人教A版（2019） 选择性必修第一册 高二培优阶段训练：专题03 直线方程（含解析）

2023
培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2..（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．
3.（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二期中（文））“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.（2022·江苏·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线的四种表述不正确的是（ ）
A．与曲线C：可能相离，相切，相交
B．恒过定点
C．时，直线斜率是0
D．时，直线的倾斜角是135°
6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数满足，则的最小值为_______．
8.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．6 D．3
9.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）若直线与平行，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
培优第二阶——能力提升练
1.（2018·四川省资阳中学高一阶段练习（理））已知则倾斜角的取值范围为_________
2..（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
3..（2022·全国·高二课时练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·全国·高二专题练习）已知直线在轴上的截距为1，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
5.（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m为怎样的实数，直线（ ）
A．互相平行
B．都经过一个定点
C．其中某一条直线与另两条直线垂直
D．其中不可能存在两条直线互相垂直
6.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线恒过定点，若点到直线l的最大距离为2，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
7.（2022·全国·高二课时练习）对于直线系，，下列说法错误的有（ ）．
A．存在定点C与M中的所有直线距离相等
B．M中不存在两条互相平行的直线
C．M中存在两条互相垂直的直线
D．存在定点P不在M中的任意一条直线上
8.（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为______.
9..（2021·湖北·武汉市第十一中学高二阶段练习）若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
培优第三阶——培优拔尖练
.1.（2022·全国·高二课时练习）与直线的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·全国·高三专题练习）曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
3.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·全国·高二课时练习）已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.2023·全国·高三专题练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7.（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
8.（2021·江苏·高二专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.（2021·全国·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线被直线与所截得的线段为，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线的斜率,，
设直线的倾斜角为，则，
解得.故选：A.
2..（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据题意作图如下，结合图形可知，直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，
根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线的倾斜角小于和大于两种情况分别求出直线的斜率的取值范围即可.
【详解】如图所示：
因为直线经过点且与线段相交，所以直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，
当直线的倾斜角小于时，有；当直线的倾斜角大于时，有，
由直线的斜率公式可得，，
所以直线的斜率的取值范围为或.故答案为：或
3.（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二期中（文））“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可.
【详解】若直线：与直线：平行，则，可得.
当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意.
所以“直线：与直线：平行”等价于“”.
所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.
故选：C
4.（2022·江苏·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.
【详解】，
直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，
故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.
故选：B
5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线的四种表述不正确的是（ ）
A．与曲线C：可能相离，相切，相交
B．恒过定点
C．时，直线斜率是0
D．时，直线的倾斜角是135°
【答案】A
【分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断CD.
【详解】直线可化为，
令，，解得，，
所以直线恒过定点，
而该定点在圆C：内部，
所以必与该圆相交．
当时，直线方程为，故斜率为0，
当时，直线方程为，故斜率为，倾斜角为135°.
故选：A
6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；
【详解】因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得
所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，
故选：C.
7.（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数满足，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为实数满足＝1
所以表示直线上点到原点的距离，
故的最小值为原点到直线的距离，
即，
故的最小值为1.
8.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【解析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值.
故选：C.
9.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）若直线与平行，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两条直线平行求出a，再利用平行间距离公式计算作答.
【详解】依题意，由解得或，
当时，直线，，直线与重合，不符合题意，即，
当时，直线，，直线与平行，则，
所以与之间的距离.
故选：D
培优第二阶——能力提升练
1.（2018·四川省资阳中学高一阶段练习（理））已知则倾斜角的取值范围为_________
【答案】
【分析】根据基本不等式，求得的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围．
【详解】当 时， ，即，所以
当 时，，即，所以
综上所述，
2..（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】先画出线段AB，之后连接PA，PB求得PA，PB的斜率，通过观察图像找到直线l斜率的取值范围
【详解】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或
故选：A
3..（2022·全国·高二课时练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，所以代入得，解得，
所以，故选:D
4.（2022·全国·高二专题练习）已知直线在轴上的截距为1，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由题意可得，然后利用基本不等式可求得的最小值
【详解】因为直线在轴上的截距为1，
所以，即，
因为
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6，
故选：B
5.（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m为怎样的实数，直线（ ）
A．互相平行
B．都经过一个定点
C．其中某一条直线与另两条直线垂直
D．其中不可能存在两条直线互相垂直
【答案】B
【分析】把直线方程整理为关于的方程，利用恒等知识求得直线过定点坐标，从而得结论．
【详解】直线方程整理为：，
由，得，所以直线过定点，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．
故选：B．
6.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线恒过定点，若点到直线l的最大距离为2，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据直线恒过定点，当直线动态变化时，点到直线的距离的最大值为点到定点的距离，所以，求得，可得，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由题可知，所以，所以．
，
当且仅当，即，时，取等号．
故选：C
7.（2022·全国·高二课时练习）对于直线系，，下列说法错误的有（ ）．
A．存在定点C与M中的所有直线距离相等
B．M中不存在两条互相平行的直线
C．M中存在两条互相垂直的直线
D．存在定点P不在M中的任意一条直线上
【答案】B
【分析】应用点线距离公式知，点到M的距离且该点不在M上，可判断A、D的正误；利用特殊值法可判断B、C的正误.
