19.2.1 菱形的性质 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
19.2.1 菱形的性质
华师大版 八年级 下册
教学目标
教学目标：1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形
的性质定理.
2.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
教学重点:菱形的性质及其应用.
教学难点:灵活利用菱形的性质解题.
新知导入
情境引入
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢
新知讲解
合作学习
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
试一试
四边形、平行四边形、矩形和菱形的关系
四边形
平行四边形
矩形
两组对边分别平行
有一个角是直角
四边形
平行四边形
矩形
菱形
有一组邻边相等
菱形
作为平行四边形特殊形式的菱形具有哪些性质呢？
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
对角线互相平分且垂直
观察所示的菱形，将你的发现填入下表.
菱形有几条对称轴？
对称中心在哪里？
如图，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直.
如何证明这两个猜想？
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）
∵ AB=BC（菱形的定义）
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角.
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
证明：AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB(菱形的定义)，
OD=OB （平行四边形的对角线互相平分），
∴ AC ⊥ DB ，AC平分∠DAB（三线合一）.
同理： AC平分∠DCB ；DB平分∠ADC和∠ABC.
A
B
C
D
O
提炼概念
归纳
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质
A
B
C
D
O
典例精讲
例1 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
解：在菱形ABCD中，
AB＝BC
∠B＋∠BAD＝180°
又已知∠BAD＝2∠B
可得∠B＝60°
所以△ABC是一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形.
A
B
C
D
例2 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号)
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等).
在△ABO和△ADO中，
∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD,
∴△ABO≌△ADO,
∴∠BAO＝∠DAO ＝ ∠BAD＝60°.
在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°,
∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2.
在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
∴△AOB为直角三角形，
∴
∴
例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E. 求∠BCD的大小.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的
四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°.
∴∠BCD＝120°.
归纳概念
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
数学语言
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
∴ AB=BC=CD=DA
∴ ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD
AC⊥BD
∴ OA=OC;OB=OD
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
课堂练习
1.菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）.
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相平分
D
2.AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试探究四边形AEDF是什么特殊四边形，说明理由．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
又∵AE∥DF，
∴∠1＝∠3，而∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝DF，
∴ AEDF为菱形．
解：平行四边形AEDF为菱形
3.菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
=4×
=4×
=
4.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
5．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．
(2)解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，
又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，
又∵∠BAF＝∠BAC－∠EAC＝30°＝∠EAC，
∴AF是等边△ABC的角平分线，
∴BF＝CF，∴点F是线段BC的中点.
课堂总结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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