二次函数（一）[下学期]
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课件21张PPT。二次函数（一）一、中考要点分析1、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)称为y是x的二次函数，它的图像是抛物线. ?
2.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、b、c的符号：
(1)a决定开口方向:
(2)a与b决定对称轴位置:
3. 抛物线与x轴交点个数的判定.
(1)b2-4ac＞0 2个交点.
(2)b2-4ac = 0 1个交点.
(3)b2-4ac＜0 0个.(3) c决定抛物线与y轴交点位置y=ax2+bx+c(a≠0)4.常用的二次函数解析式的求法：
(1)一般式：y=ax2+bx+c
(2)顶点式：y=a(x-m)2+n
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
5.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，最值为y= ,要善于利用图像的对称性,同时抓住抛物线的顶点、与x轴的交点，与y轴的交点这几个关键点来解决有关的问题。
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( )
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0二、典型例题分析A2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D. 第四象限D-1a <0,b >0,c >03.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大至为 ( )B4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c
的图像如图所示，则函数值
y＜0时，对应的x取值范围
是 .-3＜x＜1.-3-3１5、已知二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个A6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m
的图像总是过点 ( )
A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C当x= 1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+ca <0,b <0,c>0x=- b/2a=-1D7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c
的图像如图，则下列a、b、
c间的关系判断正确的是( )
A.ab < 0 B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为 ( )
A.x > a/b B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b Da <0,b <0,c <0a <0,b <09.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的有( )
A.abc＞0 B. b2-4ac＞0
C.2a+b＞0 D.4a-2b+c＜0
DX= - b/2a<1
∴-b<2a
∴2a+b＞0 当x=-2时,
y=4a-2b+c＞0D10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( )
A.a＞0 B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数问题与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数问题紧密联系.11.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流落地点B离墙的距离OB是 ( )
A.2米 B.3米
C.4米 D.5米BO①抛物线顶点M（1,403)
与y轴交点A(0.10) ②求得抛物线解析式;③求出抛物线与x轴的交点;1、(青海省)如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；
(3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升2、已知：二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).
(1)求证：不论m为何值时，函数的图像与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点；
(2)当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；
(3)若函数图像的顶点在第四象限，求m的取值范围.
(2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时，抛物线的顶点在第四象限 3、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= ，CB=2 ,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标. OA= 3OC= 34、(杭州市)如图所示，在矩形ABCD中， BD=20,AD＞AB,设∠ABD=α,已知sinα是方程25x2-35x+12=0的一个实根，点E、F分别是BC，DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF的面积等于y;
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当E、F两点在什么位置时，
y有最小值?并求出这个最小值. ⑤当x=10时，即BE=10,CF=2时，
y有最小值为46 ①由方程的解及题设中AD＞AB,
得sinα= 4/5,求出AD=16.AB=12;分析:③ y= S矩形ABCD-S△AEB-S△CEF-S△ADF④②分别表示出各三角形的各边长;5、 (陕西省)如图所示的直角
坐标系中，以点A ( , 0 )为圆心，
以 为半径的圆与x轴交于B、C
两点，与y轴交于D、E两点.
(1)求D点的坐标；
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式；
(3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，且∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线顶点?说明理由. D的坐标为(0，-3) 抛物线的顶点在直线MN上. 6、如图，抛物线 与y轴交于点C，与直线
y=x相交与A、B两点，且AC∥x轴，OA=OB ； （1）求p、q的值；
（2）若长度为 线段DE在线段AB上移动 ，过点D作y轴的平行线，交抛物线于点F，点D的横坐标为t， △ DEF的面积为S，试把S表示
成t的函数，并求出自变量t的取
值范围和S的最大值；（ 1）作BD⊥y 轴于DD∵OA=OB ， ∠ AOC= ∠ BOD∵ AC∥x轴 ， x轴 ⊥y 轴 ∴ AC ⊥y 轴
又∵ BD⊥y 轴 ∴ ∠BDO= ∠ACO∴BD=AC，OD=CO∵C（0，q），AC ∥ x轴∴点A的纵坐标为q。∵A在直线y=x上∴A（q，q）∴B（- q，- q）由①、②，且q≠0∴△ACO≌ △BDOAC∥x轴， OA=OB解：也可利用对称性得！DH分析： 1、要求S，应以哪一条线段为底？哪一条线段为高线？3、如何表示出高线？2、如何表示出底边？（别忘了点D的横坐标为t！且DF∥y 轴）（ΔDEH为什么三角形？）解：∵DF ∥y 轴， D的横坐标为t∴F的横坐标也为t∴ HD=HE=1∵ A（q，q）即（-2，-2）∴AC=OC=2∴∠AOC=45o∵DF ∥y 轴 ∴ ∠HDE= ∠AOC=45o又∵DE=易得- 2≤t ≤1，t=0时，S最大=1单位21- 21.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函数的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结合图形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值范围等.
