．或 B．或
C． D．或
3．方程的两根为、，则等于（A）
A． B．－2 C．－1 D．
4．若代数式的值为66，则a的值是3或－11
5．用公式法解下列方程：
（１）；（２）；
【答案】（１），；
（２），
6．用公式法解下列方程：
（１）；（２）
【答案】（１），；（２），
7．选取合适的方法，解关于x的一元二次方程
【答案】，
开放探究
8.若方程和方程，仅有一个相同的解。求它们相同的解及p的值。
【答案】，