第三单元《图形与坐标》单元测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学八年级下册第三单元《图形与坐标》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2. 如图，一个粒子在第一象限和，轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，即，且每秒运动一个单位长度，那么秒时，这个粒子所处位置为( )
A. B. C. D.
3. 点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交、两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在正方形中，点的坐标是，点、分别在边、上，若，则点的纵坐标是( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，为轴上一点，若为等腰三角形，则满足条件的点的个数为个．( )
A. B. C. D.
7. 如图，已知，在轴上，点，，，在射线轴上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的横坐标为( )
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，长为的线段点在点右侧在轴上移动，，，连接，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个动点，点是轴正半轴上的点，于点已知，点到原点的最大距离为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
12. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点中心对称，再作与关于点中心对称，如此作下去，则是正整数的顶点的坐标是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足点为线段的中点，则点运动路径的长为____________。
14. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，，依次规律，则点的坐标是______．
15. 在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点有________个．
16. 等腰三角形顶角，已知，，在轴上．和点关于轴对称，、分别为边、上的一个动点．四边形的周长最小为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，，且一动点从点出发，以每秒单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动的时间为
求，两点的坐标；
连接，若为等腰三角形，求点的坐标；
当点在线段上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请求出的值并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 本小题分
已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是______；
点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；
点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．
19. 本小题分
已知，均为正整数．我们把满足的点称为幸福点．
下列四个点中为幸福点的是______；
；；；
若点是一个幸福点，求的值；
已知点是一个幸福点，则存在正整数，满足，试问是否存在实数的值使得点和点到轴的距离相等，且到轴的距离也相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，．
如图，求证：是等边三角形；
如图，若点为轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，求证：；
如图，若，，点为的中点，连接、交于，请问、与之间有何数量关系，并证明你的结论．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为
已知点，点．
与两点之间的“直角距离”________；
点为轴上的一个动点，当的取值范围是________时，的值最小；
若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域用阴影表示．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，点且，直线与轴交于点，过点且垂直于的直线与轴交于点，连接．
判断线段与的数量关系，并就下图中的情况进行证明；
当为等腰三角形时，求的值．
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是的中点，

点为上一点，连接，，且，求的值
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．
将向左平移个单位得到，写出三顶点的坐标；
将绕原点逆时针旋转后得到，请你写出三顶点的坐标；
与重合部分的面积为______直接写出．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作直线轴，点是直线上一动点，连接，过点作交轴于点，与分别平分，．
填空：_________，_________．
在点的运动过程中，的度数是否变化若不变，求出它的度数若变化，请说明理由；
若点的纵坐标为，在轴上是否存在点，使得的面积和的面积相等若存在，求出点坐标若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】
解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置，
即点的位置，点的坐标为，
故选A．
2.【答案】
【解析】解：由题意，
设粒子运动到，，，时所用的间分别为，，，，
则，，，，，，
，
，
，
，
，
相加得：
，
．
，故运动了秒时它到点；
又由运动规律知：，，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到时向左运动秒到达点，
即运动了秒．所求点应为．
故选：．
该题显然是数列问题．设粒子运动到，，时所用的时间分别为，，，则，，，，，由，则，，，，，以上相加得到的值，进而求得来解．
考查了规律型：点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列通项的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
点到轴距离为．
故选：．
纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．
本题考查了点的坐标的几何意义：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
4.【答案】
【解析】解：，
，．
平分，
．
平分，
，
．
故选：．
由即可得出、，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理有关知识，如图连接，延长使得，则≌先证明≌，推出，设，在中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【解答】
解：如图连接，延长使得，则≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，设，
，
，，，
，
，
点的纵坐标为．
故选B．

6.【答案】
【解析】解：如图，满足条件的点的个数为．
故选D．
分别以长为腰或底，得到与轴交点即为所求点即可．
本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查坐标与图形的性质，以及等边三角形的性质，三角形的外角性质分析图形得到点的坐标的规律是解答此题的关键．
由等边三角形的性质可得，由外角性质可得，进而可得，再求出，可得点的横坐标，以及、、的坐标，根据其中的规律得到的坐标．
【解答】
解：根据题意，得
，，，均为等边三角形，
，，
，
，
，
，
所以的横坐标为，
同理可得：的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为．
8.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，，
，
要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，，
如图中，作点关于原点的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
，
的最小值，
的最小值为．
故选：．
设，则有，推出要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图中，作点关于原点的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，，如图，
为的中点，，
．
，
．
当，，三点不在一条直线上时，，
当，，三点在一条直线上时，，
当，，三点在一条直线上时，点到原点的最大距离为．
故选：．
取的中点，连接，，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，利用勾股定理求得，利用三角形两边之和大于第三边，可知当，，三点在一条直线上时，点到原点的距离取得最大值，结论可求．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边之间的关系定理，利用当，，三点在一条直线上时，点到原点的距离取得最大值解答是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直角三角形的性质，若要使取得最小值，则需取得最小值连结，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，根据勾股定理可求解，进而求解．
【解答】
解：，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连结，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点．
则，，
，
又，
，
．
故选C．

