19.2.1 菱形的性质 学案
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19.2.1 菱形的性质 导学案
课题 19.2.1 菱形的性质 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 本节课是新授课，主要学习菱形概念及性质，为了使学生便于感受、理解和掌握概念的产生和由来，我设置了一组学生熟悉的图片，让学生在欣赏、观察图片的过程中，发现菱形的特点，再通过引导学生进行猜想、动手度量、折叠、旋转、剪裁等活动，引导出菱形的概念，进而通过类比的方法，归纳总结出菱形的性质，使学生加深对菱形与平行四边形性质的区别，探索总结出菱形的所有性质．
核心素养分析 经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.
学习目标 1.经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的两条性质．2.能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算．
重点 菱形的性质与应用．
难点 探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．
教学过程
课前预学 引入思考在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？拿出课前已经剪好的平行四边形，改变平行四边形的边，让它的一组邻边相等，并将其剪下。 如右图，这就是菱形。菱形是有 的平行四边形。合作探究【我们是研究生】先自己独立思考，再小组合作探究：1、菱形与平行四边形的关系： 2、探究菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，具有________________形的一般性质。（2）探究： ①动手操作：拿出刚才剪下的菱形进行折叠，发现它是_____________图形，有___条对称轴，对称轴是_____________________________________。 ②大胆猜想：菱形具有哪些特殊性质：对称性边角对角线菱形的特殊性质（3）小组合作，证明猜想。（4）归纳总结菱形的性质：①对称性：________________________________。②边：____________________________________；用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，______ ______________。③角：____________________________________；用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，____ ___ _________________。④对角线：________________________________。用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，_____________ ____________。我们通过折纸观察得出菱形的性质，那么如何证明它们呢？菱形的性质1：菱形的四条边都相等.已知：如图,四边ABCD是菱形求证：AB=BC=CD=AD证明：已知：如图，四边形ABCD是菱形.如图，四边形ABCD是菱形，求证：（1）AB=BC=CD=DA （2）AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
新知讲解 提炼概念菱形特征1：菱形的四条边都相等．菱形特征2：菱形的对角线互相垂直．并且每一条对角线平分一组对角.典例精讲 例1 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形. 2例2 ，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.例2 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号)例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E. 求∠BCD的大小.
课堂练习 巩固训练1.菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）.A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相平分2.AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试探究四边形AEDF是什么特殊四边形，说明理由．3.菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.4.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积.5．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．答案引入思考菱形的性质1：菱形的四条边都相等.证明：∵四边形ABCD是菱形∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）∵ AB=BC（菱形的定义）∴ AB=BC=CD=AD菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知:如图，四边形ABCD是菱形.证明：AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB(菱形的定义)，OD=OB （平行四边形的对角线互相平分），∴ AC ⊥ DB ，AC平分∠DAB（三线合一）.同理： AC平分∠DCB ；DB平分∠ADC和∠ABC.提炼概念典例精讲 例1 解：在菱形ABCD中， AB＝BC ∠B＋∠BAD＝180° 又已知∠BAD＝2∠B 可得∠B＝60°所以△ABC是一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形.例2 ∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等).在△ABO和△ADO中，∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD,∴△ABO≌△ADO,∴∠BAO＝∠DAO ＝ ∠BAD＝60°.在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2.在菱形ABCD中，∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，∴△AOB为直角三角形，∴∴例3 ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的四条边都相等).又∵AE垂直平分CD，∴AC＝AD，∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA，即△ADC与△ABC都为等边三角形，∴∠ACD＝∠ACB＝60°.∴∠BCD＝120°.巩固训练1.D2.解：平行四边形AEDF为菱形理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，又∵AE∥DF，∴∠1＝∠3，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AF＝DF，∴ AEDF为菱形．4.5.(1)证明：连接AC，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC；(2)解：点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝1/2∠CEF＝30°，又∵∠BAF＝∠BAC－∠EAC＝30°＝∠EAC，∴AF是等边△ABC的角平分线，∴BF＝CF，∴点F是线段BC的中点.
