3.2.2 双曲线的简单几何性质（二）同步练习（含解析）

《第二节　双曲线》同步练习
（课时2　双曲线的简单几何性质（二））
知识点1 求双曲线的离心率的值或取值范围
1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=4∶6∶5,则该双曲线的离心率为(　　)
A.2 B. C. D.5
2.已知双曲线=1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为(　　)
A. 　B.2 C.或2 　D.
3.[2022浙江宁波市镇海中学高二上期中]已知双曲线=1(a>0,b>0)和=-1(a>0,b>0)的离心率分别为e1,e2,则=(　　)
A.1 B.2 C. D.4
4.[2022河南濮阳范县一中高二上月考]已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,且B(0,b),若直线BF与双曲线的其中一条渐近线垂直,则该双曲线的离心率为(　　)
A.+1 B.
C. D.-1
5.[2022河北部分名校高二上期中]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,且△PF1F2的周长为4a+2,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,2) B.(1,4)
C.(2,-∞) D.(4,+∞)
6.已知A,B,P是双曲线=1(a>0,b>0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积为,则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线的右支上一点.
(1)求|PF1|的最小值;
(2)若右支上存在点P满足|PF1|=4|PF2|,求双曲线的离心率的取值范围.
知识点2 直线与双曲线的位置关系
8.已知双曲线x2-=1,若过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则这样的直线l有(　　)
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
9.(多选)[2022重庆长寿中学高二上月考]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,倾斜角为60°的直线过F2且与双曲线C的右支交于M,N两点,则双曲线C的离心率可以是(　　)
A. B. C.2 D.
10.过点(1,2)且与双曲线x2-=1没有交点的直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.[-2,2] D.[-2,+∞)
11.已知双曲线=1与椭圆=16(a>b>0)共焦点,且双曲线与直线y=4bx-3相切,则a=(　　)
A. B. C. D.1
12.[2022河南驻马店新蔡一高高二上月考]已知点A,B在双曲线x2-y2=4上,线段AB的中点M(3,1),则|AB|=(　　)
A. B.2 C. D.2
13.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点(,0)是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,求|AB|.
14.[2021陕西师大附中高二期末]已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为坐标原点),求实数k的取值范围.
知识点3 双曲线的实际应用
15.[2022北京通州区高三上期末]如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶离水面5 m,水面宽|AB|=30 m.若水面下降5 m,则水面宽是(结果精确到0.1 m)(参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.65)(　　)
A.43.8 m B.44.8 m
C.52.3 m D.53.0 m
16.[2022黑龙江哈尔滨德强学校高二上期中]图1为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可近似看作图2中双曲线C:=1(a>0,b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲线四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上杯口外直径为,下底外直径为,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底距离的2倍,则杯身最细之处的周长为(　　)
图1　　　　　 　图2
A.2π B.3π C.2π D.4π
参考答案
1.B　e====.
2.A　双曲线的渐近线方程为y=±x.由已知得=tan 或=tan ,所以a=或(舍去).又b=,所以c=2,所以双曲线的离心率e==.
3.A　由题意可得双曲线=1(a>0,b>0)的离心率e1=,双曲线=-1(a>0,b>0)即双曲线=1(a>0,b>0)的离心率e2=,所以==1.
4.B　右焦点F(c,0),点B(0,b),所以kBF==<0.又直线BF与双曲线的其中一条渐近线垂直,则·=-1,可得b2=ac.又b2=c2-a2,所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,解得e=或(舍去).故选B.
5.A　设双曲线C的焦距为2c,则|F1F2|=2c,a2+b2=c2.因为P是双曲线C右支上的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a.又△PF1F2的周长为4a+2,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4a+2,所以|PF1|+|PF2|+2c=4a+2c,所以|PF1|+|PF2|=4a.由,得.因为,所以,所以,所以16.D　设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,知B(-x1,-y1),所以kPA·kPB=·=.因为点A,P在双曲线上,所以,两式相减,得kPA·kPB==,所以e2==,所以e=.
7. 解析 (1)由题易知当P为右顶点时,|PF1|最小,为a+c,所以|PF1|的最小值为a+c.
(2)设∠F1PF2=θ,θ∈(0,π].
依题意有,得.
由余弦定理得cos θ===e2,
则-1≤e2<1,即8.B　易知P(1,0)为双曲线的右顶点.当斜率不存在时,直线l与双曲线相切,只有一个公共点;当斜率存在且平行于渐近线时,直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l有2条.故符合要求的直线l一共有3条.
9.AB　因为双曲线的渐近线方程为y=±x,且直线MN的斜率为,所以||<,则e=<2.又e>1,所以110.B　由题意直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1).由,得(4-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-8=0.若4-k2=0,则k=±2.当k=2时,方程无解,直线与双曲线无交点,符合题意;当k=-2时,方程有一个解,此时直线与双曲线有一个交点,不符合题意.若4-k2≠0,因为直线l与双曲线没有交点,所以Δ=[2(k2-2k)]2-4(4-k2)(-k2+4k-8)=64(-k+2)<0,
解得k>2.综上所述,直线l的斜率的取值范围是[2,+∞).
11.D　因为双曲线与椭圆共焦点,所以3a2+a2=16(a2-b2),即3a2=4b2　①.又双曲线与直线y=4bx-3相切,所以由,化简得(3-16b2)x2+24bx-9-3a2=0,所以Δ=(24b)2-4(3-16b2)(-9-3a2)=0　②,由①②解得a=1或-1(舍去).
12.D　设A(x1,y1),B(x2,y2).由,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),即·=1.又AB的中点M(3,1),所以=,故=3,即直线AB的斜率为3,所以直线AB的方程为y-1=3(x-3),即y=3x-8.由,得2x2-12x+17=0,则,所以|AB|==2.故选D.
13. 解析 (1)因为双曲线C的离心率为,点(,0)是双曲线的一个顶点,
所以,解得,
所以双曲线C的标准方程为=1.
(2)双曲线=1的右焦点为F2(3,0),
所以直线l的方程为y=(x-3).
由,得5x2+6x-27=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
所以|AB|===.
(或由5x2+6x-27=0,得x=-3或,则|AB|=+3|=.)
14. 解析 (1)设双曲线C2的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,则a2=3,c2=4.
由a2+b2=c2,得b2=1.
故双曲线C2的标准方程为y2=1.
(2)由,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,
得,
所以k2≠且k2<1.　①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)·(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
由·>2,得>2,解得由①②得即实数k的取值范围为(-1,)∪(,1).
15.B　建立如图所示的平面直角坐标系.因为拱桥是等轴双曲线,则设双曲线的方程=1(a>0),C(0,-a).因为|AB|=30,|CD|=5,则B(15,-a-5),将点B坐标代入双曲线方程,可得=1,解得a=20,即=1.当水面下降5 m,纵坐标yN=-30,代入双曲线方程可得xN=10,所以|MN|=2xN =20≈44.8.故选B.
16.C　由题可设M(,2m),N(,-m),代入双曲线方程,得,解得a2=3,即a=,所以杯身最细处的周长为2π.故选C.