2022--2023学年人教版九年级数学下册第28章三角函数 专项练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022--2023学年人教版九年级数学下册第28章三角函数 专项练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 336.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-14 00:00:00 | ||
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文档简介
三角函数专项练习
1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（ ）
A． B．5sinα C． D．5cosα
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（ ）
A．3 B． C． D．
4．如图，有一斜坡AB，坡角∠B=30°，其水平长度BC为30米，则坡面AB的长为（ ）
A．15米 B．15米 C．20米 D．60米
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A．10m B．10m C．5m D．5m
6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
7．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B．m C．36m D．m
8．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，那么∠B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（ ）
A． B． C． D．1
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
13．sin240°+cos240°的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=b，下列选项中一定正确的是（ ）
A．b=6sinA B．b=6cosA C．b=6tanA D．b=6cotA
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．3
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
19．已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
22．计算sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
二．解答题（共27小题）
24．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45° tan45°．
25．计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣2）2 （﹣1）0﹣|﹣|．
26．计算：（1﹣2）0﹣2﹣1+|﹣3|﹣sin30°．
27．计算：
28．计算：+3﹣2．
29．计算：（﹣）﹣2﹣（2+）0+
30．计算：|1﹣|+（﹣）﹣1 sin45°+（）0．
31．计算：4sin45°tan45°cos45°﹣（sin30°）﹣1．
32．计算：．
33．计算：．
34．计算
35．计算：．
36．计算：|﹣2|﹣4sin60°+．
37．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
38．计算：．
39．计算：22+|﹣|+（π+2009）0﹣2sin45°．
40．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．
41．计算：|﹣3|+ tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
42．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
43．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
44．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．
45．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
46．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
47．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
48．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
49．如图①是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建于明万历十二年（1584它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔．小明决定用自己所学习的知识测量大观楼文峰塔的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得文峰塔最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小明算算文峰塔的高度．（结果保留根号）．
答案
三角函数答案
一．选择题（共22小题）
1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴BC==，
故选：B．
2．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（ ）
A． B．5sinα C． D．5cosα
解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，
则AB==，
故选：A．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（ ）
A．3 B． C． D．
解：∵cosA=，
∴AB=，
故选A
4．如图，有一斜坡AB，坡角∠B=30°，其水平长度BC为30米，则坡面AB的长为（ ）
A．15米 B．15米 C．20米 D．60米
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=30米，
∴cosB=，
∴AB===20（米）．
故选C．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A．10m B．10m C．5m D．5m
解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC=1：2，BC=5m，
∴AC=10m，
则AB==5m．
故选D．
6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
解：∵迎水坡AB的坡比1：，
∴，
∵堤高BC=6米，
∴AC=BC=6（米）．
故选A
7．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B．m C．36m D．m
解：当t=4时，s=10t+2t2=72．
设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，
∵一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，
∴CA=x，BC=x，
在直角△ABC中，由勾股定理得：
AB2=BC2+AC2，
x2+（x）2=722．
解得：x=36．
故选C．
8．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
解：AC===12，
A、sinA==．故本选项正确；
B、cosA==，故本选项错误；
C、tanA==，故本选项错误；
D、cotA==，故本选项错误；
故选：A．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，那么∠B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解；由勾股定理得BC===，
cos∠B==，
故选：A．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（ ）
A． B． C． D．1
解：∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==，
故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∴tanA==．
故选B．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵sinA=sinA=，
∴可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b=4，