课堂小结
A
B
C
D
O
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课题 19.2.1 菱形的性质 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 本节课是新授课，主要学习菱形概念及性质，为了使学生便于感受、理解和掌握概念的产生和由来，我设置了一组学生熟悉的图片，让学生在欣赏、观察图片的过程中，发现菱形的特点，再通过引导学生进行猜想、动手度量、折叠、旋转、剪裁等活动，引导出菱形的概念，进而通过类比的方法，归纳总结出菱形的性质，使学生加深对菱形与平行四边形性质的区别，探索总结出菱形的所有性质．
核心素养分析 经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.
学习目标 1.经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的两条性质．2.能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算．
重点 菱形的性质与应用．
难点 探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．
教学过程
课前预学 引入思考在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？拿出课前已经剪好的平行四边形，改变平行四边形的边，让它的一组邻边相等，并将其剪下。 如右图，这就是菱形。菱形是有 的平行四边形。合作探究【我们是研究生】先自己独立思考，再小组合作探究：1、菱形与平行四边形的关系： 2、探究菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，具有________________形的一般性质。（2）探究： ①动手操作：拿出刚才剪下的菱形进行折叠，发现它是_____________图形，有___条对称轴，对称轴是_____________________________________。 ②大胆猜想：菱形具有哪些特殊性质：对称性边角对角线菱形的特殊性质（3）小组合作，证明猜想。（4）归纳总结菱形的性质：①对称性：________________________________。②边：____________________________________；用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，______ ______________。③角：____________________________________；用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，____ ___ _________________。④对角线：________________________________。用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，_____________ ____________。我们通过折纸观察得出菱形的性质，那么如何证明它们呢？菱形的性质1：菱形的四条边都相等.已知：如图,四边ABCD是菱形求证：AB=BC=CD=AD证明：已知：如图，四边形ABCD是菱形.如图，四边形ABCD是菱形，求证：（1）AB=BC=CD=DA （2）AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
新知讲解 提炼概念菱形特征1：菱形的四条边都相等．菱形特征2：菱形的对角线互相垂直．并且每一条对角线平分一组对角.典例精讲 例1 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形. 2例2 ，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.例2 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号)例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E. 求∠BCD的大小.
课堂练习 巩固训练1.菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）.A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相平分2.AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试探究四边形AEDF是什么特殊四边形，说明理由．3.菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.4.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积.5．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．答案引入思考菱形的性质1：菱形的四条边都相等.证明：∵四边形ABCD是菱形∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）∵ AB=BC（菱形的定义）∴ AB=BC=CD=AD菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知:如图，四边形ABCD是菱形.证明：AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB(菱形的定义)，OD=OB （平行四边形的对角线互相平分），∴ AC ⊥ DB ，AC平分∠DAB（三线合一）.同理： AC平分∠DCB ；DB平分∠ADC和∠ABC.提炼概念典例精讲 例1 解：在菱形ABCD中， AB＝BC ∠B＋∠BAD＝180° 又已知∠BAD＝2∠B 可得∠B＝60°所以△ABC是一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形.例2 ∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等).在△ABO和△ADO中，∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD,∴△ABO≌△ADO,∴∠BAO＝∠DAO ＝ ∠BAD＝60°.在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2.在菱形ABCD中，∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，∴△AOB为直角三角形，∴∴例3 ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的四条边都相等).又∵AE垂直平分CD，∴AC＝AD，∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA，即△ADC与△ABC都为等边三角形，∴∠ACD＝∠ACB＝60°.∴∠BCD＝120°.巩固训练1.D2.解：平行四边形AEDF为菱形理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，又∵AE∥DF，∴∠1＝∠3，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AF＝DF，∴ AEDF为菱形．4.5.(1)证明：连接AC，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC；(2)解：点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝1/2∠CEF＝30°，又∵∠BAF＝∠BAC－∠EAC＝30°＝∠EAC，∴AF是等边△ABC的角平分线，∴BF＝CF，∴点F是线段BC的中点.
课堂小结
A
B
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