3.1.2 椭圆的简单几何性质（二）同步练习（含解析）

《第一节　椭圆》同步练习
（课时2　椭圆的简单几何性质（二））
知识点1 求椭圆的离心率的值或取值范围
1.过椭圆的右焦点F2作椭圆长轴的垂线,交椭圆于A,B两点,F1为椭圆的左焦点,若△F1AB为正三角形,则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2.[2022安徽安庆二中高二上期中]若椭圆C:=1(a>b>0)满足b2=ac,则该椭圆的离心率e=(　　)
A. B. C. D.
3.[2022河北九师联盟高二上期中]设P是椭圆C:=1(a>)上任意一点,F为C的焦点,|PF|的最小值为,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4.[2022北京八十中高二上期中]椭圆=1(a>b>0)上存在一点P满足F1P⊥F2P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(0,] B.(0,] C.[,1) D.[,1)
5.[2021山西太原高二上期末]从椭圆=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的左焦点F1,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点.若OP∥AB(O为坐标原点),则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点M在椭圆C上,若=,则该椭圆的离心率不可能是(　　)
A. B. C. D.
知识点2 直线与椭圆的位置关系
7.[2022 安徽安庆一中高二上期中]直线y=x+1与椭圆=1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
8.若直线y=kx+2与椭圆=1相切,则直线的斜率k=(　　)
A. B.- C.± D.±
9.已知直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆=1(b>0)总有公共点,则实数b的取值范围是(　　)
A.(1,2) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[1,2)
10.已知P(4,-5)是椭圆=1(a>3)外一点,经过点P的光线被y轴反射后,所有反射光线所在的直线中只有一条与椭圆相切,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
11.[2022四川宜宾三中高二上期中]已知椭圆C:=1,过点(3,0)的直线l与C交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为1,则直线l的斜率为(　　)
A.± B.± C.± D.±1
12.(多选)设椭圆的方程为=1,斜率为k的直线l不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则(　　)
A.kAB·kOM=-1
B.若M(1,1),则直线l的方程为2x+y-3=0
C.若直线l的方程为y=x+1,则M(,)
D.若直线l的方程为y=x+2,则|AB|=
13.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,求|PQ|的最大值.
14.[2022广东佛山九江中学高二上月考]已知A(-2,0),B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设以P0(-2,1)为中点的弦所在的直线为l,求直线l的方程.
知识点3 椭圆的实际应用
15.(多选)[2022广东番禺中学高二上期中]中国的嫦娥四号探测器,是世界首个实现月球背面软着陆和巡视勘察的探测器.如图所示,现假设嫦娥四号沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是(　　)
A.a1+c1=a2+c 2 B.a1-c1=a2-c2 C.< D.>
16.某海面上有A,B两个观测点,点B在点A正东方向4 n mile处.经多年观察研究,发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A,B为焦点的椭圆C.现有渔船发现该鱼群在与点A,点B间的距离之和为8 n mile 处.在点A,B,P所在的平面内,以AB所在的直线为x轴,正东方向为x轴正方向,线段AB的垂直平分线为y轴,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆C的方程;
(2)某日,研究人员在A,B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中,信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计),A,B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5∶3,试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标).
参考答案
1.A　如图所示,易知|AF1|=2|AF2|,|F1F2|=2c=|AF2|,由椭圆的定义可得2a=|AF1|+|AF2|=3|AF2|,则该椭圆的离心率e===.
2.B　由题意知b2=ac,又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac,e2+e-1=0,所以e=.
3.A　由题意可得a-c=,b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=(a+c)=6,所以a+c=3,所以a=2,c=,所以离心率e==.故选A.
4.D　当点P位于短轴的端点时,∠F1PF2最大.要使椭圆=1(a>b>0)上存在一点P满足F1P⊥F2P,只要点P位于短轴的端点时,∠OPF1≥,所以sin∠OPF1=≥sin=.又椭圆的离心率05.C　依题意,设P(-c,y0)(y0>0),则=1,所以y0=,所以P(-c,).又A(a,0),B(0,b),AB∥OP,所以kAB=kOP,即=,可得b=c.设该椭圆的离心率为e,则e2====,所以该椭圆的离心率e=.
