3.1.2 椭圆的简单几何性质（一）同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质（一）同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-14 08:34:58 | ||
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文档简介
《第一节 椭圆》同步练习
（课时2 椭圆的简单几何性质（一））
知识点1 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.[2022广东广州奥林匹克中学高二上期中]椭圆3x2+y2=1的长轴长为( )
A. B.2 C.2 D.
2.[2022江西南昌4校高二上期中]曲线=1与曲线=k(k>0)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P7,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=( )
A.35 B.30 C.25 D.20
4.[2022陕西西安高中高二上期中]已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,2] C.(0,2] D.[2,+∞)
5.[2022浙江宁波市北仑中学高二上期中]若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴两端点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.则下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
6.[2022福建泉州五中高二上期中]已知椭圆C的中心为点O,一个焦点为F,点A在C上,若△AOF是正三角形,则C的离心率为( )
A. B. C. D.-1
7.[2022 江苏省泗阳中学高二上质量调研]明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图1、图2、图3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为,,,则图 对应的椭圆盘最扁.(填序号)
知识点2 由椭圆的简单几何性质求标准方程
8.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )
A. B.2 C. D.4
9.[2022人大附中深圳学校高二上期中]焦点在x轴上,右焦点到短轴端点距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.+y2=1
C.+y2=1 D.x2+=1
10.[2022江苏扬州江都区高二上期中]已知椭圆=1的离心率为,则k=( )
A.-4 B.4
C.-4或- D.4或-
11.[2021福建福州八县(市)高二上期中]阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,椭圆C的面积为2π,且离心率为,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.=1
12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-,0),且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为3,则椭圆C的方程为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.=1 D.=1
13.若椭圆=1(a>b>0)的焦点在x轴上,过点P(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是 .
14.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴在x轴上,长轴长等于12,离心率等于;
(2)椭圆过点(3,0),离心率e=;
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直,且焦距为8;
(4)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2.
参考答案
1.C 由题知3x2+y2=1,即+y2=1,所以a=1,长轴长为2a=2.故选C.
2.D 由题知椭圆=1的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2,离心率e1==k(k>0)可化为=1(k>0),可知该椭圆的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2,离心率e2=,所以离心率相等.
3.A 设椭圆的右焦点为F',由椭圆的对称性,知|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,所以|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=(|P7F|+|P7F'|)+
(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.
4.B 因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以-1≤m≤1,≤n≤,且m2+=1,则n2=2-2m2,则m2+n2=2-m2,因为-1≤m≤1,所以0≤m2≤1,即1≤2-m2≤2,即m2+n2∈[1,2].故选B.
5.A
A √ c2=8-4=4=b2,即b=c,是“对偶椭圆”.
B c2=5-3=2≠b2,即b≠c,不是“对偶椭圆”.
C c2=6-2=4≠b2,即b≠c,不是“对偶椭圆”.
D c2=9-6=3≠b2,即b≠c,不是“对偶椭圆”.
6.D 不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),c为半焦距,F为右焦点.因为△AOF是正三角形,不妨设F(c,0),所以A(,c),故=1,即=1,整理得到e4-8e2+4=0,故e=1,故选D.
7. 1 解析 因为椭圆的离心率e=====,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大.又>>,设题图1、图2、图3中椭圆的离心率分别为e1,e2,e3,则e1>e3>e2.故题图1中对应的椭圆盘最扁.
8.C 因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,所以=2,得m=,故选C.
9.A 由题意知a=2,a+c=3,即c=1,所以b==.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程是=1.故选A.
10.C 因为e2===1=,所以=.若椭圆的焦点在x轴上,则==,解得k=-4;若椭圆的焦点在y轴上,则==,解得k=.综上,k=-4或.
11.A 设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),易得,解得,因此椭圆C的标准方程为=1.故选A.
12.C 因为椭圆C的左焦点为F(,0),所以c=.椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为3,即×2a×b=ab=3 ①.又a2=b2+c2,即a2=b2+3 ②,由①②可得a=,b=,故椭圆C的方程为=1.故选C.
13.=1 解析 因为直线x=1是圆x2+y2=1的一条切线,所以椭圆的右焦点为(1,0),即c=1.设O(0,0),则kOP=,因为OP⊥AB,所以kAB=-2,则直线AB的方程为y=-2(x-1),所以直线AB与y轴的交点为(0,2),所以b=2,所以a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为=1.
14. 解析 (1)由题意,可知2a=12,e==,
得a=6,c=4,从而b2=a2-c2=20.
又长轴在x轴上,
故所求椭圆的标准方程为=1.
(2)若焦点在x轴上,则a=3,
由e==,得c=,所以b2=a2-c2=3,
此时椭圆的标准方程为=1.
若焦点在y轴上,则b=3,
由e====,得a2=27,
此时椭圆的标准方程为=1.
故椭圆的标准方程为=1或=1.
(3)分析知c=b=4,a2=b2+c2=32,故椭圆的标准方程为=1.
(4)椭圆9x2+4y2=36可化为=1,
可知焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±),
故可设所求椭圆的方程为=1(a>b>0),则c=.
