3.2.2 双曲线的简单几何性质（一）同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.2 双曲线的简单几何性质（一）同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 28.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-14 08:36:31 | ||
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文档简介
《第二节 双曲线》同步练习
（课时2 双曲线的简单几何性质（一））
知识点1 由双曲线的标准方程探究其几何性质
1.[2022江苏常州六校高二上期中联考]双曲线=-1的渐近线方程是( )
A.=0 B.=0
C.=0 D.=0
2.(多选)[2022江西南昌高二期中]已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则其( )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
3.(多选)方程-y2=1和-y2=λ(λ>0且λ≠1)所表示的双曲线有相同的( )
A.顶点 B.焦点 C.离心率 D.渐近线
4.[2022四川成都七中高三上模考]已知F1,F2为双曲线C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
5.[2022四川成都树德中学高二上段考]双曲线x2-=1上一点P到M(3,0)的距离的最小值为 .
知识点2 由双曲线的简单几何性质求其标准方程
6.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
7.[2022山西怀仁高二上期中]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为8,一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
8.[2022重庆一中高二上期中]过点P(4,6)且与双曲线x2-=1有相同渐近线的双曲线的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
9.已知双曲线C的离心率e=,虚轴长为2,则其标准方程为( )
A.=1 B.=1或=1
C.=1 D.=1或=1
10.[2022山西晋城一中高二上期中]已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线均与圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
11.已知直线l为双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,其倾斜角为,且双曲线C的右焦点为(2,0),则双曲线C的右顶点为 ,标准方程为 .
12.[2021山西临汾一中高二期末]设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,其中|F1F2|=|A1A2|.若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的离心率为 ,标准方程为 .
13.[2022江苏盐城滨海县八中高二期末]在①左顶点为(-3,0),②渐近线方程为y=±x,③离心率e=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知双曲线与椭圆=1共焦点,且 ,求双曲线的标准方程.
参考答案
1.C 方法一 因为双曲线的标准方程为=1,所以a=4,b=3,则其渐近线方程为y=±x=±x,即=0,故选C.
方法二 双曲线的标准方程为=1,令=0,得=0,故选C.
2.ABD 由题意知双曲线的标准方程为=1,所以a=4,b=2,所以c=6,即双曲线的实轴长为8,虚轴长为4,焦距为12,离心率为.故选ABD.
3.CD 对于双曲线y2=1,a=2,b=1,c=;对于双曲线y2=λ,a'=2,b'=,c'=
,显然a',b',c'分别是a,b,c的倍,因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线.
4.18 解析 由双曲线的对称性和|PQ|=|F1F2|,可知四边形PF1QF2为矩形,所以,解得|PF1|·|PF2|=18,所以四边形PF1QF2的面积为18.
5.2 解析 设P(x0,y0),则=1,即=33,所以|PM|===.又|x0|≥1,则当x0=1时,|PM|取最小值,为2.
6.A 由题意可知双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),所以c=4.又双曲线为等轴双曲线,所以a=b,即a2=b2=c2=×16=8,故等轴双曲线的方程是x2-y2=8,故选A.
7.D 因为实轴长为8,所以a=4,渐近线方程为y=±x=±x=±x,所以b=3,则双曲线的标准方程为=1,故选D.
8.B 方法一 设所求双曲线的方程为x2=m(m≠0),将点P(4,6)代入方程,得m=-2,所以所求双曲线的标准方程为=1.
方法二 由题知所求双曲线的焦点在y轴上,可设其方程为=1(a>0,b>0).因为=,所以a=b.将点(4,6)代入方程,得=1,解得b2=2,a2=4,故所求方程为=1.故选B.
9.D 设双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为a,b,半焦距为c,则,解得,所以当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为=1;当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为=1.故选D.
10.C 因为圆C的圆心为C(3,0),半径为2,且双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,所以,解得,所以双曲线的方程为=1.
11.(,0) =1 解析 由题意可得c=2,即a2+b2=4.因为双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan=1,所以a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),标准方程为=1.
12. =1 解析 由|F1F2|=|A1A2|,可知2c=×2a,所以c=a ①,故离心率e=.由题意知点A2(a,0)到渐近线y=x的距离为=,即a2b2=2(a2+b2) ②.又c2=a2+b2 ③,所以由①②③可知a2=3,b2=6.故所求双曲线的标准方程为=1.
13. 解析 方案一 选择条件①.
因为双曲线与椭圆=1共焦点,
所以双曲线的焦点在x轴上,且c==5.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
由左顶点为(-3,0),得a=3,
所以b2=c2-a2=25-9=16,
所以所求双曲线的标准方程为=1.
方案二 选择条件②.
因为双曲线与椭圆=1共焦点,
所以双曲线的焦点在x轴上,且c==5.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,所以b=a,所以a2+a2=25,即a2=9,所以b2=16,
所以所求双曲线的标准方程为=1.
方案三 选择条件③.
因为双曲线与椭圆=1共焦点,
所以双曲线的焦点在x轴上,且c==5.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
由离心率e=,得=,所以a=3,所以b2=16,
所以所求双曲线的标准方程为=1.
