一元二次方程的解法（4）[上学期]
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文档简介
第5课时 一元二次方程的解法（4）
教学目标
1.知识与技能
(1)会根据实际问题中的数量关系和等量关系，列出一元二次方程，并能对方程解的合理性作出解释；
(2)掌握列方程解实际问题的一般步骤。
2.过程与方法
让学生结合图形进行分析和探讨，构建一元二次方程模型。
3.情感、态度与价值观
（１）通过列方程解实际问题，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具，从而感受数学的价值；
（２）在学习过程中学会自主和与人合作，发展学生个性。
教学重点难点
1.重点 找出问题中的数量关系；
2.难点 找等量关系并列出相应方程。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
１．回顾：同学们前面已经学过了用什么样的方法解应用题？对“列方程解应用题”你有什么经验？
2.复习列方程解应用题的一般步骤。
3.本章22.1节中提出的“问题１”你现在能解决吗？
【点评】这样导入新课，前呼后应，使学生能够体会到新的知识与方法在解决实际问题中的作用，有助于激发学生的学习积极性。
（二）合作交流，解读探究
列方程解应用题
【做一做】让学生解决22.1节中的问题1.
（１）学生解方程
解：
所以，。
（２）让学生结合实际问题讨论根的取舍，并说明理由。
理由：这两个根都是所列方程的解，但负数根不符合题意，应舍去。所以符合题意的解是，即
因此绿地的宽和长应分别约为25.4米和35.4米。
【探究】（１）用22cm长的铁丝，折成一个面积为30的矩形，求这个矩形的长与宽。
①引导学生根据题中所给出的条件和问题画出图形。（如图所示）
②引导学生依据已知周长、一边的长，求另一边的长，列代数式。
③引导学生依据长方形的面积计算公式列出方程。
④先让学生试一试，再借助合作学习完成。
解：设这个矩形的长为xcm，则宽为，根据题意得：
整理后，得：
解这个方程，得：
，
由得：与题设不符，应舍去。
由得：与题设相符，是该问题的解。
答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm.
（２）即教材第36页的例7
①先让学生对照图形（如图），结合题意分组进行讨论：长方体水槽的长和宽分别是多少？
②学生合作交流解题过程
解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得：
整理得：
解这个方程得：
，
由，得：
，
与题设不相符，应舍去。
由，得，
与题设相符是该问题的解。
答：截去正方形的边长为10厘米。
（三）应用迁移，巩固提高
例１某校初三学生，若排成正方形，还多6人；若每排减少4人，排数就增加6排，但少2人，求学生人数。
【点拨】设学生排成正方形时有x排，则关键在于列出每排人数减少和排数增加的代数式结合题意，不难得出这一代数式。
解：设学生排成正方形时有x排，根据题意，得
解这个方程，得
经检验，x＝16符合题意，所以该校初三学生人数为（人）
答：某校初三学生有262人。
例２黄冈百货商店服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：若每件童服每降价4元，则平均每天就多销售8件，若想每天在销售这种童装上盈利1200元，则每件童装应降价多少元。
【评析】这是一道实际生活中的盈利问题，主要考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现数学在现实生活中的应用价值，难度不大。
解：设每件童装应降价x元，根据题意得
整理得 ：
解这个方程，得
因为要扩大销售量，减少库存，故应取20，所以每件童装应降价20元。
【备选例题】一次会议上，每两人都握一次手，有人统计一共握了360次手，这次会议到会得人数是多少人？。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1.列方程解应用题，就是要学会把实际问题转化为数学问题，解决问题得关键在于审题和分析题中的数量关系；
2.你能总结一下列方程解应用题的一般步骤吗？与同学交流一下。
【拓展】一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时，容器内剩下的纯药液是28升，问每次倒出液体多少升？
解法1：设每次倒出液体x升，则第一次倒出一部分后剩下的纯药液为升，第二次倒出的药液的浓度为，则第二次倒出的纯药液是升，由题意得：
解得=21，=105（舍去）
解法2：设每次倒出液体x升，则第一次倒出一部分后剩下的纯药液为升，第二次倒出同样多的一部分后剩下的纯药液为升。
由题意得
解得=21，=105（舍去）
答：每次倒出液体21升。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.长方形的长为xcm,宽比长少4cm，面积等于60，根据题意可列出方程
，解得长方形的长为10cm, 宽为6cm，则长方形的周长是32 cm。
2．矩形的周长为62cm，如果面积等于210 ，设长为，则宽为,可以列出方程为，则矩形的长是21cm，宽是10cm 。
3．已知两个连续奇数的积是255，则这两个连续奇数分别是15，17或—15，—17。
4．一块长比宽多8m 的长方形草地，在它的四周开一条宽4m 的道路后，草地剩下的面积恰好是原来的，设草地宽xm，
（1）用 x 的代数式表示
①草地的长是;
②草地的原面积是
③开了道路后，草地剩余部分的宽为，长为xm，面积为
(2)依题意，可得关于 x的方程。
5．等腰梯形的面积为160，上底比高多4，下底比高多20，这梯形的面积为8cm。
6．已知两个数的和为12，积等于—133，则这两个数分别是（ ）
教学目标
1.知识与技能
(1)会根据实际问题中的数量关系和等量关系，列出一元二次方程，并能对方程解的合理性作出解释；
(2)掌握列方程解实际问题的一般步骤。
2.过程与方法
让学生结合图形进行分析和探讨，构建一元二次方程模型。
3.情感、态度与价值观
（１）通过列方程解实际问题，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具，从而感受数学的价值；
（２）在学习过程中学会自主和与人合作，发展学生个性。
教学重点难点
1.重点 找出问题中的数量关系；
2.难点 找等量关系并列出相应方程。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
１．回顾：同学们前面已经学过了用什么样的方法解应用题？对“列方程解应用题”你有什么经验？
2.复习列方程解应用题的一般步骤。
3.本章22.1节中提出的“问题１”你现在能解决吗？
【点评】这样导入新课，前呼后应，使学生能够体会到新的知识与方法在解决实际问题中的作用，有助于激发学生的学习积极性。
（二）合作交流，解读探究
列方程解应用题
【做一做】让学生解决22.1节中的问题1.
