一元二次方程的解法（6）[上学期]
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第7课时 一元二次方程的解法（6）
教学目标
1.知识与技能
(1)会根据增长率问题中的数量关系和等量关系，列出一元二次方程，并能对方程解的合理性作出解释；
2.过程与方法
通过猜想、探讨构建一元二次方程模型。
3.情感、态度与价值观
（１）通过自主、探究性学习，使学生养成良好的思维习惯；
（２）通过对方程解的合理性解释，培养学习实事求是的作风。
教学重点难点
1.重点 找出问题中的数量关系；
2.难点 找等量关系并列出相应方程。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
一个长为10米的梯子斜靠在墙上（如图），梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。
若梯子的顶端下滑1米，那么
（1）猜一猜，底端也将滑动1米吗？
（2）列出底端滑动距离所满足的方程。
【答案】①底端将滑动1米多
②提示：先利用勾股定理在实际问题中的应用，说明数学来源于实际。
（二）合作交流，解读探究
列方程解应用题
【探究活动】1.某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少（精确到0.1％）？
（１）学生讨论：怎样计算月利润增长百分率？
【点评】通过学生讨论得出月利润增长百分率＝
（２）若设利润月平均增长率为x，则2月份的利润是元；3月份的利润是。根据题意可列得方程。
（3）由学生解答
解：设月利润平均增长的百分率为x，由题意，得：
解这个方程得
由于增长的百分率不可能为负数，所以不符合题意。因此符合本题要求的x为
答：这两个月的利润平均增长百分率约为9.5％。
2.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半。已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率（精确到0.1％）。
（1）让学生联系前面所学过的工程问题展开讨论：问题中的原价没有具体的数字，可用什么代替？
（2）如果令原价为1个单位，每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为。
（3）根据题意可列得方程。
（4）师生共同解答：
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x，根据题意，得：
解这个方程，得
由于降价的百分率不可能大于1（这里可让学生讨论为什么？），所以不符合题意，因此符合本题要求的x为
。
答：每次降价的百分率约为29.3％。
（三）应用迁移，巩固提高
例１为绿化家乡，某中学在2003年植树400棵，计划到2005年底，使这三年的植树总数达到1324棵，求此校植树平均增长的百分数？
解：设此校植树平均每年增长的百分数为x，根据题意得
解这个方程，得：
，（不合题意，舍去）
所以，此校植树平均每年增长10％。
【注意】我们要牢牢把握列方程解决实际问题的三个重要环节①整体地，系统地审清问题；②把握问题中的等量关系；③正确求解方程并检验解的合理性。
【备选例题】聂晶晶同学把100元钱存入银行，一年后到期，取出50元，又将剩余的钱（包括利息），存入银行，这时银行的年利率只有上次的一半，又过一年，连本带息取出，共63元，问第一年年利率是多少？
解：设第一次的年利率是x，则第二次的年利率是0.5x，第一次连本带息共有元。第二次存入银行的本金是元，根据题意得：
解这个方程，得：
，（不合题意，舍去）
所以第一年的年利率为10％。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1．以实际问题为背景的题目，能够培养我们利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现数学在现实生活中的应用价值。
2．掌握列方程解决实际问题的三个重要环节：
（1）整体地、系统地审清问题；
（2）把握问题中的等量关系；
（3）正确求解方程并检验解的合理性。
【拓展】某百货超市饮料专柜在销售中发现：“佳宝”牌纯牛奶平均每天可售出20箱，每箱盈利4元，为了迎接“六一”国际儿童节，市场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，若每箱牛奶可降价0.4元，则平均两天就可多售出8箱。要想平均每天在销售这种牛奶上盈利120元。那么每箱牛奶降价多少元？
【点拨】解决此题的关键是把握住降价x元后每箱的盈利是多少，及降价x元后平均每天能卖多少箱，找到上面的两个量，然后相乘即可得到一天的盈利。
解：设平均每箱应降价x元，根据题意，得：
整理，得
解得：，
因为要求扩大销售量，减少库存，所以应取，将舍去。
答：每箱牛奶应降价2元。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.某种汽车原价为5万元，经过两次降价后为4.05万元，则平均每次降价的百分率为10％。
2．某股票连续两次下跌10％后价格为m元，则该股票下跌前是元。
3．某公司一月份销售总额为500万元，二月份减少10％，三月份起销量逐月上升，四月份达到648万元，由该公司三、四月份平均增长率为20％。
4．某工厂计划从2005年到2006年把某种产品的成本下降19％，则平均每年下降的百分数为（ B ）
A．9％ B．10％ C．1.9％ D．81％
5．某农场发展养猪业，原来喂成一头出栏猪要成本450元，由于改良饲料配方，使成本连续降低，平均每次降低5％，则第二次降低成本后的成本是（ C ）
A． B．
C． D．
6．某镇2004年的教育投入是1000万元，计划2005年和2006年都比上年增长
10％，则三年的总教育投入是（ D ）
A． B．
C． D．
提升能力
7．某乡第一年造林200公顷，第二年与第三年共造林528公顷，若两年内造林面积的增长率相同，求这个增长率。
解：设这个增长率为x，根据题意，得
解这个方程，得：
，（不合题意，舍去）
答：这个增长率为20％。
8．某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？
解：设二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，得：
解这个方程，得：
，（负根不合题意，舍去）
所以
所以，。
答：二月份应发行图书40万册，三月份应发行图书50万册。
开放探究
9．某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元，全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。
解：设灯具店第一次购买了x盏节能灯，根据题意，得：
整理，得：
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）
