8.1基本立体图形 同步练习（含解析）

《第一节　基本立体图形》同步练习
一、基础巩固
知识点1　多面体及其结构特征
1.下列关于棱柱的命题中,真命题的个数是(　　)
①同一棱柱的侧棱平行且相等;
②一个棱柱至少有5个面;
③当棱柱的底面是正多边形时,该棱柱一定是正棱柱;
④有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
2.(多选)下列说法中,正确的是(　　)
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
D.有一个面是多边形,其余各面是三角形的空间图形是棱锥
3.(多选)[2022重庆市江津中学开学考试]棱台具备的特点是(　　)
A.所有的侧面不存在两个面互相平行
B.侧面都是等腰梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后都交于一点
4.(多选)[2022山东省泰安第一中学高一下期中]下列说法正确的是(　　)
A.多面体至少有四个面
B.平行六面体六个面都是平行四边形
C.长方体、正方体都是正四棱柱
D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
5.已知集合M={x|x为正四棱柱},P={x|x为直平行六面体},N={x|x为长方体},Q={x|x为正方体},则这四个集合之间的关系是(　　)
A.P N M Q B.P M N Q
C.Q M N P D.Q N M P
6.(多选)用一个平面去截三棱锥,截面的形状可能是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
7.[2022江苏省江阴高级中学高一月考]试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点,连接后构成以下空间几何体,画图并用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.
知识点2　旋转体及其结构特征
8.(多选)下列关于圆柱的说法中,正确的是(　　)
A.圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个圆面
D.以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱
9.下列说法中正确的是(　　)
A.所有几何体的表面都能展开成平面图形
B.圆台的轴截面是等腰梯形
C.过圆锥顶点的截面中,轴截面面积最大
D.连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
10.(多选)[2022河北省保定市第二十八中学高一下月考]下列说法错误的是(　　)
A.圆锥的底面是圆面,侧面是曲面
B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C.一个物体上、下两个面是相同的圆面,那么它一定是一个圆柱
D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交
知识点3　组合体及其结构特征
11.(多选)[2022江苏徐州高一下学情调研]对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是(　　)
A.由一个长方体割去一个四棱柱构成
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C.由一个长方体挖去一个四棱台构成
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成
12.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括(　　)
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆柱、一个圆台
D.一个圆柱、两个圆锥
13.如图所示的阴影部分图形绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为(　　)
A.一个球
B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球挖去一个长方体
14.(多选)[2022山东泰安高一期中]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体,其中EF∥B1C1∥BC,则(　　)
A.几何体ABCD-A1EFD1是一个六面体
B.几何体ABCD-A1EFD1是一个四棱台
C.几何体AA1EB-DD1FC是一个四棱柱
D.几何体BB1E-CC1F是一个三棱柱
15.[2022山西太原高一下期中]下列平面图形中,通过围绕直线旋转可得到如图所示几何体的是(　　)
二、能力提升
1.[2022福建南安侨光中学高一期末]如图所示是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的(　　)
2.第24届冬奥会在中国北京举行.单板滑雪的U形场地可近似看为圆柱体的一部分(如图),若一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点,则滑行的最短距离约为(注:sin 53°≈,sin 37°≈)(　　)
A. m　 B. m
C. m D. m
3.(多选)[2022广东汕头林百欣中学高一下期中]如图,M,N分别为正方体中所在棱的中点,过M,N两点作正方体的截面,则截面的形状可能为(　　)
A.三角形　　　　B.四边形　　　　C.五边形 D.六边形
4.[2022陕西西安西北工业大学附属中学月考]碳60(C60)是一种非金属单质,它是由60个碳原子构成的分子,形似足球,又称为足球烯,其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体(如图),共32个面,且满足:顶点数-棱数+面数=2.则其六元环的个数为　　　　.
5.如图所示的是一个三棱台ABC-A1B1C1,
(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥,则这三个三棱锥分别可以是　　　　.
(2)如果把这个三棱台截成两个多面体,则这两个多面体可以是　　　　.
6.如图,有一个长方体形的容器,里面装有少量的水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜.
(1)在倾斜的过程中,水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗
(2)在倾斜的过程中,水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底面的一个顶点,上面的第(1)问和第(2)问对不对
参考答案
一、基础巩固
1.B　根据棱柱的结构特征,可知①②正确;棱柱的底面是正多边形,但侧棱与底面不垂直时,该棱柱就不是正棱柱,故③错误;若侧棱与底面两条平行的边垂直,此时有两个侧面均是矩形,但该棱柱不一定是直棱柱,故④错误.
2.AB　由棱锥的定义,知棱锥的各个侧面都是三角形,故A正确;四面体就是由四个三角形围成的几何体,因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面,故B正确;如图,三棱锥A-BCD中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定等于AD,即三条侧棱不一定全部相等,故C错误;棱锥的侧面都是有一个公共顶点的三角形,故D错误.
3.AD　根据棱台的定义“用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分多面体叫作棱台”,可知,棱台的侧面有一个公共点,且该公共点为侧棱延长线的交点,故A,D正确;当棱锥不是正棱锥时,所截得棱台的侧棱长不相等,侧面也不是等腰梯形,故B,C错误.