∴cosA==，
故选B．
13．sin240°+cos240°的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解答】解：sin240°+cos240°=1．
故选：C．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC==3，
∴sinB==．
故选C．
15．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，得
∠A+∠B=90°，
cosB=sinA=，
故选：D．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=b，下列选项中一定正确的是（ ）
A．b=6sinA B．b=6cosA C．b=6tanA D．b=6cotA
解：∵∠C=90°，
∴cosA=，
∵AB=6，AC=b，
∴b=6cosA；
故选B．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴cosA===，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=．
故选：A．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，
∴coaα=，
∴AB==．
故选：A．
19．已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：由∠A为锐角，且sinA=，得
∠A=45°，
故选：C．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴BC==3，
∴tanA==，
故选：C．
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A为锐角．
∵sin60°=，
∴A=60°．
故选C．
22．计算sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sin45°=
故选（C）
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD，
求证：BE=AB．
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥CD，
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∴BE=CD．
∴BE=AB．
24．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45° tan45°．
解：原式=﹣+2××1
=．
25．计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣2）2 （﹣1）0﹣|﹣|．
【解答】解：原式=2×﹣3+4×1﹣2=1﹣．
26．计算：（1﹣2）0﹣2﹣1+|﹣3|﹣sin30°．
【解答】解：原式=1﹣+3﹣=3．
27．计算：
【解答】解：原式=﹣1（4分）
=﹣1
=﹣7．（6分）
28．计算：+3﹣2．
【解答】解：+3﹣2，
=2﹣2×1+1+，（8分）
=．（9分）
29．计算：（﹣）﹣2﹣（2+）0+
【解答】解：原式=4﹣1+
=3﹣
=3﹣﹣3
=﹣．
30．计算：|1﹣|+（﹣）﹣1 sin45°+（）0．
【解答】解：原式=﹣1﹣2×+1，
=﹣1﹣+1，
=0．
31．计算：4sin45°tan45°cos45°﹣（sin30°）﹣1．
解：原式=4××1×﹣2=0．
32．计算：．
【解答】解：原式=﹣1+×，
=﹣1+1，
=．
33．计算：．
【解答】解：原式==2．
34．计算
【解答】解：
=
=
35．计算：．
【解答】解：原式=﹣=．
36．计算：|﹣2|﹣4sin60°+．
【解答】解：原式=2﹣4×+2=2．
37．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
【解答】解：原式=1+3+4×﹣
=4+2﹣2
=4．
38．计算：．
解：原式=1﹣3﹣+2×=﹣2．
39．计算：22+|﹣|+（π+2009）0﹣2sin45°．
【解答】解：原式=4++1﹣=5．
40．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．
【解答】解：原式=
=
=．
41．计算：|﹣3|+ tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
【解答】解：原式==3+1﹣2﹣1=1．
（注：只写后两步也给满分．）
42．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=100米，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=100米，
在Rt△ACD中，
∵CD=100米，∠ACD=60°，
∴AD=CD tan60°=100×=100（米），
∴AB=AD+BD=100+100=100（+1）米．
答：AB两点的距离是100（+1）米．
43．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
【解答】解：（1）如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA sin∠PAC=100×0.80=80，
在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=1.41×80≈113，
即B处与灯塔P的距离约为113海里；
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，
∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．
44．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE=AB=12m．
在Rt△CBE中，cot∠CBE=，
∴BE=CE cot30°=12×=12．
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12．
∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
45．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
【解答】解：（1）∵BG∥CD，
∴∠GBA=∠BAC=30°，
又∵∠GBE=15°，
∴∠ABE=45°，
∵∠EAD=60°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=10，
故AE的长为10米．
（2）在RT△ADE中，sin∠EAD=，
∴DE=10×=15，
又∵DF=1，
∴FE=14，
∴时间t==28（秒）．
故旗子到达旗杆顶端需要28秒．
46．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC=，
∴AC=3 tan60°=3，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．
（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，
∴AD===6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，
∴BD===3米．
47．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
AB=20×1=20（海里），
∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，
∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=BA=20（海里），
∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，
∴CD=BC sin∠CBD=≈17（海里）．
48．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=AD tan30°=x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴CD=AD=x．
∵BD+CD=BC，
∴x+x=150，
∴x=75（3﹣）≈95．
即A点到河岸BC的距离约为95m．
49．如图①是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建于明万历十二年（1584它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔．小明决定用自己所学习的知识测量大观楼文峰塔的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得文峰塔最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小明算算文峰塔的高度．（结果保留根号）．
