福建省2022年1月普通高中学业水平考试数学试卷（含解析）

2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学试题
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页．注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考生号 姓名填写在试题卷 答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号 姓名”与考生本人考生号 姓名是否一致．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中为底面积，为高 台体体积公式 基中分别为上、下底面面积，为高 锥体体积公式， 其中S为底面面积，h为高， 球的体积公式， 其中为球的半径
第I卷（选择题45分）
一 选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 球 B. 圆锥 C. 圆台 D. 圆柱
3. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5. 随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列中，若，公差，则（ ）
A 10 B. 12 C. 14 D. 22
7. 已知函数则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
8. 已知，且为第一象限角，则（ ）
A. B. C. D.
9. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
10. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在长方体体中，分别是棱中点，以下说法正确的是（ ）
A. 平面
B 平面
C.
D.
12. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
14. 已知测的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
15. 下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A.
B.
C. ，
D.
第II卷（请考生在答题卡上作答）
二 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
16. 数列的前几项和为，且，则，__________．
17. 的内角所对的边分别为，且，则__________．
18. 已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________．
19. 一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数与所用时间（分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程．据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．
20. 某工厂要建造一个容积为的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________．
三 解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
21. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点
（1）求的值；
（2）求值．
22. 某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：，整理得到频率分布直方图，如图．
（1）若，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；
（2）如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．
23. 如图，在三棱锥中，平面平面
（1）求证：PA；
（2）若，求三棱锥的体积.
24. 已知函数．
（1）从中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；
（2）若函数有零点，求实数的取值范围．
25. 已知圆过点，且圆心在直线上．P是圆外的点，过点的直线交圆于两点．
（1）求圆的方程；
（2）若点坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值；
（3）对于（2）中的定值，使恒为该定值的点是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点的集合（不必证明）．
1. 【答案】A
解：因为集合，
所以，
故选：A.
2. 【答案】D
解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A、B、C错误，
因此该几何体为圆柱，即选项D正确，
故选：D.
3. 【答案】B
因为：，所以：k=
由于：，则，即：=
故选：B.
4. 【答案】B
由解得：．
故选：B．
5. 【答案】C
随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种
所以出现向上的点数为奇数的概率是
故选：C
6. 【答案】B
由等差数列的性质可知： ；
故选：B.
7. 【答案】C
解：因为，所以，
所以，
故选：C.
8. 【答案】A
因为第一象限角，，所以．
故选：A．
9. 【答案】B
解：因为为上的增函数，又，，
所以函数的零点所在的区间是，
故选：B.
10. 【答案】B
解：由函数，
则最小正周期.
故选：B.
11. 【答案】A
解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；
对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，
所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；
对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为与不是共线向量，且，
所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.
故选：A.
12. 【答案】A
因为定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当时，，当且仅当时取等号，所以排除B，D．
故选：A．
13. 【答案】C
要得到函数，
需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，
故选：C
14. 【答案】D
， ， ，
；
故选：D.
15【答案】D
对于A， 是零向量，不可以；
对于B， ，是平行向量，不可以；
对于C， ，是平行向量，不可以；
对于D，不存在实数 使得 成立，是一组不平行的非零向量，可以；
故选：D.
16. 【答案】15
，∴ 是首项为1，公比为2的等比数列，
故答案为15.
17. 【答案】
由正弦定理得： ；
故答案为： .
18. 【答案】##
依题意， ，∴ 与 的夹角为 ；
故答案为： .
19. 【答案】189
解：因为回归方程，
所以当时，，
所以可预测加工200个零件所用的时间约为189分钟，
故答案为：189.
20. 【答案】3
由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有 ，
总造价为
，当且仅当x=y=3时等号成立，
故答案为：3.
21. 【答案】（1）
（2）-7
【小问1详解】
由题意，， ；
【小问2详解】
；
综上， .
22. 【答案】（1）80.4 （2）20
【小问1详解】
由直方图可知：平均成绩 ，
即平均成绩为80.4；
小问2详解】
由于在 内有8人， ，∴a=0.001，
低于60分的人数约为 人；
综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.
23. 【答案】（1）80.4 （2）20
【小问1详解】
由直方图可知：平均成绩 ，
即平均成绩为80.4；
小问2详解】
由于在 内有8人， ，∴a=0.001，
低于60分的人数约为 人；
综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明：因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以PA；
【小问2详解】
解：由（1）知平面，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积.
24. 【答案】（1）若选，则为奇函数；若选，则为偶函数.
（2）
【小问1详解】
解：若选，则为奇函数，证明如下：因为且定义域为R，所以为奇函数；
若选，则为偶函数，证明如下：因为且定义域为R，所以为偶函数；
【小问2详解】
解：因为函数有零点，
所以方程，即有解，
因为，所以，，所以，
所以，即实数的取值范围.
25. 【答案】（1）
（2）4 （3）不唯一， .
【小问1详解】
B两点的中点为 ，斜率为 ， AB垂直平分线的斜率为1，
垂直平分线的方程为：y=x，
联立方程 ，解得x=0，y=0， 圆心为（0,0），半径为 ，
圆C的方程为： ；
【小问2详解】
如图：
若MN斜率不存在，则 ， ， ；
若MN斜率存在，设为k，则MN直线方程为y=kx-3，联立方程： ，
解得： ，
设 ，则 ，
，
，
即不论MN斜率是否存在 ，为定值4；
【小问3详解】
不妨设P（a,b），当MN斜率不存在时，联立方程： ，
解得： ， ；
若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为 ，
联立方程： ，解得： ，
，
，
即不论P点在何处，MN的斜率是否存在， ，为定值；
综上，圆C的方程为， ，P点不唯一，其集合为 .