一元二次方程测试题

第22章 一元二次方程测试题
总分：150分 姓名 成绩
1、 填空题：（每题3分，共30分）
1、方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；
2、 ；
3、方程的根是 ; 方程 的根是 ;
4、如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是________.
5、如果一元二方程有一个根为0，则m= ;
6、已知方程的两个相等实根，那么 ；
7、方程中，⊿= ，根的情况是 .
8、若方程的两个根是和3，则的值分别为
9、已知方程的两根是；则： ， 。
10、已知方程的一个根是1，则另一个根是 ，的值是 。
2、 选择题：（每题3分，共24分）
1、下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A、 B、 C、 D、
2、方程的根为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、解下面方程：（1）;（2）;（3），较适当的方法分别为（ ）
（A）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
（B）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
（C）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
（D）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
4、方程的解是 （　　）；
A. B. C. D.
5、方程的两根的情况是（ ）；
A、没有实数根； B、有两个不相等的实数根C、有两个相同的实数根 D、不能确定
6、一元二次方程有两个相等的实数根，则等于 （　　）
A. B. 1 C. 或1 D. 2
7、以3和为两根的一元二次方程是 （ ）；
（A）;（B）;（C）;（D）
8、某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增率是，则可以列方程（ ）；
（A）; （B）;
（C）; （D）
三、解方程:（每题6分，共48分）；
①（直接开平方法） ②（用配方法）
③（用因式分解法） ④.
⑤ ⑥.
⑦. ⑧.x－2）（x－5）=－2
四、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的腰长。（9分）
五、已知方程；则:①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？
③当取什么值时，方程没有实数根？（9分）
六、试证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。（9分）
七、已知关于的方程
⑴ 若方程有两个相等的实数根,求的值,并求出此时方程的根（6分）
⑵ 是否存在正数,使方程的两个实数根的平方和等于224 ？若存在,求出满足条件的的值； 若不存在，请说明理由。（6分）
八、一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？（9分）
答案：
一。1、2，- ，-1；2、9，3， ， ；3、±4，-1，2；4、3，-5；5、-2；
6、±2 ；7、0，有两个相等的实数根；8、-1，6；9、7，3；10、1，-2
二、D、D、D、B、B、C、C、B 。
3、 1、①、2x-1=±3,∴x1=2,x2=－1；
②、，∴x+=±,∴x1=1, x2=－4
③ (x+2)(x-4)=0,∴x1=－2, x2=4;
④ ∴x1=－4，x2=1
⑤、x2+2x+1-4x=0 x2-2x+1=0 (x-1)2=0 ∴x1=x2=1
⑥、x2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 ∴x1=1, x2=－2
⑦,2x2-10x-3=0 ∴x1= x2=
⑧x2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0, ∴x1=3, x2=4。
四 、解：，（x-4）(x-5)=0,
∴x1=4, x2=5;而等腰三角形底边长为8，
x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，
故为x=5;∴等腰三角形腰长为5。
五．解：∵Δ＝b2-4ac=16+4a;
∴①Δ＞0有两个不相等的实数根，∴a＞-4;
②Δ=0有两个相等的实数根，∴a=-4;
③Δ＜0没有实数根，∴a＜-4.
六．证明：∵Δ＝［－（4m-1）］2—4×2×(—m2—m)=24m2+1＞0,
∴有两个不相等的实数根.