（１）学生解方程
解：
所以，。
（２）让学生结合实际问题讨论根的取舍，并说明理由。
理由：这两个根都是所列方程的解，但负数根不符合题意，应舍去。所以符合题意的解是，即
因此绿地的宽和长应分别约为25.4米和35.4米。
【探究】（１）用22cm长的铁丝，折成一个面积为30的矩形，求这个矩形的长与宽。
①引导学生根据题中所给出的条件和问题画出图形。（如图所示）
②引导学生依据已知周长、一边的长，求另一边的长，列代数式。
③引导学生依据长方形的面积计算公式列出方程。
④先让学生试一试，再借助合作学习完成。
解：设这个矩形的长为xcm，则宽为，根据题意得：
整理后，得：
解这个方程，得：
，
由得：与题设不符，应舍去。
由得：与题设相符，是该问题的解。
答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm.
（２）即教材第36页的例7
①先让学生对照图形（如图），结合题意分组进行讨论：长方体水槽的长和宽分别是多少？
②学生合作交流解题过程
解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得：
整理得：
解这个方程得：
，
由，得：
，
与题设不相符，应舍去。
由，得，
与题设相符是该问题的解。
答：截去正方形的边长为10厘米。
（三）应用迁移，巩固提高
例１某校初三学生，若排成正方形，还多6人；若每排减少4人，排数就增加6排，但少2人，求学生人数。
【点拨】设学生排成正方形时有x排，则关键在于列出每排人数减少和排数增加的代数式结合题意，不难得出这一代数式。
解：设学生排成正方形时有x排，根据题意，得
解这个方程，得
经检验，x＝16符合题意，所以该校初三学生人数为（人）
答：某校初三学生有262人。
例２黄冈百货商店服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：若每件童服每降价4元，则平均每天就多销售8件，若想每天在销售这种童装上盈利1200元，则每件童装应降价多少元。
【评析】这是一道实际生活中的盈利问题，主要考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现数学在现实生活中的应用价值，难度不大。
解：设每件童装应降价x元，根据题意得
整理得 ：
解这个方程，得
因为要扩大销售量，减少库存，故应取20，所以每件童装应降价20元。
【备选例题】一次会议上，每两人都握一次手，有人统计一共握了360次手，这次会议到会得人数是多少人？。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1.列方程解应用题，就是要学会把实际问题转化为数学问题，解决问题得关键在于审题和分析题中的数量关系；
2.你能总结一下列方程解应用题的一般步骤吗？与同学交流一下。
【拓展】一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时，容器内剩下的纯药液是28升，问每次倒出液体多少升？
解法1：设每次倒出液体x升，则第一次倒出一部分后剩下的纯药液为升，第二次倒出的药液的浓度为，则第二次倒出的纯药液是升，由题意得：
解得=21，=105（舍去）
解法2：设每次倒出液体x升，则第一次倒出一部分后剩下的纯药液为升，第二次倒出同样多的一部分后剩下的纯药液为升。
由题意得
解得=21，=105（舍去）
答：每次倒出液体21升。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.长方形的长为xcm,宽比长少4cm，面积等于60，根据题意可列出方程
，解得长方形的长为10cm, 宽为6cm，则长方形的周长是32 cm。
2．矩形的周长为62cm，如果面积等于210 ，设长为，则宽为,可以列出方程为，则矩形的长是21cm，宽是10cm 。
3．已知两个连续奇数的积是255，则这两个连续奇数分别是15，17或—15，—17。
4．一块长比宽多8m 的长方形草地，在它的四周开一条宽4m 的道路后，草地剩下的面积恰好是原来的，设草地宽xm，
（1）用 x 的代数式表示
①草地的长是;
②草地的原面积是
③开了道路后，草地剩余部分的宽为，长为xm，面积为
(2)依题意，可得关于 x的方程。
5．等腰梯形的面积为160，上底比高多4，下底比高多20，这梯形的面积为8cm。
6．已知两个数的和为12，积等于—133，则这两个数分别是（ ）