【详解】A：由M的方程知：点到M的距离为，故正确；
B：当有，当有，即存在平行的直线，故错误；
C：当有，当有，即存在垂直的直线，故正确；
D：显然存在，有，即不在中的任意一条直线上，故正确；
故选：B.
8.（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为______.
【答案】
【分析】求出直线过定点的坐标和直线过定点的坐标，与交于点，根据两条直线的斜率不难发现有则有，可得，再利用基本不等式的性质可得的最大值．
【详解】对于直线，令，可得，故它过定点，
且它的斜率为．对于动直线：，即，
令，求得，，过定点，且它的斜率为，故与垂直．
与交于点（异于点，），．
， ， ，
当且仅当时，的最大值为 ，故答案为：．
9..（2021·湖北·武汉市第十一中学高二阶段练习）若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】解：由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为，
到原点的距离的最小值为．
故选：C
培优第三阶——培优拔尖练
.1.（2022·全国·高二课时练习）与直线的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用斜率和倾斜角的关系可得两直线的倾斜角，进而即得.
【详解】∵的斜率为，
∴直线的倾斜角为，又直线的倾斜角为，
故与直线的夹角为.
故选：C.
2.（2023·全国·高三专题练习）曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.
【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示：
由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，
则直线的倾斜角的取值范围是，故选A.
3.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答.
【详解】依题意，，直线l的方向向量，则有，
解得，因此，，
因当时，取最小值，则有，
所以的取值范围是.
故选：D
4.（2022·全国·高二课时练习）已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】首先求出的斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可；
【详解】解：，，所以，且的中点为，
若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，
即，则到直线的距离，
即，解得或；
所以直线为或；
若直线与平行，设直线为，则到直线的距离，
解得或，所以直线为或；
综上可得满足条件的直线有4条；
故选：D
5.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定线过定点，且不与轴垂直，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意知直线过定点，且不与轴垂直，
当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，
当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：
由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，
即点到直线的距离的取值范围是，
故选：D.
6.2023·全国·高三专题练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先由等差数列求得，再由求出定点坐标，代入直线得，由结合基本不等式即可求解.
【详解】易知，则，整理得，由解得，
则，则，即，又，则，
则，
当且仅当即时取等，故的最小值为.故选：B.
7.（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
【答案】或
【分析】应用辅助角公式可得且，根据正弦函数的性质有，易知其几何意义：直线系A是圆上所有点的切线集合，分析可知直线构成正三角形有无数个，但面积值只有两个；将圆心移至原点、取简化模型，设为，应用切线的性质及点线距离公式求参数b，进而求出正三角形的两个面积值.
【详解】直线系A：可变形为，
∴，而，
，即，其几何意义为圆外的点的集合，直线系是圆的切线的包络，即圆上所有点的切线集合，如图所示.
把圆心平移到原点，由过圆上一点的切线方程为.
而圆的参数形式为，，
令，则以为切点的切线方程为，即.
由圆心到切线的距离等于半径，有，即，
故当时，直线系是圆上所有点的切线方程系，也是圆的包络线.
显而易见，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个.
如取，如图所示，设直线的方程为.
圆心到直线的距离等于半径，则，
，则，
当，，，则.
当，，，则.
将圆向右平移3个单位即为，不改变正三角形的面积，直线系A中组成正三角形的面积：或.
故答案为：或
8.（2021·江苏·高二专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质即可求值域．
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
时，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
时，也垂直，所以两直线始终垂直，
又P是两条直线的交点，，．
设，则，，由且，可得，
，，，
，，故选:D．
9.（2021·全国·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线被直线与所截得的线段为，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由已知得直线与直线，垂直，再由两平行线间的距离公式，计算可得选项．
【详解】解：由题意，可得直线与直线，垂直，则由两平行线间的距离公式，得.
故选：B．