七．①∵有两个相等的实数根，∴Δ=0，
∴［－（m-2）］2—4××m2=0,—4m+4=0,
∴m=1.则原方程为：
∴x1=x2=－2。
八．解：设平均每月增率是，则可以列方程：
2500（1＋x）2=3025
（1＋x）2=1.21
1＋x=±1.1
∴x1=0.1 ,x2=－2.2（不符合题意，舍去）
∴取x=0.1 = 10%
答：这两个月的利润平均月增长的百分率是10%。
- 5 -第22章 一元二次方程单元测试卷
B卷
一、选择题:
1．方程x2-3x+1=0的根的情况是（ ）．毛
A．有两个不相等的实数根; B．有两个相等的实数根
C．没有实数根; D．只有一个实数根
2．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≤1 B．k≥1 C．k<1 D．k>1
3．已知α2+α-1=0，β2+β-1=0，且α≠β，则αβ+α+β的值为（ ）．
A．2 B．-2 C．-1 D．0
4．关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A．当k=时方程两根互为相反数; B．当k=0时方程的根是x=-1
C．当k=±1时方程两根互为倒数; D．当≤时方程有实数根
5．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别等于（ ）．
A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
6．已知α,β，满足α+β=5且αβ=6，以α,β为两根的一元二次方程是（ ）．
A．x2+5x+6=0 B．x2-5x+6=0; C．x2-5x-6=0 D．x2+5x-6=0
7．甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和-10，则原方程为（ ）．
A．x2-9x+14=0 B．x2+9x-14=0; C．x2-9x+10=0 D．x2+9x+14=0
8．若关于x的方程+=2有增根x=-1，则a的值是（ ）．
A．0或-1 B．0 C．3 D．以上答案都不对
9．已知等腰三角形三边的长为a，b，c，且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数满足（）2=ac，则方程两根之比为（ ）．
A．0：1 B．1：1 C．1：2 D．2：3
二、填空题:
1．请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程_________．
2．已知x1，x2是关于x的方程（a-1）x2+x+a2-1=0的两个实数根，且x1+x2=，则x1·x2=_______．
3．已知x1，x2是一元二次方程x2-5x-6=0的两个根，则x12+x22=_________．
4．已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是__________．
5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程a2x2-（2a-3）x+1=0的两个实数根，如果+=-2，那么a的值是_________．
6．关于x的一元二次方程x2-x+a（1-a）=0有两个不相等的正根，则a可取值为____（只有填写一个可能的数值即可）．
7．若9（x-2）2-6（x-2）+1=0，则x-2=________．
8．某超市1月份的营业额为200万元，1月、2月、3月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为_________．
9．某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降低后再让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），则x=_______元．
三、解答题．
1．用至少两种不同的方法解方程2x2-3=5x．
2．已知方程x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
3．已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根．（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．
4．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共计1320元，求这种存款方式的年利率．
B卷
1．（现实生活应用题）某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．
（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式．
（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元（售出一个旅行包的利润=实际出厂单价-成本）？
2．（探究题）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0，①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0，②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
3．（探究题）已知关于x的方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根为α,β，且α≤β．
（1）试用含有α,β的代数式表示p和q．
（2）求证：α≤1≤β．
（3）若以α,β为坐标的点M（α,β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（，1），C（1，1），问是否存在点M，使p+q=，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（分析题）已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2-abx+（a+b）=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．
5．（阅读理解题）阅读材料：
已知p2-p-1=0，1-q-q2=0，且pq≠1，求的值．
解：由p2-p-1=0，及1-q-q2=0可知p≠0，q≠0，
又∵pq≠1，∴p=.
∴1-q-q2=0可变形为（）2-（）-1=0．
根据p2-p-1=0和（）2-（）-1=0的特征，
∴p与是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根．
则∴p+=1，∴=1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答:
已知2m2-5m-1=0，+-2=0，且m≠n．求+的值．
6．（学科内综合题）已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x--=0．
（1）求证：无论m取何实数值，这个方程总有两相异实根．
（2）若这个方程的两个实数根为x1，x2且满足│x2│=│x1│+2，求m的值及相应的x．
7．（探究题）关于x的方程5x2-（10cosα）x-7cosα+6=0有两个相等的实根，求边长为10cm且两边夹角为α的菱形面积．
8．（探究题）已知∠α是△ABC的一个内角，且sinα和cosα是方程2x2-2x+p=0的两根．
（1）求p的值．（2）判断△ABC的形状．
9．（创新题）如图22-9，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B沿开始BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，使△PBQ的面积为8cm2？
（2）若P，Q分别从A，B同时出发，并且P到点B又继续在BC边上前进，Q到点C后又继续在CA边上前进，经过几秒后，使△PCQ的面积等于12.6cm2．
答案:
A卷
一、1．A 解析：∵△=（-3）2-4×1×1=9-4=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
2．A 解析：由题意得△=22-4×1×k=4-4k≥0，∴k≤1．
提示：一元二次方程有实数根△≥0，不要漏掉“＝”号．
3．B 解析：∵α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β
∴α, β是方程x2+x-1=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-1, αβ=-1.
∴αβ+α+β=-1-1=-2．
4．D 解析：当k=时，原方程可变为x2+1=0，此方程无解，故A错误；
当k=0时，原方程可变为x-1=0，∴x=1，故B错误；
当k=1时，原方程可变为x2+x+1=0，
∵△=1-4×1=-3<0，∴方程无解，故C错误；
要使方程有实数根：当k=0时，方程有实数根x=1．
当k≠0时，△=（2k-1）2-4k2≥0，∴k≤．
∴当k≤时，方程有实数根．
5．C 解析：∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两根，
∴x1+x2=-p，x1x2=q．
又∵x1+1，x2+1是方程x2+qx+p=0的两根，
∴（x1+1）+（x2+1）=-q，
∴x1+x2+2=-q，∴-q+2=-q．
即p-q=2，①
（x1+1）（x2+1）=p，
∴x1x2+（x1+x2）+1=p，∴q-p+1=p．
即2p-q=1，②
由①②得.
