四川省成都市顶级中学2023届高三下学期入学考试数学（理）试题（解析版）

2023
2023届四川省成都市顶级顶级中学高三下学期入学考试
数学（理）试题
一、单选题
1．集合，，，则等于　（ ）
A．{1,4,5,6}
B．{1,5}
C．{4}
D．{1,2,3,4,5}
2．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A．6 B．5 C．3 D．2
6．函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
7．已知四棱锥的底面ABCD是矩形，底面ABCD，其三视图如图所示，则二面角的正弦值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）．
A．57周岁以上参保人数最少
B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐
D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
9．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（ ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
10．已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为
A． B． C． D．不能确定
12．关于x方程的两个根为a，b，且，则以下结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．已知向量，，若，则实数__________．
14．展开式中含项二项式系数为__________．
15．已知二次函数满足条件：（1）的图象关于y轴对称；（2）曲线在处的导数为4，则的解析式可以是__________．
16．已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则 =___________.
三、解答题
17．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
18．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．
组别 分组 频数 频率
第1组 14 0.14
第2组
第3组 36 0.36
第4组 0.16
第5组 4
合计
(1)求，，，的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)求二面角的余弦值．
20．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
21．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的最小值；
(3)若函数的图象与直线有两个不同的交点、，证明：．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值．
23．已知函数.
(1)求的最大值;
(2)若正数满足，证明:
2023届四川省成都市顶级顶级中学高三下学期入学考试
数学（理）试题
一、单选题
1．集合，，，则等于　（ ）
A．{1,4,5,6}
B．{1,5}
C．{4}
D．{1,2,3,4,5}
【答案】B
【分析】先计算出，再由交集定义计算．
【详解】由题意所以．
故选： B
【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键．
2．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先利用复数的四则运算求出，然后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】由题意得，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C
3．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.
【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是对立事件.
故选：C
4．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解.
【详解】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D.
由题得，所以排除选项C.
故选A
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线经过点A时，
z取得最小值，联立，
此时．
故选：D.
6．函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
【答案】B
【分析】整体法得到，数形结合得到函数的单调性.
【详解】，则，
因为在上单调递减，
故在上是减函数.
故选：B
7．已知四棱锥的底面ABCD是矩形，底面ABCD，其三视图如图所示，则二面角的正弦值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】画出四棱锥的直观图,根据条件知为二面角的平面角，再求其正弦值即可.
【详解】由三视图得四棱锥的直观图如下图:
底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，故
又面 面，故为二面角的平面角，
由题意知: ，
在中, ，
二面角的正弦值为，
故选:C
8．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）．
A．57周岁以上参保人数最少
B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐
D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
【答案】B
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.
故选：B
9．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（ ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
【答案】D
【分析】根据已知分析数列中当时，，且，即可根据数列前项和的定义得出答案.
【详解】，在时，，且时，，
则数列中当时，，且，
，
则当其前项和最小时，n是4或5，
故选：D.
10．已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意将函数的零点问题转化为与的交点问题，有图形可得当时，有3个零点，再根据当时，则，结合导数证明当时，无零点，即可得结果.
【详解】令，则，
故函数的零点问题转化为与的交点问题，且，即，
如图所示：
由图可得；当时，与有3个交点，即当时，有3个零点；
当时，则，
构建，则当上恒成立，
则当上单调递增，故，
可得：当时，则，即当时，无零点；
综上所述：函数有3个零点.
故选：C.
11．过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.
【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.
【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．关于x方程的两个根为a，b，且，则以下结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意结合对数分析可得，且，对（1）：解不等式即可得结果；对（2）：由，根据的单调性分析运算即可；对（3）：，构建，结合的单调性分析判断；对（4），构建，结合的单调性分析判断.