11.【答案】
【解析】解：
将沿折叠，
，
又，，
，
点的坐标为：，
设点坐标为，
则，
，
，
，
，
故选：．
设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，也考查了翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了坐标与图形变化旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标的变化规律．
首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【解答】
解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
，
，，，，，
的横坐标是，的横坐标是，
当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
顶点的纵坐标是，
是正整数的顶点的坐标是
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，一次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构建一次函数，探究轨迹，属于中考常考题型．分两种情形：当点在轴的正半轴上时，过点作于点，于点设判断出点的运动轨迹，同法求出点在轴的负半轴上时，点的运动轨迹的长，可得结论．
【解答】
解：如图，当点在轴的正半轴上时，过点作于点，于点设．
，，，
，，
，
，
，
点在直线上运动，
直线与坐标轴交于，，
点运动路径的长，
当点在轴的负半轴上时，同法可得点运动路径的长，
综上所述，点的运动路径的长为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
从到经过了次变化，
，．
点所在的正方形的边长为，点位置在第四象限．
点的坐标是；
可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
故答案为．
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到的后变化的坐标，再求出、、、、，得出即可．
本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．分为、，三种情况画图判断即可．
【解答】
解：如图所示：
当时，符合条件的点有个；当时，符合条件的点有个；当点在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：是等腰三角形，，
，
、都在轴上，
，
点即为的中点，
点的坐标为，
点的坐标为，
和点关于轴对称，
点的坐标为，
，
过点作关于的对称点，过点作关于的对称点，连接，，
，，
四边形的周长，
由两点之间线段最短可知，当、、、四点共线时，有最小值，
即此时四边形的周长有最小值，
即，
过点作轴于，设交于，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
点的坐标为，
同理求出的坐标为，
，
四边形的周长的最小值为，
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质求出点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特点求出点的坐标，过点作关于的对称点，过点作关于的对称点，连接，，可得四边形的周长，由两点之间线段最短可知，当、、、四点共线时，有最小值，即此时四边形的周长有最小值，即，过点作轴于，设交于，只需要求出点、点的坐标即可得到答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，轴对称最短路径问题，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，坐标与图形变化轴对称等等，正确作出辅助线确定出四边形周长最小时的情形是解题的关键．
17.【答案】解：，
，，
解得，，，
点的坐标为，点的坐标为；
由勾股定理得，，
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标；
当时，设，则，
在中，，即，
解得，，
则，
点的坐标；
综上所述，为等腰三角形，点的坐标为或；；
当≌时，，，
，
则秒，点的坐标为或；
当≌时，，，
则秒，点的坐标为或．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、非负数的性质、等腰三角形的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据非负数的性质分别求出、，得到，两点的坐标；
分、、三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算即可；
分≌和≌两种情况，根据全等三角形的性质解答．
18.【答案】解：设是正方形上一点，则有，
，解得：，
在正方形上，
是正方形关于点的倍点；
同理可得：不满足条件，满足条件，
正方形关于点的倍点为，，
故答案为：，；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则，解得：，
点在直线上，则，
，
，即，
解得：；
或．
【解析】根据“倍点”的定义，逐一判断即可；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，再根据“倍点”的定义
得出，最后根据，得出结果；
本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19.【答案】解：；
点是一个幸福点，
，，
，均为正整数，
，或或，，
当，时，，
当时，，
当，时，，
的值为或或；
由题意可知，，，
点和点到轴的距离相等，
，
点和点到轴的距离相等，
，
将、联立得，，
，均为正整数，
无意义，
故不存在实数．
【解析】解：，均为正整数，满足的点称为幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
，，，中只有是幸福点，
故答案为：；
点是一个幸福点，
，，
，均为正整数，
，或或，，
当，时，，
当时，，
当，时，，
的值为或或；
由题意可知，，，
点和点到轴的距离相等，
，
点和点到轴的距离相等，
，
将、联立得，，
，均为正整数，
无意义，
故不存在实数．
根据，均为正整数，对，分类讨论，分别求出幸福点即可；
将点坐标分别代入求出的值即可；
先表示出点，再根据点和点到轴的距离相等，到轴的距离也相等列出关系式求解即可．
本题主要考查点的坐标，读懂题意列出方程，能熟练运用分类讨论思想解决问题是解答此题的关键．
20.【答案】证明：，，
，
，
是等边三角形；
证明：由知：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，，
，
；
，理由如下：
如图，在上截取，连接，可得，即，
，，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，
，
；
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论；
根据证明≌，得，由字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论；
如图，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证．
21.【答案】解：；
如图：