4.ABD　最简单的多面体是三棱锥,它有四个面,A正确;由平行六面体的定义知,平行六面体六个面都是平行四边形,B正确;长方体的共点的三条棱可以互不相等,而正四棱柱底面是正方形,即长方体不一定是正四棱柱,正方体是正四棱柱,C错误;正棱锥的侧棱相等,底面是正多边形,故其侧面是全等的等腰三角形,即D正确.故选ABD.
5.C　直平行六面体是底面为平行四边形,侧棱与底面垂直的四棱柱;长方体是底面为矩形的直平行六面体;正四棱柱是底面为正方形的直平行六面体;正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱.分析可知Q M N P.
6.AB　按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.截面的形状不可能是五边形或六边形,C,D错误.故选AB.
7. 解析(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(或三棱锥A-A1BD、三棱锥B-AB1C、三棱锥C-BDC1、三棱锥D-ACD1、三棱锥B1-A1BC1、三棱锥C1-B1CD1、三棱锥D1-A1C1D,答案不唯一).
(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(或三棱锥A1-BDC1等,答案不唯一).
8.BD　圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可能相等,A错误;用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面不是圆面,如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱,截面是矩形,C错误.故选BD.
9.B　对于A,球体的表面不能展开成平面图形,所以A错误;对于B,圆台的上下底面是平行且不相等的圆,且母线等长,所以其轴截面是等腰梯形,所以B正确;对于C,当圆锥的轴截面的顶角为钝角时,过圆锥顶点的截面中,轴截面面积不是最大的,所以C错误;对于D,圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线,所以D错误.故选B.
10.BCD　对于A,由圆锥的性质知,圆锥的底面为圆面,侧面为曲面,A说法正确;对于B,一张扇形的纸片只能卷出圆锥的侧面,不包含底面,B说法错误;对于C,若两个相同的圆面不平行,则该几何体不是圆柱,C说法错误;对于D,圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥所得,则任意两条母线的延长线必然相交于一点,D说法错误.故选BCD.
11.AB　如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选AB.
12.D　从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形,一个矩形,所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱,两个圆锥所组成的几何体(如图所示).
13.B　圆面绕旋转轴旋转一周,形成球,矩形绕旋转轴旋转一周,形成圆柱,故选B.
14.ACD　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,EF∥B1C1∥BC,EB1∥FC1,故四边形EB1C1F为平行四边形,所以EF=B1C1.因为几何体ABCD-A1EFD1有六个面,所以几何体ABCD-A1EFD1是一个六面体,故A正确;因为AA1∥DD1,所以侧棱的延长线不能交于一点,故几何体ABCD-A1EFD1不是四棱台,故B错误;因为几何体AA1EB-DD1FC的侧棱平行且相等,四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形,所以几何体AA1EB-DD1FC为四棱柱,同理几何体BB1E-CC1F是一个三棱柱,故C,D正确.
15.C　A选项得到的几何体是上面一个圆锥,下面一个圆台,不符合题意;B选项得到的几何体是上下两个圆锥,中间一个圆柱,不符合题意;C选项得到的几何体是上面一个圆柱,下面一个圆锥,符合题意;D选项得到的几何体是两个圆锥,不符合题意.故选C.
二、能力提升
1.A　由原正方体的特征可知,含有数字4,6,8的三个面一定相交于一点,而选项B,C,D中,经过折叠后与含有数字4,6,8的三个面一定相交于一点不符.故选A.
2.A　设圆柱的底面半径为r m,U形场地截面图如图1所示,设圆心为O,过点O作OC⊥AD于点C,则在Rt△ACO中,(r-4)2+()2=r2,解得r=10,所以sin∠AOC=,所以∠AOC≈53°,所以∠AOD≈106°,所以弧AD的长约为×2π×10=π(m).U形场地的展开图如图2所示,连接AB,则从顶端A点滑行到另一顶端B点的最短距离约为 m,故选A.
3.BD　由正方体的对称性,可知截面的形状不可能为三角形和五边形,如图,截面的形状只可能为四边形和六边形.
4.20　解析根据题意,碳60(C60)有60个顶点,有32个面.由顶点数-棱数+面数=2,可得棱数=60+32-2=90.设正五边形有x个,正六边形有y个,则解得所以其六元环的个数为20.
5.(1)三棱锥A1-ABC、三棱锥A1-BB1C1、三棱锥A1-BCC1(答案不唯一);(2)两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥等,答案不唯一)　
解析(1)如图①所示,所截成的三个三棱锥分别是三棱锥A1-ABC、三棱锥A1-BB1C1、三棱锥A1-BCC1.
(2)用平行于三棱台的底面的平面去截,可以得到两个三棱台;也可以截成一个三棱柱和一个五面体,如图②所示;也可以截成一个三棱锥和一个四棱锥,如图③所示.
6.解析(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(长方体形容器倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,该截面的形状一定是矩形.
(2)不对.水的形状就是用与棱(长方体形容器倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余几何体的形状,剩余几何体一定是棱柱,不可能是棱台或棱锥.
(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形、四边形、五边形或六边形,因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形或六边形,水的形状可能是棱锥,也可能是棱柱,还可能是棱台.故(1)对,(2)也对.