人教A版（2019） 选择性必修第一册 高二培优阶段训练：专题02 空间向量基本定理及范围最值（含解析）

培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
2.（2022·浙江·高二开学考试）在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022·江苏镇江·高二开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
4.（2022·全国·高二课时练习）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
5.（2022·全国·高二课时练习）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6.（2022·全国·高二专题练习）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
7.（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8.（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9.（2022·全国·高二课时练习）已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
培优第二阶——能力提升练
1.（2021·全国·高二课时练习）设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
2.（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知，若三向量共面，则实数=_____.
4.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
5.（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2021·安徽·高二阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·全国·高二专题练习）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
9.（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
培优第三阶——培优拔尖练
1.（2019·安徽蚌埠·高二期末（理））已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
4.（2022全国·高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
5.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A． B．
C． D．与不能比较大小
6.（2022·全国·高二单元测试）如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
7.（2021·全国·高二专题练习）已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8.（2022·全国·高二专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9.（2022·江西鹰潭·高二期末（理））如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
【答案】③
【分析】根据空间向量基本定理判断可得；
【详解】解：由空间向量基本定理得：
对于①，，所以，，三个向量共面；
对于②，，所以，，三个向量共面；
对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，
且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，
所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；
对于④，，所以，，三个向量共面，
故答案为：③．
2.（2022·浙江·高二开学考试）在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，根据空间向量的线性运算表达，再联立求解即可.
【详解】设则.
所以，，所以.
故选：C
3.（2022·江苏镇江·高二开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
【答案】##
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.故答案为：.
4.（2022·全国·高二课时练习）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
【答案】B
【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断
【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，
所以A、C、D选项说法正确，B错误．
故选：B
5.（2022·全国·高二课时练习）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
6.（2022·全国·高二专题练习）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，
所以 所以 故选：D
7.（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
8.（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由向量加法可得，再利用向量的模长公式，结合向量数量积公式，化简整理式子即可得到答案.
【详解】，，
与夹角大小为二面角的大小, ，，
又利用向量加法运算知，
，
，即
解得：
故选：A.
9.（2022·全国·高二课时练习）已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】由，，根据与的夹角为钝角，由且求解.
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为钝角，所以且，由，得，
所以.若与的夹角为，则存在，使，即，
所以，解得，故答案为：
培优第二阶——能力提升练
1.（2021·全国·高二课时练习）设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
【答案】②③④
【分析】作一个平行六面体，用共点A的三条棱的向量表示已知的基底向量，求出图形中表示的向量，观察图形判断作答.
【详解】如图，平行六面体中，设，
则，，因四点共面，则向量共面，
而四点不共面，则向量不共面，又四点不共面，则不共面，
四点不共面，则也不共面，
所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.
故答案为：②③④
2.（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量的线性运算求解．
【详解】连接，因为，所以，因为，所以，
所以．故选：C．
3.（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知，若三向量共面，则实数=_____.
【答案】
【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值.
【详解】由题意可知，存在实数满足：，
据此可得方程组：，求解方程组可得：.
故答案为．
4.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
【答案】①③
【分析】由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；
对于③：由可得：
，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；
对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；
所以正确的有①③，
故答案为：①③.
5.（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，，
.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A
6.（2021·安徽·高二阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知，再求向量的模即可得答案.
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
故选：C．
7.（2022·全国·高二专题练习）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：C.
8.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.
【详解】根据题意，在中， ，所以
所以==
则时，取得最小值，则的最小值为.故选：B
9.（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得动点的轨迹方程，再由直线与平面的夹角可得出最值.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，则，因为，
所以，即
，所以点的轨迹为以点为球心、为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，从而点在上，且在上，
则，从而，所以的最大值为，
故选：A．
培优第三阶——培优拔尖练
1.（2019·安徽蚌埠·高二期末（理））已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由共面向量定理可得：：当“”时，，易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，解得：，综合得解
【详解】解：当“”时，，
易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，
设，，共面，
即，解得：，即，
即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：，
即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件
综合得：“”是“，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，
故选A．
2.（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，
所以，
则，
所以．
故选：A．
3.（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
【答案】（或C或边上的任意一点）
【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.
【详解】解：因为点P满足，其中，且，
所以点三点共面，
因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，
所以,
连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，
故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）
故答案为：（或C或边上的任意一点）
4.（2021·全国·高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
【答案】D
【分析】假设为零向量，可判断选项A；
根据向量的特征，可判断选项B；
根据向量共线定理，可判断选项C；
根据零向量的定义，可判断选项D.
【详解】由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；
因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；
共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；
根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.
故选：D.
5.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A． B．
C． D．与不能比较大小
【答案】C
【分析】由题设易得，且，应用向量数量积的运算律化简，进而比较它们的大小关系.
【详解】∵E是BC的中点，，
∴，即．
不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°，
∴．
故．
故选：C
6.（2022·全国·高二单元测试）如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
7.（2021·全国·高二专题练习）已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，求得，取的中点，连接、、、、、，求得，求出的最大值，分析可得，即可求得结果.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
因为平面，平面，则，
因为为的中点且，故，
取的中点，连接、、、、、，如下图所示：
因为为的中点且四边形为正方形，故为的中点，
又因为为的中点，故，
所以，，当且仅当、、三点共线且在线段上时，等号成立，
所以，
.因此，的最大值为.故选：D.
8.（2022·全国·高二专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.
9.（2022·江西鹰潭·高二期末（理））如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.
【详解】设线段的中点为，连接，
，为的中点，则，
，则，，同理可得，，
，平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，所以，为等边三角形，故为的中点，
平面，平面，则，
，，平面，
以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，
则、、、，由于点在平面内，
可设，
其中，且，从而，
因为，则，所以，，
故当时，有最大值，即，
故，即有最大值，
所以，.故选：D.