【解析】
【分析】
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，坐标与图形的性质，新定义，解答本题的关键是掌握新定义的运算法则．
根据新定义的概念求出的值即可；
根据、、三点的坐标，新定义的概念求出的值，再根据绝对值的几何意义进行解答，即可求解；
根据新定义的概念，结合，直接画出符合题意的图形即可．
【解答】
解：，，
．
故答案为；
，，，
，
根据绝对值的几何意义可知，点表示点的点在以表示的点和表示的点为端点的线段上时，的值最小，
当的取值范围是时，的值最小．
故答案为；
见答案．
22.【答案】解：，证明如下：
过点分别作轴于，作轴于，如图：
则，
，
，
于，
，
，
，
，
，即，
在和中，
≌，
；
设直线的解析式为，
把，两点的坐标分别代入到中，得
解得
直线的解析式为，
且，
当时，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，过点分别作轴于，作轴于，如图：
则，
四边形是矩形，
，
，四边形是正方形，
，
，
，，
由可知，，
，
当为等腰三角形时，分三种情况：
当时，于，
，
，
把点的坐标代入到中，得，
，
，
，
，
或，
，
此时的值为；
当时，，
，
在和中，
≌，
，
，
，
把点的坐标代入到中，得，
，
，，
将方程两边同时除以，得，
此时的值是；
当时，这种情况不存在，理由如下：
由可知，，
，
当时，，
，
轴，这种情况不存在；
当时，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，过点分别作轴于，作轴于，如图：
则，
四边形是矩形，
，
，四边形是正方形，
，
，
，，
由可知，，
，
当为等腰三角形时，只有一种情况，即，
于，
，
，
把点的坐标代入到中，得，
，
，
，
，
或，
，
此时的值为；
综上所述，的值为或或．
【解析】本题主要考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
过点分别作轴于，作轴于，证明≌，即可证明结论成立；
首先利用待定系数法求出直线的解析式为，根据且，得出当时，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，过点分别作轴于，作轴于，画出图形，结合图形，根据等腰三角形的性质，分三种情况求出的值；当时，且为等腰三角形时，只有一种情况，即，根据等腰三角形的性质得出点的坐标为，把点的坐标代入到中，得，根据平方根的意义解方程求出的值即可；综合上述情况进行解答，即可求解．
23.【答案】解：
在上取，使得，
是中点，
，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
，
则，
．
【解析】
【分析】
本题考查坐标和图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形．
证是等腰直角三角形，即可解答
在上取，使得，先证≌得，，再证≌得，根据代入求解可得．
【解答】
解：，
是等腰直角三角形
见答案．
24.【答案】
【解析】解：如图所示：，即为所求，点；
如图所示：，点，，；
且交点到，的距离相等，
设与重合部分的直角边长为，则，
解得：，
故与重合部分的面积为：．
故答案为：．
直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用旋转的性质得出重合部分边长关系进而得出答案．
本题考查了旋转变换以及勾股定理，掌握对应点位置是关键．
25.【答案】解：；
的度数不变，为，过点作，
，
，
，
，
，
，分别平分，，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
存在．
过点作于点，过点作于点，
，，
，
设点，
，
，
，
，
，
若点在轴下方如图，
即时，，
，
点
若点在轴上方如图，
即时，，
，
点
综上所述，点的坐标为或

【解析】
【分析】
本题考查了非负数的性质、平行线的性质、角平分线定义、平行公理的推论、三角形的面积以及坐标与图形性质：利用点的坐标计算出相应的线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．
根据非负数的性质易得，，然后根据三角形面积公式计算；
过点作，先根据垂直关系和平行线的性质证明，再根据平分线定义证明，再根据平行线的性质和平行公理的推论结合角的和差关系易得结论；
过点作于点，过点作于点，先求出的面积，设点，用含的代数式分别表示的面积，的面积和梯形的面积还有的面积，再根据面积的等量关系列出关于的方程，解方程求出的值，再分情况讨论：点在轴下方和点在轴上方两种情况求的坐标即可．
【解答】
解：，
，，
，，
故答案为；；
见答案；
见答案．
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