2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范围. 四、方法小结3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函数解析式，即已知任意三点坐标选用一般式；已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.
2.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、b、c的符号：
(1)a决定开口方向:
(2)a与b决定对称轴位置:
3. 抛物线与x轴交点个数的判定.
(1)b2-4ac＞0 2个交点.
(2)b2-4ac = 0 1个交点.
(3)b2-4ac＜0 0个.(3) c决定抛物线与y轴交点位置y=ax2+bx+c(a≠0)4.常用的二次函数解析式的求法：
(1)一般式：y=ax2+bx+c
(2)顶点式：y=a(x-m)2+n
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
5.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，最值为y= ,要善于利用图像的对称性,同时抓住抛物线的顶点、与x轴的交点，与y轴的交点这几个关键点来解决有关的问题。
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( )
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0二、典型例题分析A2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D. 第四象限D-1a <0,b >0,c >03.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大至为 ( )B4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c
的图像如图所示，则函数值
y＜0时，对应的x取值范围
是 .-3＜x＜1.-3-3１5、已知二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个A6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m
的图像总是过点 ( )
A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C当x= 1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+ca <0,b <0,c>0x=- b/2a=-1D7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c
的图像如图，则下列a、b、
c间的关系判断正确的是( )
A.ab < 0 B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为 ( )
A.x > a/b B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b Da <0,b <0,c <0a <0,b <09.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的有( )
A.abc＞0 B. b2-4ac＞0
C.2a+b＞0 D.4a-2b+c＜0
DX= - b/2a<1
∴-b<2a
∴2a+b＞0 当x=-2时,
y=4a-2b+c＞0D10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( )
A.a＞0 B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数问题与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数问题紧密联系.11.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流落地点B离墙的距离OB是 ( )
A.2米 B.3米
C.4米 D.5米BO①抛物线顶点M（1,403)
与y轴交点A(0.10) ②求得抛物线解析式;③求出抛物线与x轴的交点;1、(青海省)如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；
(3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升2、已知：二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).
(1)求证：不论m为何值时，函数的图像与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点；
(2)当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；
(3)若函数图像的顶点在第四象限，求m的取值范围.
(2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时，抛物线的顶点在第四象限 3、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= ，CB=2 ,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标. OA= 3OC= 34、(杭州市)如图所示，在矩形ABCD中， BD=20,AD＞AB,设∠ABD=α,已知sinα是方程25x2-35x+12=0的一个实根，点E、F分别是BC，DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF的面积等于y;
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当E、F两点在什么位置时，
y有最小值?并求出这个最小值. ⑤当x=10时，即BE=10,CF=2时，
y有最小值为46 ①由方程的解及题设中AD＞AB,
得sinα= 4/5,求出AD=16.AB=12;分析:③ y= S矩形ABCD-S△AEB-S△CEF-S△ADF④②分别表示出各三角形的各边长;5、 (陕西省)如图所示的直角
坐标系中，以点A ( , 0 )为圆心，
以 为半径的圆与x轴交于B、C
两点，与y轴交于D、E两点.
(1)求D点的坐标；
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式；
(3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，且∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线顶点?说明理由. D的坐标为(0，-3) 抛物线的顶点在直线MN上. 6、如图，抛物线 与y轴交于点C，与直线
y=x相交与A、B两点，且AC∥x轴，OA=OB ； （1）求p、q的值；
（2）若长度为 线段DE在线段AB上移动 ，过点D作y轴的平行线，交抛物线于点F，点D的横坐标为t， △ DEF的面积为S，试把S表示
成t的函数，并求出自变量t的取
值范围和S的最大值；（ 1）作BD⊥y 轴于DD∵OA=OB ， ∠ AOC= ∠ BOD∵ AC∥x轴 ， x轴 ⊥y 轴 ∴ AC ⊥y 轴
又∵ BD⊥y 轴 ∴ ∠BDO= ∠ACO∴BD=AC，OD=CO∵C（0，q），AC ∥ x轴∴点A的纵坐标为q。∵A在直线y=x上∴A（q，q）∴B（- q，- q）由①、②，且q≠0∴△ACO≌ △BDOAC∥x轴， OA=OB解：也可利用对称性得！DH分析： 1、要求S，应以哪一条线段为底？哪一条线段为高线？3、如何表示出高线？2、如何表示出底边？（别忘了点D的横坐标为t！且DF∥y 轴）（ΔDEH为什么三角形？）解：∵DF ∥y 轴， D的横坐标为t∴F的横坐标也为t∴ HD=HE=1∵ A（q，q）即（-2，-2）∴AC=OC=2∴∠AOC=45o∵DF ∥y 轴 ∴ ∠HDE= ∠AOC=45o又∵DE=易得- 2≤t ≤1，t=0时，S最大=1单位21- 21.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函数的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结合图形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值范围等.
2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范围. 四、方法小结3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函数解析式，即已知任意三点坐标选用一般式；已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.