【解答】解：由题意得，∠PAO=60°，∠B=45°，
设塔高为x米，
在Rt△AOP中，
∵∠PAO=60°，
∴OA=x，
在Rt△BOP中，
∵∠B=45°，
∴OB=x，
则x﹣x=12，
解得：x=18+6．
答：文峰塔的高度为（18+6）米．
1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（ ）
A． B．5sinα C． D．5cosα
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（ ）
A．3 B． C． D．
4．如图，有一斜坡AB，坡角∠B=30°，其水平长度BC为30米，则坡面AB的长为（ ）
A．15米 B．15米 C．20米 D．60米
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A．10m B．10m C．5m D．5m
6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
7．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B．m C．36m D．m
8．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，那么∠B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（ ）
A． B． C． D．1
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
13．sin240°+cos240°的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=b，下列选项中一定正确的是（ ）
A．b=6sinA B．b=6cosA C．b=6tanA D．b=6cotA
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．3
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
19．已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
22．计算sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
二．解答题（共27小题）
24．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45° tan45°．
25．计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣2）2 （﹣1）0﹣|﹣|．
26．计算：（1﹣2）0﹣2﹣1+|﹣3|﹣sin30°．
27．计算：
28．计算：+3﹣2．
29．计算：（﹣）﹣2﹣（2+）0+
30．计算：|1﹣|+（﹣）﹣1 sin45°+（）0．
31．计算：4sin45°tan45°cos45°﹣（sin30°）﹣1．
32．计算：．
33．计算：．
34．计算
35．计算：．
36．计算：|﹣2|﹣4sin60°+．
37．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
38．计算：．
39．计算：22+|﹣|+（π+2009）0﹣2sin45°．
40．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．
41．计算：|﹣3|+ tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
42．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
43．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
44．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．
45．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
46．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
47．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
48．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
49．如图①是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建于明万历十二年（1584它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔．小明决定用自己所学习的知识测量大观楼文峰塔的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得文峰塔最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小明算算文峰塔的高度．（结果保留根号）．
答案
三角函数答案
一．选择题（共22小题）
1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴BC==，
故选：B．
2．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（ ）
A． B．5sinα C． D．5cosα
解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，
则AB==，
故选：A．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（ ）
A．3 B． C． D．
解：∵cosA=，
∴AB=，
故选A
4．如图，有一斜坡AB，坡角∠B=30°，其水平长度BC为30米，则坡面AB的长为（ ）
A．15米 B．15米 C．20米 D．60米
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=30米，
∴cosB=，
∴AB===20（米）．
故选C．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A．10m B．10m C．5m D．5m
解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC=1：2，BC=5m，
∴AC=10m，
则AB==5m．
故选D．
6．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
解：∵迎水坡AB的坡比1：，
∴，
∵堤高BC=6米，
∴AC=BC=6（米）．
故选A
7．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B．m C．36m D．m
解：当t=4时，s=10t+2t2=72．
设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，
∵一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，
∴CA=x，BC=x，
在直角△ABC中，由勾股定理得：
AB2=BC2+AC2，
x2+（x）2=722．
解得：x=36．
故选C．
8．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
解：AC===12，
A、sinA==．故本选项正确；
B、cosA==，故本选项错误；
C、tanA==，故本选项错误；
D、cotA==，故本选项错误；
故选：A．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，那么∠B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解；由勾股定理得BC===，
cos∠B==，
故选：A．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（ ）
A． B． C． D．1
解：∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==，
故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∴tanA==．
故选B．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵sinA=sinA=，
∴可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b=4，
∴cosA==，
故选B．
13．sin240°+cos240°的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解答】解：sin240°+cos240°=1．