（课时2 双曲线的简单几何性质（一））
知识点1 由双曲线的标准方程探究其几何性质
1.[2022江苏常州六校高二上期中联考]双曲线=-1的渐近线方程是( )
A.=0 B.=0
C.=0 D.=0
2.(多选)[2022江西南昌高二期中]已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则其( )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
3.(多选)方程-y2=1和-y2=λ(λ>0且λ≠1)所表示的双曲线有相同的( )
A.顶点 B.焦点 C.离心率 D.渐近线
4.[2022四川成都七中高三上模考]已知F1,F2为双曲线C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
5.[2022四川成都树德中学高二上段考]双曲线x2-=1上一点P到M(3,0)的距离的最小值为 .
知识点2 由双曲线的简单几何性质求其标准方程
6.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
7.[2022山西怀仁高二上期中]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为8,一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
8.[2022重庆一中高二上期中]过点P(4,6)且与双曲线x2-=1有相同渐近线的双曲线的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
9.已知双曲线C的离心率e=,虚轴长为2,则其标准方程为( )
A.=1 B.=1或=1
C.=1 D.=1或=1
10.[2022山西晋城一中高二上期中]已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线均与圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
11.已知直线l为双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,其倾斜角为,且双曲线C的右焦点为(2,0),则双曲线C的右顶点为 ,标准方程为 .
12.[2021山西临汾一中高二期末]设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,其中|F1F2|=|A1A2|.若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的离心率为 ,标准方程为 .
13.[2022江苏盐城滨海县八中高二期末]在①左顶点为(-3,0),②渐近线方程为y=±x,③离心率e=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知双曲线与椭圆=1共焦点,且 ,求双曲线的标准方程.
参考答案
1.C 方法一 因为双曲线的标准方程为=1,所以a=4,b=3,则其渐近线方程为y=±x=±x,即=0,故选C.
方法二 双曲线的标准方程为=1,令=0,得=0,故选C.
2.ABD 由题意知双曲线的标准方程为=1,所以a=4,b=2,所以c=6,即双曲线的实轴长为8,虚轴长为4,焦距为12,离心率为.故选ABD.
3.CD 对于双曲线y2=1,a=2,b=1,c=;对于双曲线y2=λ,a'=2,b'=,c'=
,显然a',b',c'分别是a,b,c的倍,因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线.
4.18 解析 由双曲线的对称性和|PQ|=|F1F2|,可知四边形PF1QF2为矩形,所以,解得|PF1|·|PF2|=18,所以四边形PF1QF2的面积为18.
5.2 解析 设P(x0,y0),则=1,即=33,所以|PM|===.又|x0|≥1,则当x0=1时,|PM|取最小值,为2.
6.A 由题意可知双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),所以c=4.又双曲线为等轴双曲线,所以a=b,即a2=b2=c2=×16=8,故等轴双曲线的方程是x2-y2=8,故选A.
7.D 因为实轴长为8,所以a=4,渐近线方程为y=±x=±x=±x,所以b=3,则双曲线的标准方程为=1,故选D.
8.B 方法一 设所求双曲线的方程为x2=m(m≠0),将点P(4,6)代入方程,得m=-2,所以所求双曲线的标准方程为=1.
方法二 由题知所求双曲线的焦点在y轴上,可设其方程为=1(a>0,b>0).因为=,所以a=b.将点(4,6)代入方程,得=1,解得b2=2,a2=4,故所求方程为=1.故选B.
9.D 设双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为a,b,半焦距为c,则,解得,所以当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为=1;当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为=1.故选D.
10.C 因为圆C的圆心为C(3,0),半径为2,且双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,所以,解得,所以双曲线的方程为=1.
11.(,0) =1 解析 由题意可得c=2,即a2+b2=4.因为双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan=1,所以a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),标准方程为=1.
12. =1 解析 由|F1F2|=|A1A2|,可知2c=×2a,所以c=a ①,故离心率e=.由题意知点A2(a,0)到渐近线y=x的距离为=,即a2b2=2(a2+b2) ②.又c2=a2+b2 ③,所以由①②③可知a2=3,b2=6.故所求双曲线的标准方程为=1.
13. 解析 方案一 选择条件①.
因为双曲线与椭圆=1共焦点,
所以双曲线的焦点在x轴上,且c==5.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
由左顶点为(-3,0),得a=3,
所以b2=c2-a2=25-9=16,
所以所求双曲线的标准方程为=1.
方案二 选择条件②.
因为双曲线与椭圆=1共焦点,
所以双曲线的焦点在x轴上,且c==5.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,所以b=a,所以a2+a2=25,即a2=9,所以b2=16,
所以所求双曲线的标准方程为=1.
方案三 选择条件③.
因为双曲线与椭圆=1共焦点,
所以双曲线的焦点在x轴上,且c==5.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
由离心率e=,得=,所以a=3,所以b2=16,
所以所求双曲线的标准方程为=1.