3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含解析）

《第二节　双曲线》同步练习
（课时1　双曲线及其标准方程）
知识点1　双曲线的定义
1.已知F1,F2为平面内两个定点,P为动点,若|PF1|-|PF2|=a(a为大于零的常数),则动点P的轨迹为(　　)
A.双曲线 B.射线 C.线段 D.双曲线的一支或射线
2.已知动点P(x,y)满足=2,则动点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的左支 D.双曲线的右支
3.[2022河北衡水市冀州区第一中学高二上期中]已知A(0,-2),B(0,2),C(3,2),动点P满足|PA|+|AC|=|PB|+|BC|,则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线 C.射线 D.双曲线的一支
知识点2 对双曲线标准方程的理解
4.[2022重庆九校联盟高二上联考]若点P是双曲线C:=1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则“|PF1|=6”是“|PF2|=12”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若两实数A,B异号,则方程Ax2-Ay2=B表示的曲线是(　　)
A.圆,且圆心在x轴上
B.椭圆,且焦点在y轴上
C.双曲线,且焦点在x轴上
D.双曲线,且焦点在y轴上
6.[2022河北衡水十四中高二上调考]若椭圆=1与双曲线-y2=1的焦点相同,则m=(　　)
A.±3 B.4 C.6 D.9
7.[2022河南商丘部分学校高二上大联考]若方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2) B.(0,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
知识点3 求双曲线的标准方程
8.[2022北京工业大学附属中学高二上期中]已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),P是双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=4,则双曲线的标准方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
9.[2022河北邯郸高二上月考]与椭圆C:=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1 B.y2-2x2=1
C.=1 D.-x2=1
10.已知双曲线过点P1(-2,)和P2(,4),则双曲线的标准方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
11.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是(　　)
A.x2+=1 B.x2-=1
C.+y2=1 D.-y2=1
12.动圆M与圆C1:(x+3)2+y2=9外切,与圆C2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　.
13.根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)半焦距为,经过点(-5,2),且焦点在x轴上;
(2)与双曲线=1有公共焦点,且过点(3,2).
知识点4 双曲线的焦点三角形
14.[2022江西贵溪一中高二上月考]设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长为(　　)
A.22 B.16 C.14 D.12
15.[2022河南驻马店新蔡一高高二月考]在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线=1上,则=(　　)
A. B.± C.± D.-
16.[2022安徽芜湖高二下期中联考]已知双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.1 B. C. D.
17.[2021黑龙江哈九中高二上期末]设F1,F2分别为双曲线=1的左、右焦点,点P为双曲线上的一点,若∠F1PF2=120°,则点P到x轴的距离为(　　)
A. B. C. D.
参考答案
1.D　两个定点的距离为|F1F2|,当a<|F1F2|,即|PF1|-|PF2|<|F1F2|时,点P的轨迹为双曲线的一支;当a=|F1F2|,即|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,点P的轨迹为射线;不存在|PF1|-|PF2|>|F1F2|的情况.综上所述,动点P的轨迹为双曲线的一支或射线.故选D.
2.D　=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2,2<|F1F2|=4,由双曲线的定义,知动点P的轨迹是双曲线的右支.
3.D　由|PA|+|AC|=|PB|+|BC|,得|PB|-|PA|=|AC|-|BC|,又|AC|==5,|BC|=3,
|AB|=4,所以|PB|-|PA|=5-3=2<|AB|.由双曲线的定义,可知点P的轨迹为双曲线的一支.故选D.
4.A　由题意可知,a=3,c==5.若|PF1|=6,则||PF2|-6|=6,解得|PF2|=12或0(舍去),即充分性成立;若|PF2|=12,则|12-|PF1||=6,解得|PF1|=6或18,即必要性不成立.故“|PF1|=6”是“|PF2|=12”的充分不必要条件.
5.D　因为A,B异号,所以<0,>0.方程Ax2-Ay2=B变形为x2y2=1,进而变形为=1,此方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.
6.D　由题知双曲线的焦点坐标为(±4,0).由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以m=25-16=9.故选D.
7.A　方程=1可化为=1,因为该方程表示双曲线,所以m(m-2)<0,解得08.C　设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,则由题意可知c=3,2a=4,即a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为=1,故选C.
9.C　方法一　椭圆C的焦点坐标为(0,±2),设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).因为双曲线过点(1,),所以=1.又a2+b2=4,所以a2=2,b2=2,所以双曲线的标准方程为=1.
方法二　由题可设所求双曲线的方程为=1(12<λ<16),则=1,即λ2-24λ+140=0,所以λ=14(λ=10舍去),即双曲线的方程为=1.
方法三　由题可知椭圆C的焦点坐标为(0,±2),设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).由双曲线的定义可得2a=||=()-()=2,即a=.又c=2,所以b==,所以双曲线的方程为=1.故选C.
10.B　因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).因为点P1(-2,),P2(,4)在双曲线上,所以,解得,于是所求双曲线的标准方程为=1.故选B.
11.B　如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1.因为|ON|=|F2M|=1,所以|F2M|=2,所以由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线,可得|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2<|F1F2|=4.同理,当点P在y轴右侧时,|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|=4.故点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,对应的方程为x2=1.
12.=1(x≥2)　 解析 设圆M的半径为r.因为圆M与圆C1外切,与圆C2内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,所以|MC1|-|MC2|=4<|C1C2|=6,所以点M的轨迹是以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点的双曲线的右支,所以点M的轨迹方程是=1(x≥2).
13. 解析 (1)因为半焦距为,且焦点在x轴上,所以可设双曲线的标准方程为=1(a2<6).
因为双曲线经过点(-5,2),所以=1,
解得a2=5或a2=30(舍去).
于是双曲线的标准方程为y2=1.
(2)方法一　设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).
因为点(3,2)在双曲线上,所以=1.
又a2+b2=16+4=20,所以a2=12,b2=8,
则双曲线的标准方程为=1.
方法二　设双曲线的标准方程为=1(-4将点(3,2)代入方程,化简得k2+10k-56=0,
解得k=4或k=-14(舍去),
则双曲线的标准方程为=1.
14.A　由题意知|F1F2|=2×=10.由双曲线的定义知||PF2|-|PF1||=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,所以|PF1|=3,|PF2|=9,所以△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A.
15.C　由题意可知,点A,B为双曲线的两个焦点,所以当点C在双曲线=1的右支上时,有|CA|-|CB|=8,|AB|=10,由正弦定理得===;当点C在双曲线的左支上时,有|CA|-|CB|=-8,|AB|=10,同理得=,故选C.
16.A　不妨令点P在右支上,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=4,所以|PF1|2+=|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,所以=|PF1|·|PF2|=1.故选A.
17.C　由题意,知双曲线=1中,a2=3,b2=4,c2=7.如图,作PD⊥x轴,垂足为D.设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线定义知|m-n|=2a=2,两边平方得m2+n2-2mn=12.在△F1PF2中,
由余弦定理可得m2+n2-2mncos 120°=4c2=28,即m2+n2+mn=28.两式相减得3mn=16,即mn=.=mnsin 120°=×2c×|PD|,所以=2×|PD|,解得|PD|=.故选C.