第17章勾股定理　章末综合练习题（含解析）　2022-2023学年人教版八年级数学下册

2022-2023学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》章末综合练习题（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C．，1，1 D．2，3，4
2．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴影部分的面积是（　　）cm2．
A．169 B．25 C．49 D．64
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，则S＝（　　）
A．54 B．52 C．48 D．36
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（　　）
A．30 B．60 C．110.5 D．169
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，且AD＝3cm，AB＝4cm，BD＝5cm，则点D到BC的距离是（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，则下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2＝（b+c）（b﹣c） B．a：b：c＝12：15：18
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C
8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
二．填空题（共5小题）
9．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，6）到原点的距离为　 　．
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 　 　cm．
11．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．则滑道AC的长度为 　 　m．
12．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD＝　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D，连接CE．若CE平分∠ACB，AE＝，则BE的长度为 　 　．
三．解答题（共7小题）
14．如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
15．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．
16．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，AD＝3，若点P在BC上运动．
（1）求线段DP的最小值；
（2）当DP最小时，求△CDP的面积．
18．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝16m，CD＝12m，AB＝52m，BC＝48m，求这块地的面积．
19．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长．
20．一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时BC为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？
参考答案
一．选择题
1．解：A．∵62+82＝102，∴是勾股数，符合题意；
B．∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵22+32≠42，∴不是勾股数，不符合题意；
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12（cm），
∴阴影部分正方形的边长为12﹣5＝7（cm），
∴阴影部分正方形的面积为7×7＝49（cm2），
故选：C．
3．解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
S＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝20+16+12+6＝54；
即S＝54；
故选：A．
4．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝17，c＝13，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝169，
∴289﹣2ab＝169，即ab＝60，
则Rt△ABC的面积为ab＝30．
故选：A．
5．解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，∠DEB＝∠A＝90°，
∴AD＝DE＝3cm，
故选：C．
6．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，
故选：C．
7．解：A．∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故A符合题意；
B．∵a：b：c＝12：15：18，
∴设a＝12x，b＝15x，c＝18x，
∵a2+b2＝（12x）2+（15x）2＝369x2，c2＝（18x）2＝324x2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故B不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝80°，
∴△ABC不是直角三角形，
故C不符合题意；
D．∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x°，则∠A＝3x°，∠B＝x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x°+x°+x°＝180°，
∴x＝，
∴∠A＝°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
8．解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
二．填空题
9．解：过A作AB⊥x轴于B，
∵点A的坐标为（﹣3，6），
∴AB＝6，OB＝|﹣3|＝3，
∴OA＝＝＝3，
∴点A（﹣3，6）到原点的距离为3，
故答案为3．
10．解：如图1，
∵AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，
∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8，
∴MN＝＝10；
如图2，
∵AB＝9cm，BC＝GF＝6cm，BF＝5cm，
∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5，
∴MN＝＝，
∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．
故答案为：10．
11．解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣1）2+42＝x2，
解得x＝8.5，
∴AC＝8.5m．
故答案为：8.5．
12．解：∵∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB＝＝＝，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OC＝＝＝，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：OD＝＝＝．
故答案为：
13．解：∵BC的垂直平分线交AB于E，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE，
∴∠B＝∠BCE＝∠ACE＝30°，
∴CE＝2AE＝，
∴BE＝CE＝，
故答案为：．
三．解答题
14．（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，
∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，
∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴（AD+5）2＝AD2+122，
∴AD＝，
∴AC＝+5＝．
15．（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4，
设AD＝3a，CD＝BD＝4a，
∴AC＝a，
∴AB＝7a，
由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，
即，
∴AC＝．
16．解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
答：水池里水的深度是15尺．
17．解：（1）当DP⊥BC时，线段DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，
当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值是3；
（2）∵∠A＝90°，
∴BD＝＝＝5，
当DP最小时，DP＝3，DP⊥BC，
则∠DPB＝∠DPC＝90°，
∴PB＝＝＝4，
设PC＝x，CD＝y，
则BC＝BP+PC＝4+x，AC＝AD+CD＝3+y，
∴CD2＝PD2+PC2，
即y2＝32+x2①，
∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积，
∴×4×（3+y）＝×4×3+×（4+x）×3，
整理得：4y＝12+3x②，
由①②得：，
解得：，或（舍去），
∴PC＝，
∴△CDP的面积＝CP×DP＝××3＝＝，
即当DP最小时，△CDP的面积为．
18．解：连接AC，
在Rt△ACD中，CD＝12m，AD＝16m，
由AD2+CD2＝AC2，
解得AC＝20m，
在△ABC中，AB＝52m，AC＝20m，
∵AC2+CB2＝202+482＝2704，AB2＝522＝2704，
∴AC2+CB2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S＝S△ABC﹣S△ACD
＝
＝
＝480﹣96
＝384m2，
答：这块地的面积为384m2．
19．解：∵BC＝30，BD＝18，CD＝24，
∴BD2+CD2＝182+242＝324+576＝900＝302＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵AD＝CD，
∴AD＝24，
在Rt△ACD中，AC＝．
20．解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，BC＝0.7m．
∴AC＝＝2.4（m），
同理，Rt△CA1B1中，
∵A1B1＝2.5m，CA1＝2.4﹣0.4＝2（m），
∴B1C＝＝1.5（m），
∴BB1＝B1C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．
答：梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米．