6. A　设|MF1|=x.因为点M在椭圆C上,所以|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF2|=2a-x.因为=,所以=,解得x=.由题意可知a-c≤x≤a+c,即a-c≤≤a+c.由≤a+c,可得2ac≤(a+c)2,即a2+c2≥0,显然成立.由a-c≤,可得a2-c2≤2ac,则1-e2≤2e.又07. A　方法一　因为直线y=x+1过点(0,1),所以将(0,1)代入=1,得0+<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
方法二　由,整理得9x2+10x-15=0,因为Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.故选A.
8.C　由题意知直线y=kx+2与椭圆=1有且只有一个交点.由,消去y并整理,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,所以Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±.
9.D　由题意,知直线y=kx+1(k∈R)恒过定点M(0,1),要使直线y=kx+1与椭圆=1(b>0)总有公共点,则只需点M(0,1)在椭圆上或椭圆内,则b≥1.又b2<4,所以1≤b<2.
10.B　由题意知反射光线过点(-4,-5),且反射光线所在直线的斜率必存在,设反射光线所在直线的方程为y=k(x+4)-5,代入椭圆方程整理得(9+a2k2)x2+(8a2k2-10a2k)x+16a2k2-40a2k+16a2=0.因为Δ=0,所以(16-a2)k2-40k+16=0,当16-a2=0,即a=4时,此方程有唯一解,所以c=,则离心率为;当16-a2≠0时,则(-40)2-4(16-a2)×16=64(9+a2)>0,所以此方程有两个不同的解,不满足题意,故舍去,故选B.
11. B　设直线l:y=k(x-3),由,得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,又AB中点的横坐标为1,所以==1,解得k=±,即直线l的斜率为±.故选B.
12. BD　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则,两式相减,得=0,即·=-2,即kAB·kOM=-2.对于A,kAB·kOM=-2≠-1,所以A不正确;对于B,由kAB·kOM=-2,M(1,1),得kAB=-2,所以直线l的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,所以B正确;对于C,若直线l的方程为y=x+1,M(,),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以C不正确;对于D,由,得3x2+4x=0,解得x=0或x=,所以|AB|=×|0|=,所以D正确.故选BD.
13. 解析 (1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0).
由题意得,解得c=1,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y=x+t.
由,得7x2+8tx+4(t2-3)=0,
由Δ=(8t)2-112(t2-3)>0,得0≤t2<7,
则x1+x2=t,x1x2=,
所以|PQ|=|x1-x2|
=·
=·
=·,
又0≤t2<7,所以当t=0时,可得|PQ|的最大值为.
14. 解析 1)设点M(x,y),又A(-2,0),B(2,0),则kAM=(x≠-2),kBM=
(x≠2),
所以=(x≠±2),
整理得C的方程为=1(x≠±2).
(2)设直线l与曲线C交于P(x1,y1),Q(x2,y2),
则,两式相减得=0,
即=0,
所以直线l的斜率k==.
因为点P0(-2,1)是线段PQ的中点,所以x1+x2=-4,y1+y2=2,所以k=1.
所以直线l的方程为y-1=x+2,即y=x+3.
15. BD　依题意及题图,可得a1>a2,c1>c2,即a1+c1>a2+c2,故A错误;在椭圆轨道Ⅰ中,|PF|=a1-c1,在椭圆轨道Ⅱ中,|PF|=a2-c2,则有a1-c1=a2-c2,故B正确;由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1,则(a1+c2)2=(a2+c1)2,+2a1c2=+2a2c1,即+2a1c2=+2a2c1,又=,=,其中b1,b2分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长,并且有b1>b2,于是有+2a1c2=+2a2c1,即2a2c1-2a1c2=>0,2a1c2<2a2c1,则<,故C错误,D正确.故选BD.
16. 解析 (1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0).
因为2a=8,2c=4,
所以a=4,c=2,b==2,
于是椭圆C的方程为=1.
(2)易知A(-2,0),B(2,0).
因为|PA|∶|PB|=5∶3,|PA|+|PB|=8,
所以|PA|=5,|PB|=3.
设P(x,y),则,解得,
所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3).