2022-2023学年数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数 同步练 （含解析）

第二十八章 锐角三角函数
一、单选题
1．已知，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
3．一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是　　
A．海里、15海里 B．海里、5海里
C．海里、海里 D．海里、海里
4．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．的值是（ ）．
A．1 B． C． D．
6．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物．他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向山的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　）
A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米
8．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长米，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长CD为（ ）米．
A．20 B． C．10 D．
9．如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（　　）
A． B． C． D．
10．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离米，小明身高米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域的长为（　　）米．（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如果是锐角，，那么为___________．
12．如图，在Rt△ABC中，，过A作于点D，若．则tanC的值为___________．
13．锐角中，，则的形状是___________.
14．已知：0°＜α＜90°，0°＜β＜90°且sinα＝，tanβ＝，则cos（β﹣α）＝___．
15．如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则的值为______．
16．如图，半径为3的经过原点O和点，点B是中弦所对优弧上的一点，则的值为______．
17．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
（1）若，，求点A到直线的距离为________；
（2）为了观看舒适，保持，在（1）的情况下，将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上即可，求旋转的角度为________．
18．如图，轮船从处以每小时60海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是________．
三、解答题
19．（1）计算：
（2）已知是锐角，且，计算：．
20．已知中，都是锐角，且，
(1)分别求出三个内角度数；
(2)若，求长度．
21．如图，在Rt中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，，，求AB、CH的长．
22．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值．
23．如图，在中，，点D为中点．现将线段绕点B逆时针旋转得到。
(1)若点恰好落在边上，则点到的距离是多少？
(2)若点A恰好在上，则的长为是多少？
24．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物底部之间的水平距离BD；
（2）求建筑物CD的高度；（精确到1m，参考数据：sin 69°≈0.93、cos69°≈0.36、tan 69°≈2.70、≈1.73）
25．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小马同学在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin53°
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌的高度CD的长度．（结果保留根号）
参考答案：
1．A
2．A
3．D
过S作于C，在上截取，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，在中，
∵，
∴，，
∵海里，
∴，
解得：，
∴海里，
∴海里，
∴则灯塔S离观测点A、B的距离分别是海里、海里．
4．C
解：，
∴点的坐标为
点关于轴对称的点的坐标是
5．A
解：2sin30°
=2×
=1
6．D
解：在Rt△ABC中，
tan A=，
7．C
如图，由题意得，千米，，
，
，
千米，
，，
在中，千米，
即该建筑物离地面的高度为2千米，
8．A
解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10米，
∴AE=10×sin45°=10（米），
∴DF=AE=10，
∵背水坡CD的坡度i=1：，∠DFC=90°，
∴tan∠C=，
∴∠C=30°，
∴DC=2DF=2AE=20（米），
9．A
解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，
∵cosα＝，
设OB＝3x，则OA＝5x，
∵A（x，4），
∴AB＝4，
由勾股定理得：，
所以，
解得：x＝1，x= -1（负数舍去），
即OB＝3，
∴tanα＝＝，
10．B
解：由题意可知：四边形是矩形，
，米，
米，
（米），
在中，，
（米），
在中，，
（米），
(米)，
11．
解：∵，
又∵，
∴；
故答案为：．
12．
解：，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．等边三角形
解：∵，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
14．
∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°且sinα＝，tanβ＝
∴α=30゜，β=60゜
∴
故答案为：
15．
如图，∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
故答案为：
16．
解：连接，如图，
∵点，
∴，
∵，
∴为的直径，
在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．
解：（1）如图，过点作于点，
∵，，
∴，
作于点，于点，
∴，，
∵，
∴，
∵,
∴
∴，
∴，
答：点到直线的距离是；
故答案为：
（2）∵，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：CD旋转的度数为．
故答案为：
18．海里
解：如图，作于.
由题意得，，，（海里），，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于，
∴（海里），
在直角中，,，
∴（海里）.
故答案为：海里．
19．（1）1；（2）
（1）原式
（2）
则
20．(1)，，
(2)
(1)
解：
，
，
，
；
(2)
解：如图：过点C作于点D
，
，
．
21．CH的长为，AB的长为．
解：过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE//BC，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴CE=AE，即AC=2CE
∵，
∴DE=BC=，
∵
∴设CE=3x，CD=4x，
由勾股定理得：
∴=，即x=
∴
∴AC=AE+CE=
∵,即
∴AB=
∵
∴，解得：CH=．
∴CH的长为，AB的长为．
22．6，
分析：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可．
详解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△ABD中，BD＝AB cosB＝5×＝3，
∵AB=AF AD⊥CB，
∴BF=2BD=6，
∵EF⊥CB AD⊥CB，
∴EF∥AD，
∴，
∵AE：EC=3：5DF=BD=3，
∴CF=5，
∴CD=8，
在Rt△ABD中，AD＝AB sinB＝5×＝4，
在Rt△ACD中，AC＝＝4，
∴sinC＝．
23．(1)；
(2)
（1）如图，连接，
在中，，，，
，
点是的中点，
．
由旋转的性质可知，△，
，，，
，
当点恰好落在边上，如图所示，
过点作于点，过点作交的延长于点，
，
，
．
，
，
．
∴点到的距离是；
（2）当点恰好在上，如图所示，
过点作于点，则．
设，则，
，，
在中，由勾股定理可得，，
解得或．
（舍去）或．
∴点A恰好在上，则．
24．（1）约30米；（2）约63米
（1），∠EAD69°
建筑物底部之间的水平距离BD约30米；
（2）如图，作，
则四边形是矩形
，
建筑物CD的高度约63米
25．（1）5米；（2）米，
解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN=45°，∠DAE=53°，i=1：，AB=10米，AE=21米．
∵，
∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，
∴BM=AB=5（米）=NE，（米），
∴ME=AM+AE=米=BN，
∵∠CBN=45°，
∴CN=BN=ME=米，
∴CE=CN+NE=米，
在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，
∴（米），
∴CD=CE-DE米，