6．B
提示：∵α+β=-，注意符号的变化．
7．D 解析：由题意得q=2×7=14，-p=1+（-10），∴p=9．
∴原方程为x2+9x+14=0．
提示：甲看错了一次项，说明常数项没错，故两根之积为q=2×7．
乙看错了常数错，说明一次项没错，故两根之和为-p=1+（-10）．
8．D 解析：原方程可化为2x2-（4+3a）x-3=0，
∵原方程有增根x=-1，代入方程得a=-1．
9．B 解析：设方程两根为x1，x2（x1>x2），
则x1+x2=，x1x2==1．
∵x1-x2=，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（b）2-4×1=2．
整理得b=a，∵cosC= =··×=，∴∠C=30°．
10．B 解析：∵（）2=ac，∴b2=4ac，∴b2-4ac=0．即△=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴两根比为1：1．
二、1．解析：设满足条件的方程为x2-3x+c=0．
∵方程有两个实数根，∴△=（-3）2-4c=9-4c≥0，∴c≤．
∴满足条件的方程可以为x2-3x+2=0．
答案：x2-3x+2=0
提示：此题答案不唯一，但需要满足x2-3x+c=0的形式且c≤．
2．解析：由题意得
∴a=-2．
∴x1x2==a+1=-2+1=-1．
答案：-1
3．解析：由韦达定理得x1+x2=5，x1x2=-6．
∴x12+x22=（x1+x2）-2x1x2=52-2×（-6）=25+12=37．
答案：37
4．解析：由题意得
∴
∴m>7．
答案：m>7
5．解析：由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，
∵+=-2，∴==2a-3=-2，∴a=
答案：
6．解析：由题意得
∴
即 ∴0故a可取值为．
答案：
提示：答案不唯一，只要满足07．解析：方程左边分解因式得[3（x-2）-1]2=0，∴3（x-2）-1=0，x-2=．
答案：
提示：本题应把（x-2）看作一个整体．
8．答案：200+200（1+x）+200（1+x）2=1000
提示：本题应注意审题，1000万是1月、2月、3月的营业额之和．
9．解析：由题意得=10%．
解得x=700．
答案：700
提示：利润率=；利润=实际售价-进价．
三、1．解析：解法一：公式法：原方程可化为
2x2-5x-3=0．
∴a=2，b=-5，c=-3，
△=b2-4ac=25-4×2×（-3）=49．
∴x==，∴x1=3，x2=-．
解法二：因式分解法：原方程可化为
2x2-5x-3=0．
方程左边分解因式得
（x-3）（2x+1）=0．
∴x1=3，x2=-．
提示：本题也可利用配方法解方程．
2．解析：设方程的另一个根是x1，由题意得
解得
∴方程的另一个根是-3，k的值是1．
3．解析：（1）△=[-2（m+1）]2-4m2
=4（m2+2m+1）-4m2
=8m+4<0．
∴m<-．
∴当m<-时，原方程没有实数根．
（2）取m=1时，原方程为x2-4x+1=0，
设此方程的两实数根为x1，x2，
则x1+x2=4，x1x2=1．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=42-2×1=16-2=14．
提示：（2）中答案与m的取值有关，只要取m>-的非零整数，都求得一个相应的值， 故（2）答案不唯一．
4．解析：设这种存款方式的年利率为x，由题意得[2000（1+x）-1000]（1+x）=1320．
整理得50x2+75x-8=0
解得x1=0.1=10%，x2=-1.6（不合题意，舍去）．
答：这种存款方式的年利率为10%．
B卷
1．解析：（1）y=60-（x-100）×0.02．即y=62-0.02x．
（2）当x=100时，获利（60-40）×100=2000元．
∵该厂获利6000元，∴x>100．
由题意得[60-（x-100）×0.02]x-40x=6000，
解得x1=600，x2=500．
∵订购量不超过550个，∴只取x=500．
答：销售商一次订购了500个旅行包．
2．解析：∵方程①有两个不相等的实数根，
∴△=[-2（m+1）]2-4（m2-2m-3）=16m+16>0，解得m>-1．
又∵方程①有一个根为0，
∴m2-2m-3=0，即（m-3）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=3．
又∵m>-1，∴m=3．
当m=3时，方程②变形为
x2-（k-3）x-k+4=0．
∵x1，x2是方程②的两个实数根，
∴x1+x2=k-3，x1x2=-k+4．
若│x1-x2│=1，则有（x1+x2）2-4x1x2=1，
∴（k-3）2-4（-k+4）=1．
即k2-2k-8=0，（k-4）（k+2）=0，
∴k1=-2，k2=4．
∵当k=-2时，
△=[-（k-3）]2-4（-k+4）=k2-2k-7=（-2）2-2×（-2）-7=1>1．
此时，方程②为x2+5x+6=0，即x1=-3，x2=-2，满足条件．
当k=4时，
△=k2-2k-7=42-2×4-7=1>0．
此时，方程②为x2-x=0，x1=0，x2=1也满足条件．
∴k=-2或4．∴存在实数k=-2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．
3．解析：（1）∵α,β是方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根，
∴△=（p+q+1）2-4p≥0，且α+β=p+q+1，αβ=1，于是，p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1.
