江西省丰城名校2023届高三下学期入学考试数学（理）试题（解析版）

2023
2023届江西省丰城名校高三下学期入学考试
数学（理）试题
一、单选题
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在区间内随机取两个实数，则满足的概率是
A． B． C． D．
4．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
6．已知实数满足约束条件，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，其上有两点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知的三个内角的对边分别为，已知，则的面积等于
A． B． C．9 D．
9．已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
11．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
12．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最大值为______．
14．的展开式中含有的项的系数为__________．
15．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即，已知满足，且，则用以上给出的公式求得的面积为______．
16．已知定义在实数集R上的函数满足且导函数则不等式的解集为______________
三、解答题
17．已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．某校在2018年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组,第二组,．．．第六组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
(2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分(含130分)以上的人数记为,求的分布列和期望.
19．如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，平面⊥平面，.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.
20．如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．过点的直线与该椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．设函数（为常数）．
（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点、，且，求证：．
22．在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线C与直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交，交点为，直线与x轴交于Q点，求的取值范围．
23．已知函数．
(1)画出函数的图象；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
2023届江西省丰城名校高三下学期入学考试
数学（理）试题
一、单选题
1．设集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.
【详解】集合,，则 ，
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.
2．已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，
∴，
则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．在区间内随机取两个实数，则满足的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出题设条件所表示的平面区域，利用定积分求得阴影部分的面积，结合面积比的几何概型，即可求解.
【详解】由题意，可得的区域为边长为2的正方形，面积为4，
满足的区域即为图中阴影部分，
面积为，
所以所求概率为，
故选：D．
4．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据循环结构，本题可转化为当即结束，经计算即可得解.
【详解】根据题意，即经过次循环后，结合根据判断框，
可得，
所以，又，
所以时循环结束.
故选：B
5．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
【答案】D
【详解】试题分析：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，种；一种是其中有一家企业录用两名大学生，种，∴一共有种，故选D
【解析】排列组合问题.
6．已知实数满足约束条件，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出约束条件对应的可行域，目标函数表示可行域内的点和点之间连线的斜率，利用两点求斜率的公式求得斜率的取值范围，也即是目标函数的取值范围.
【详解】画出约束条件对应的可行域如下图所示，目标函数表示可行域内的点和点之间连线的斜率，由图可知，斜率的取值范围即，即，也即，故选A.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求斜率型目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是画出目标函数对应定点的位置；接着连接定点和可行域内的点，判断出边界位置；然后两点求斜率的公式计算出边界位置连线的斜率；最后求出目标函数对应斜率的取值范围.属于基础题.
7．已知抛物线的焦点为，其上有两点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离转化求解.
【详解】由抛物线定义知，，
∴，又知，，
故，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的定义及应用，较简单，解答时注意灵活转化.
8．已知的三个内角的对边分别为，已知，则的面积等于
A． B． C．9 D．
【答案】A
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】∵b，c＝4，cosB，
∴sinB，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：7＝a2+16﹣2，
整理可得：a2﹣6a+9＝0，解得：a＝3，
∴S△ABC．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9．已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e
【详解】由题意可知：双曲线的右焦点F，由P关于原点的对称点为Q，
则 ∴四边形PFQF1为平行四边形，
则 由|PF1|=3|F1Q|，根据双曲线的定义- =2a，
∴=a，∵|OP|=b，=c，∴∠OPF=90°，
在△QPF中， =2b， =3a， =a，
∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，
则双曲线的离心率 故选B
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线的离心率，一般思路是根据已知条件，建立起a，b之间的关系，再结合a2+b2=c2，从而求出e的值.
10．已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题.
11．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.
【详解】构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项. 由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项. 由得，即，D选项正确，故选D.
【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.
12．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过的最大截面是经过球心的截面，可由球的半径计算得出.过最小的截面是和垂直的截面，先计算得的长度，利用勾股定理计算得这个截面圆的半径，由此计算得最小截面的面积.
【详解】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题.
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】5
【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值.
【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：
作直线-3x+4y=0，然后把直线l向可行域平移，结合图形可知，平移到点时z最大，
由此时z=5.
故答案为:5．
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
14．的展开式中含有的项的系数为__________．
【答案】
【分析】将原式变为，利用乘法的分配率，将的系数，分成三种情况来讨论，再相加求得最终的系数.
【详解】原式可化为，根据乘法的分配率，来源有三个：与的乘积、与的乘积、与的乘积.即.
【点睛】本小题考查二项式定理的应用，由于题目是两个二项式相乘，所以先对其中一个二项式展开，再按照乘法分配律和二项式展开式的知识，来计算的最终的结果，属于基础题.
15．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即，已知满足，且，则用以上给出的公式求得的面积为______．
【答案】
【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：∵AB＝2BC＝2，
∴由题意可得：c＝2a＝2，a，
∵（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）＝sinAsinC﹣sin2C，
∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，
∴Sac．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16．已知定义在实数集R上的函数满足且导函数则不等式的解集为______________
【答案】
【分析】将导函数不等式移项，得出小于0的式子，将其看作新函数的导函数，由新函数的单调性列出不等式，即可解得x的范围.