又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,
则所求椭圆的标准方程为x2+=1.
（课时2 椭圆的简单几何性质（一））
知识点1 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.[2022广东广州奥林匹克中学高二上期中]椭圆3x2+y2=1的长轴长为( )
A. B.2 C.2 D.
2.[2022江西南昌4校高二上期中]曲线=1与曲线=k(k>0)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P7,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=( )
A.35 B.30 C.25 D.20
4.[2022陕西西安高中高二上期中]已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,2] C.(0,2] D.[2,+∞)
5.[2022浙江宁波市北仑中学高二上期中]若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴两端点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.则下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
6.[2022福建泉州五中高二上期中]已知椭圆C的中心为点O,一个焦点为F,点A在C上,若△AOF是正三角形,则C的离心率为( )
A. B. C. D.-1
7.[2022 江苏省泗阳中学高二上质量调研]明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图1、图2、图3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为,,,则图 对应的椭圆盘最扁.(填序号)
知识点2 由椭圆的简单几何性质求标准方程
8.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )
A. B.2 C. D.4
9.[2022人大附中深圳学校高二上期中]焦点在x轴上,右焦点到短轴端点距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.+y2=1
C.+y2=1 D.x2+=1
10.[2022江苏扬州江都区高二上期中]已知椭圆=1的离心率为,则k=( )
A.-4 B.4
C.-4或- D.4或-
11.[2021福建福州八县(市)高二上期中]阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,椭圆C的面积为2π,且离心率为,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.=1
12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-,0),且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为3,则椭圆C的方程为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.=1 D.=1
13.若椭圆=1(a>b>0)的焦点在x轴上,过点P(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是 .
14.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴在x轴上,长轴长等于12,离心率等于;
(2)椭圆过点(3,0),离心率e=;
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直,且焦距为8;
(4)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2.
参考答案
1.C 由题知3x2+y2=1,即+y2=1,所以a=1,长轴长为2a=2.故选C.
2.D 由题知椭圆=1的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2,离心率e1==k(k>0)可化为=1(k>0),可知该椭圆的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2,离心率e2=,所以离心率相等.
3.A 设椭圆的右焦点为F',由椭圆的对称性,知|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,所以|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=(|P7F|+|P7F'|)+
(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.
4.B 因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以-1≤m≤1,≤n≤,且m2+=1,则n2=2-2m2,则m2+n2=2-m2,因为-1≤m≤1,所以0≤m2≤1,即1≤2-m2≤2,即m2+n2∈[1,2].故选B.
5.A
A √ c2=8-4=4=b2,即b=c,是“对偶椭圆”.
B c2=5-3=2≠b2,即b≠c,不是“对偶椭圆”.
C c2=6-2=4≠b2,即b≠c,不是“对偶椭圆”.
D c2=9-6=3≠b2,即b≠c,不是“对偶椭圆”.
6.D 不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),c为半焦距,F为右焦点.因为△AOF是正三角形,不妨设F(c,0),所以A(,c),故=1,即=1,整理得到e4-8e2+4=0,故e=1,故选D.
7. 1 解析 因为椭圆的离心率e=====,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大.又>>,设题图1、图2、图3中椭圆的离心率分别为e1,e2,e3,则e1>e3>e2.故题图1中对应的椭圆盘最扁.
8.C 因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,所以=2,得m=,故选C.
9.A 由题意知a=2,a+c=3,即c=1,所以b==.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程是=1.故选A.
10.C 因为e2===1=,所以=.若椭圆的焦点在x轴上,则==,解得k=-4;若椭圆的焦点在y轴上,则==,解得k=.综上,k=-4或.
11.A 设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),易得,解得,因此椭圆C的标准方程为=1.故选A.
12.C 因为椭圆C的左焦点为F(,0),所以c=.椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为3,即×2a×b=ab=3 ①.又a2=b2+c2,即a2=b2+3 ②,由①②可得a=,b=,故椭圆C的方程为=1.故选C.
13.=1 解析 因为直线x=1是圆x2+y2=1的一条切线,所以椭圆的右焦点为(1,0),即c=1.设O(0,0),则kOP=,因为OP⊥AB,所以kAB=-2,则直线AB的方程为y=-2(x-1),所以直线AB与y轴的交点为(0,2),所以b=2,所以a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为=1.
14. 解析 (1)由题意,可知2a=12,e==,
得a=6,c=4,从而b2=a2-c2=20.
又长轴在x轴上,
故所求椭圆的标准方程为=1.
(2)若焦点在x轴上,则a=3,
由e==,得c=,所以b2=a2-c2=3,
此时椭圆的标准方程为=1.
若焦点在y轴上,则b=3,
由e====,得a2=27,
此时椭圆的标准方程为=1.
故椭圆的标准方程为=1或=1.
(3)分析知c=b=4,a2=b2+c2=32,故椭圆的标准方程为=1.
(4)椭圆9x2+4y2=36可化为=1,
可知焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±),
故可设所求椭圆的方程为=1(a>b>0),则c=.
又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,
则所求椭圆的标准方程为x2+=1.