（2）证明：∵（1-α）（1-β）=1-(α+β)+ αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，∴α≤1≤β．
（3）若使p+q=成立，
只需α+β=p+q+1=．
1 当点M（α,β）在BC边上运动时，
由B（，1），C（1，1），得≤α≤1，β=1．
而α=-β=-1=>1，故在BC边上不存在满足条件的点．
2 当点M（α,β）在AC边上运动时，由A（1，2）；C（1，1），得α=1，1≤β≤2，此时β=-α=-1=，
又∵1<<2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，）．
3 当点M（α,β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（，1），
得≤α≤1，1≤β≤2，由平面几何知识，得,
于是，β=2α，由
解得α=，β=．
又∵<<1，1<<2，
故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（，）．
综上所述，当点M（α,β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，）和点（，），使p+q=成立．
4．解析：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，
设为x0，则有：
整理可得（x0+1）（a+b-ab）=0．
∵a>2，b>2，∴a+b≠ab，∴x0=-1．
把x0=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．
∴关于x的两个方程没有公共根．
5．解析：解法一：由2m2-5m-1=0知m≠0，
∵m≠n，∴≠．
得+-2=0．
根据+-2=0与+-2=0的特征，
∴与与是方程x2+5x-2=0的两个不相等的实数根．
∴+=-5．
解法二：由+-2=0得2n2-5n-1=0．
根据2m2-5m-1=0与2n2-5n-1=0的特征，且m≠n，
∴m与n是方程2x2-5x-1=0的两个不相等的实数根．
∴m+n=，mn=-．
∴+===-5．
6．解析：（1）△=[-（m-2）]2-4·（-）=2m2-4m+4=2（m-1）2+2>0．
∴无论m取何值，方程总有两相异实根．
（2）∵x1x2=-≤0，
∴x1≤0，x2≥0或x1≥0，x2≤0．
①若x1≤0，x2≥0，则x2=-x1+2，
∴x1+x2=2=m-2，∴m=4，
此时原方程为x2-2x-4=0，x==1±，即x1=1-，x2=1+．
②若x1≥0，x2≤0，则-x2=x1+2，
∴x1+x2=-2=m-2，∴m=0，
此时原方程为x2+2x=0，∴x1=0，x2=-2．
提示：解决本题的关键在于利用一元二次方程根与系数的关系确定出两根的符号．
7．解析：∵5x2-（10cosα）x-7cosα+6=0有两个相等的实数，
∴△=100cos2α-4×5×（-7cosα+6）=0，
5cos2α+7cosα-6=0，
（5cosα-3）（cosα+2）=0，
∴cosα=或cosα=-2（舍去）．
∴sinα===．
∴S菱形=10×10×sinα=100×=80（cm2）．
8．解析：（1）由根与系数的关系得
？
又∵sin2α+cos2α=1，
∴（sinα+cosα）2-2sinαcosα=1，③
将①，②代入③，得1-2×=1，∴p=0．
（2）又∵sinαcosα==0，
∴sinα=0或cosα=0，
∴α=0°或90°．∵α是三角形一内角，∴α不可能是0°．
∴α=90°，故△ABC是直角三角形．
9．解析：（1）设经过xs，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2，
由题意，知BP=（6-x）cm，BQ=2xcm．
∴S△PBQ=（6-x）·2x=8，
即x2-6x+8=0，∴x1=2，x2=4．
当x1=2时，PA=2cm，BQ=4cm，
当x2=4时，PA=4cm，BQ=8cm．
当x=2，x=4时都符合题意，
故经过2s或4s，△BPQ的面积为8cm2．
（2）如答图22-1，设ys后点P移动到BC上，CP=（14-y）cm，
点Q移动到CA上，CQ=（2y-8）cm，
过Q作QD⊥BC于D，则△CQD∽△CAB，
∴=，∵AB=6，BC=8，
∴AC=10．
∴=，∴QD=．
∴S=（14-y）·=12.6．
解得y1=7，y2=11．
当y1=7时，CP=7cm，CQ=6cm，
当y2=11时，CP=3cm，CQ=14cm>CA，
∴舍去，∴y=7．
∴经过7s时，△PCQ的面积等于12.6cm2．毛
①②
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