【详解】设，则，所以函数单调递减，
则将不等式变形：，即：，
由单调性：，解得：.
【点睛】本题考查函数的构造及单调性的应用，当不等式中含有导函数时，一般需要构造函数，将不等式看作某函数的导函数与0的关系，由单调性解题.
三、解答题
17．已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1) , (2)
【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．
【详解】（1）对于数列，
即 注意到为递增数列
则 ∴
对于数列，由得
相减得
又∵ ∴为定值
∴数列和都是以4为公差的等差数列
又∵ ∴在中令得
∴，
∴，
（2）由（1）得
∴
∴
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．某校在2018年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组,第二组,．．．第六组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
(2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分(含130分)以上的人数记为,求的分布列和期望.
【答案】(1)107
(2)分布列见解析;期望为1.2
【分析】(1)根据频率分布直方图求出成绩在的频率,再利用同一组中的数据用该区间的中点值和频率求出即可;
(2)根据频率分布直方图得,这人中成绩在分以上(包括分)和的学生人数,利用超几何分布写出分布列,求出期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图,得成绩在的频率为
,
所以估计该校全体学生的数学平均成绩为
,
所以该校的数学平均成绩为107.
（2）根据频率分布直方图得,
这人中成绩在分以上(包括分)的有0.08×50=4人,
而在的学生共有,
所以的可能取值为、、、,
所以, ,
, ,
所以的分布列为
数学期望值为.
19．如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，平面⊥平面，.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可证明平面；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】解：由平面平面，平面平面，，
平面，
平面．
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得， ， ，， ，
（1）设平面的法向量为，
，
，即，
，
平面的一个法向量为
，
，
平面，
平面．
（2）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为．
因为，，
由得，
平面的一个法向量为，
，，，
．
故平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力，属于中档题．
20．如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．过点的直线与该椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）根据题意求出，即可得解；
（2）方法一：设直线的方程为，直线的方程为，联立方程，利用韦达定理可求得两点的坐标，再根据三点共线，即可得出结论.
方法二：根据当直线垂直于轴时，得出的值，在证明直线斜率不存在时，也为这个值即可.
【详解】（1）依题意可知，，
所以椭圆的方程为：；
（2）(方法一)设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，
则，则，
所以点的坐标为，
同理，可解得点的坐标为，
当时，此时，因为，则，
当时，此时，
由三点共线，得，
化简有，
由题知同号，所以，
故存在，使得成立．
(方法二)当直线垂直于轴时，点的坐标分别为，
所以此时直线与的斜率分别为，有，
由此猜想：存在满足条件，下面证明猜想正确．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
联立方程组，
，
，
，
，
由此可得猜想正确，
故存在，使得成立．
【点睛】本题考查了椭圆的离心率及椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，计算量较大，有一定的难度.
21．设函数（为常数）．
（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点、，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，由参变量分离法得出，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围；
（2）求得，可得出，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的值域，即可证得结论成立.
【详解】（1），，
由题意可得对任意的恒成立，则，
函数在区间上单调递减，所以，.
因此，实数的取值范围是；
（2），令，
由题意可知，函数在区间上有两个不等的实根，则，解得.
，解得，，所以，，
由韦达定理可得，，
，
构造函数，其中，
，
，
当时，函数在区间上单调递增，
，，所以，存在 使得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
，，所以，对任意的，，
所以，函数在区间上单调递减，当时，，
即，因此，.
【点睛】第（1）问利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，结合参变量分离法或分类讨论法求解；
第（2）问利用导数证明函数不等式，在涉及极值点的问题时，当导数中含二次函数部分时，要结合韦达定理得出极值点之间的关系，并结合代数式的结构构造新函数来证明.
22．在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线C与直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交，交点为，直线与x轴交于Q点，求的取值范围．
【答案】（1）曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为；（2）．
【分析】（1）先将曲线与直线l化为普通方程，然后再由，代入即可求解.
（2）将l的参数方程代入到C直角坐标普通方程，整理可得，然后利用参数的几何意义即可求解.
【详解】（1）曲线，即，
即，即或．
由于曲线过极点，
曲线C的极坐标方程为．
直线，即，
即，即，
直线l的极坐标方程为．
（2）由题意得，将l的参数方程代入到C直角坐标普通方程，
可得，
由，得，，
其中，
所以
得的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化、参数的几何意义，考查了考生的计算能力，属于基础题.
23．已知函数．
(1)画出函数的图象；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）写出f（x）的分段函数式，画出图象；
（2）由题意可得2m+1≥f（x）﹣x的最小值，对x讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．
【详解】（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|
，
∴的图像如图
（2）由（Ⅰ）得
∴当时，
∴题设等价于即
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．