故选：C．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC==3，
∴sinB==．
故选C．
15．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，得
∠A+∠B=90°，
cosB=sinA=，
故选：D．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=b，下列选项中一定正确的是（ ）
A．b=6sinA B．b=6cosA C．b=6tanA D．b=6cotA
解：∵∠C=90°，
∴cosA=，
∵AB=6，AC=b，
∴b=6cosA；
故选B．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴cosA===，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=．
故选：A．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，
∴coaα=，
∴AB==．
故选：A．
19．已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：由∠A为锐角，且sinA=，得
∠A=45°，
故选：C．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴BC==3，
∴tanA==，
故选：C．
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A为锐角．
∵sin60°=，
∴A=60°．
故选C．
22．计算sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sin45°=
故选（C）
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD，
求证：BE=AB．
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥CD，
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∴BE=CD．
∴BE=AB．
24．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45° tan45°．
解：原式=﹣+2××1
=．
25．计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣2）2 （﹣1）0﹣|﹣|．
【解答】解：原式=2×﹣3+4×1﹣2=1﹣．
26．计算：（1﹣2）0﹣2﹣1+|﹣3|﹣sin30°．
【解答】解：原式=1﹣+3﹣=3．
27．计算：
【解答】解：原式=﹣1（4分）
=﹣1
=﹣7．（6分）
28．计算：+3﹣2．
【解答】解：+3﹣2，
=2﹣2×1+1+，（8分）
=．（9分）
29．计算：（﹣）﹣2﹣（2+）0+
【解答】解：原式=4﹣1+
=3﹣
=3﹣﹣3
=﹣．
30．计算：|1﹣|+（﹣）﹣1 sin45°+（）0．
【解答】解：原式=﹣1﹣2×+1，
=﹣1﹣+1，
=0．
31．计算：4sin45°tan45°cos45°﹣（sin30°）﹣1．
解：原式=4××1×﹣2=0．
32．计算：．
【解答】解：原式=﹣1+×，
=﹣1+1，
=．
33．计算：．
【解答】解：原式==2．
34．计算
【解答】解：
=
=
35．计算：．
【解答】解：原式=﹣=．
36．计算：|﹣2|﹣4sin60°+．
【解答】解：原式=2﹣4×+2=2．
37．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
【解答】解：原式=1+3+4×﹣
=4+2﹣2
=4．
38．计算：．
解：原式=1﹣3﹣+2×=﹣2．
39．计算：22+|﹣|+（π+2009）0﹣2sin45°．
【解答】解：原式=4++1﹣=5．
40．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．
【解答】解：原式=
=
=．
41．计算：|﹣3|+ tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．
【解答】解：原式==3+1﹣2﹣1=1．
（注：只写后两步也给满分．）
42．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=100米，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=100米，
在Rt△ACD中，
∵CD=100米，∠ACD=60°，
∴AD=CD tan60°=100×=100（米），
∴AB=AD+BD=100+100=100（+1）米．
答：AB两点的距离是100（+1）米．
43．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
【解答】解：（1）如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA sin∠PAC=100×0.80=80，
在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=1.41×80≈113，
即B处与灯塔P的距离约为113海里；
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，
∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．
44．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE=AB=12m．
在Rt△CBE中，cot∠CBE=，
∴BE=CE cot30°=12×=12．
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12．
∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
45．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
【解答】解：（1）∵BG∥CD，
∴∠GBA=∠BAC=30°，
又∵∠GBE=15°，
∴∠ABE=45°，
∵∠EAD=60°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=10，
故AE的长为10米．
（2）在RT△ADE中，sin∠EAD=，
∴DE=10×=15，
又∵DF=1，
∴FE=14，
∴时间t==28（秒）．
故旗子到达旗杆顶端需要28秒．
46．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC=，
∴AC=3 tan60°=3，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．
（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，
∴AD===6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，
∴BD===3米．
47．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
AB=20×1=20（海里），
∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，
∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=BA=20（海里），
∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，
∴CD=BC sin∠CBD=≈17（海里）．
48．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=AD tan30°=x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴CD=AD=x．
∵BD+CD=BC，
∴x+x=150，
∴x=75（3﹣）≈95．
即A点到河岸BC的距离约为95m．
49．如图①是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建于明万历十二年（1584它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔．小明决定用自己所学习的知识测量大观楼文峰塔的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得文峰塔最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小明算算文峰塔的高度．（结果保留根号）．
【解答】解：由题意得，∠PAO=60°，∠B=45°，
设塔高为x米，
在Rt△AOP中，
∵∠PAO=60°，
∴OA=x，
在Rt△BOP中，
∵∠B=45°，
∴OB=x，
则x﹣x=12，
解得：x=18+6．
答：文峰塔的高度为（18+6）米．