【详解】由题意可得：，则，故，
∵，故，且，
对（1）：由，即，解得或，
∵，故，（1）正确；
对（2）：∵，且在上单调递减，
∴，（2）正确；
对（3）：构建，则在上单调递增，故，
可得，即，
∵，等价于，
构建，
∵，则在定义域内单调递增，
∴，即，C错误；
对（4）：由（1）得，且，
由，等价于，等价于，
构建，则，
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，且，
∴在上恒成立，即，
又∵在上单调递减，则在上恒成立，即，
故，（4）正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数h(x)；
（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
二、填空题
13．已知向量，，若，则实数__________．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示建立方程求解.
【详解】由题意得，
因为，所以，解得.
故答案为：.
14．展开式中含项二项式系数为__________．
【答案】
【分析】根据二项式系数的定义运算求解.
【详解】展开式中含项二项式系数为.
故答案为：20.
15．已知二次函数满足条件：（1）的图象关于y轴对称；（2）曲线在处的导数为4，则的解析式可以是__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，确定函数为偶函数，，，满足条件，得到答案.
【详解】取，则，函数为偶函数，关于y轴对称；
，，满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
16．已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则 =___________.
【答案】
【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定，分别说明与时，根据平移后的解析式结合，即可求得的值.
【详解】解：函数的图像向右平移个单位得到函数，即函数
又函数，
所以，则.
当时，，
则，所以，又，所以；
当时，，
则，所以，又，所以无解；
综上，.
故答案为：.
三、解答题
17．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
（2）,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：
.
18．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．
组别 分组 频数 频率
第1组 14 0.14
第2组
第3组 36 0.36
第4组 0.16
第5组 4
合计
(1)求，，，的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)，，，
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.
（2）服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果.
【详解】（1）由题意可得第四组的人数为，
所以，，
又内的频率为，所以，
内的频率为0.04，所以．
（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为，
由题意可取0，1，2，3，且，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明
（2）建系，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）取PA的点Q，满足，连接MQ，QB，
因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，即，且，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
则，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又N为BC的中点，则，
所以，，，，
设平面CPD的法向量为，
则，令，则，
设平面CPN的法向量为，
则，令，则，
所以，
由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为．
20．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由离心率为可得，又面积的最大值为，联立方程求解即可得答案；
（2）设直线BC方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，又，，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，根据韦达定理化简可得，从而即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，
设，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，
直线BA的方程为，令得点M纵坐标，
同理可得点N纵坐标，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，
，
由，故，解得．
21．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的最小值；
(3)若函数的图象与直线有两个不同的交点、，证明：．
【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数解析式可得定义域为，利用导函数即可判断函数的单调性得出其单调区间；
（2）对函数求导判断出其单调性即可得的最小值为；
（3）通过观察需要证明的不等式特征结合（1）（2）中的结论可知，函数的图象在两条切线和的上方，即可得出的距离小于等于被两切线截得的线段长.
【详解】（1）由函数可得定义域为，，
令可得，
当，，即在上单调递减；
当，，即在单调递增；
所以，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由题意得，其定义域为，，
当，，即在上单调递减，
当，，即在单调递增；
所以，即的最小值是．
（3）由（2）可知，
即，直线为函数的一条切线，
，取，，，
所以在处的切线方程，即
（下面证明此切线在函数图像下方）
令，，
又令，恒成立，
则为单调递增函数，又，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，所以，
所以函数图像夹在直线和直线之间，
直线与直线的交点为，
与直线的交点为，
不妨设，则．
【点睛】关键点点睛：在证明不等式时，关键是利用前两问的结论得出函数的图象夹在两条切线之间，并找出对应的切线方程即可证明结论.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值．
【答案】(1)曲线的极坐标方程为；
即曲线的直角坐标方程为
(2)2
【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)利用极径的几何意义求解.
【详解】（1）∵,则，
∵，
曲线的极坐标方程为；
由，得，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）由得 ， ①
由得，②
可得 ，
即
设P，Q两点所对应的极径分别为，
则，
∴.
23．已知函数.
(1)求的最大值;
(2)若正数满足，证明:
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知，再求解最大值即可；
（2）根据基本不等式证明即可.
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
当时，，
所以
因为当时，函数单调递减，或时，函数为常函数，
所以，函数的最大值为，即
（2）解：因为，，，
所以，
因为，由（1）知，即，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，证毕.