所以每盏灯的进价为（元）。
答：每盏灯的进价为10元。
教学目标
1.知识与技能
(1)会根据增长率问题中的数量关系和等量关系，列出一元二次方程，并能对方程解的合理性作出解释；
2.过程与方法
通过猜想、探讨构建一元二次方程模型。
3.情感、态度与价值观
（１）通过自主、探究性学习，使学生养成良好的思维习惯；
（２）通过对方程解的合理性解释，培养学习实事求是的作风。
教学重点难点
1.重点 找出问题中的数量关系；
2.难点 找等量关系并列出相应方程。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
一个长为10米的梯子斜靠在墙上（如图），梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。
若梯子的顶端下滑1米，那么
（1）猜一猜，底端也将滑动1米吗？
（2）列出底端滑动距离所满足的方程。
【答案】①底端将滑动1米多
②提示：先利用勾股定理在实际问题中的应用，说明数学来源于实际。
（二）合作交流，解读探究
列方程解应用题
【探究活动】1.某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少（精确到0.1％）？
（１）学生讨论：怎样计算月利润增长百分率？
【点评】通过学生讨论得出月利润增长百分率＝
（２）若设利润月平均增长率为x，则2月份的利润是元；3月份的利润是。根据题意可列得方程。
（3）由学生解答
解：设月利润平均增长的百分率为x，由题意，得：
解这个方程得
由于增长的百分率不可能为负数，所以不符合题意。因此符合本题要求的x为
答：这两个月的利润平均增长百分率约为9.5％。
2.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半。已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率（精确到0.1％）。
（1）让学生联系前面所学过的工程问题展开讨论：问题中的原价没有具体的数字，可用什么代替？
（2）如果令原价为1个单位，每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为。
（3）根据题意可列得方程。
（4）师生共同解答：
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x，根据题意，得：
解这个方程，得
由于降价的百分率不可能大于1（这里可让学生讨论为什么？），所以不符合题意，因此符合本题要求的x为
。
答：每次降价的百分率约为29.3％。
（三）应用迁移，巩固提高
例１为绿化家乡，某中学在2003年植树400棵，计划到2005年底，使这三年的植树总数达到1324棵，求此校植树平均增长的百分数？
解：设此校植树平均每年增长的百分数为x，根据题意得
解这个方程，得：
，（不合题意，舍去）
所以，此校植树平均每年增长10％。
【注意】我们要牢牢把握列方程解决实际问题的三个重要环节①整体地，系统地审清问题；②把握问题中的等量关系；③正确求解方程并检验解的合理性。
【备选例题】聂晶晶同学把100元钱存入银行，一年后到期，取出50元，又将剩余的钱（包括利息），存入银行，这时银行的年利率只有上次的一半，又过一年，连本带息取出，共63元，问第一年年利率是多少？
解：设第一次的年利率是x，则第二次的年利率是0.5x，第一次连本带息共有元。第二次存入银行的本金是元，根据题意得：
解这个方程，得：
，（不合题意，舍去）
所以第一年的年利率为10％。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1．以实际问题为背景的题目，能够培养我们利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现数学在现实生活中的应用价值。
2．掌握列方程解决实际问题的三个重要环节：
（1）整体地、系统地审清问题；
（2）把握问题中的等量关系；
（3）正确求解方程并检验解的合理性。
【拓展】某百货超市饮料专柜在销售中发现：“佳宝”牌纯牛奶平均每天可售出20箱，每箱盈利4元，为了迎接“六一”国际儿童节，市场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，若每箱牛奶可降价0.4元，则平均两天就可多售出8箱。要想平均每天在销售这种牛奶上盈利120元。那么每箱牛奶降价多少元？
【点拨】解决此题的关键是把握住降价x元后每箱的盈利是多少，及降价x元后平均每天能卖多少箱，找到上面的两个量，然后相乘即可得到一天的盈利。
解：设平均每箱应降价x元，根据题意，得：
整理，得
解得：，
因为要求扩大销售量，减少库存，所以应取，将舍去。
答：每箱牛奶应降价2元。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.某种汽车原价为5万元，经过两次降价后为4.05万元，则平均每次降价的百分率为10％。
2．某股票连续两次下跌10％后价格为m元，则该股票下跌前是元。
3．某公司一月份销售总额为500万元，二月份减少10％，三月份起销量逐月上升，四月份达到648万元，由该公司三、四月份平均增长率为20％。
4．某工厂计划从2005年到2006年把某种产品的成本下降19％，则平均每年下降的百分数为（ B ）
A．9％ B．10％ C．1.9％ D．81％
5．某农场发展养猪业，原来喂成一头出栏猪要成本450元，由于改良饲料配方，使成本连续降低，平均每次降低5％，则第二次降低成本后的成本是（ C ）
A． B．
C． D．
6．某镇2004年的教育投入是1000万元，计划2005年和2006年都比上年增长
10％，则三年的总教育投入是（ D ）
A． B．
C． D．
提升能力
7．某乡第一年造林200公顷，第二年与第三年共造林528公顷，若两年内造林面积的增长率相同，求这个增长率。
解：设这个增长率为x，根据题意，得
解这个方程，得：
，（不合题意，舍去）
答：这个增长率为20％。
8．某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？
解：设二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，得：
解这个方程，得：
，（负根不合题意，舍去）
所以
所以，。
答：二月份应发行图书40万册，三月份应发行图书50万册。
开放探究
9．某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元，全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。
解：设灯具店第一次购买了x盏节能灯，根据题意，得：
整理，得：
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）
所以每盏灯的进价为（元）。
答：每盏灯的进价为10元。