3.3.2 抛物线的简单几何性质（二）同步练习（含解析）

《第三节　抛物线》同步练习
（课时2　抛物线的简单几何性质（二））
一、基础巩固
知识点 抛物线的焦点弦
1.[2022河南商丘部分学校大联考高二上阶段测试]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(,0),过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=4,则弦AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B.2 C.3 D.4
2.[2022山西太原师院附中高二上月考]已知抛物线y=mx2(m>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=6,则焦点F的坐标为(　　)
A.(0,) B.(0,) C.(0,) D.(0,)
3.[2022河北徐水综合高级中学高二上月考]已知抛物线y2=8x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交C于A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则p=(　　)
A.3 B.2 C. D.1
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于M,N两点(M,N的横坐标不相等),弦MN的垂直平分线交x轴于点H,若|MN|=40,则|HF|=(　　)
A.14 B.16 C.18 D.20
6.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　.
7.已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|=　　　　　　.
8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,引两条互相垂直的弦AC和BD,求四边形ABCD面积的最小值.
9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,AB为抛物线C过焦点F的弦.已知以AB为直径的圆D与l相切于点( 1,0).
(1)求p的值及圆D的标准方程;
(2)设M为l上任意一点,过点M作C的切线,切点为N,证明:MF⊥NF.
二、能力提升
1.已知等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　)
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
2.抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P,称△PAB为“阿基米德三角形”,当线段AB经过抛物线的焦点F时,△PAB具有以特征:
①点P必在抛物线的准线上;②PF⊥AB.
若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△PAB,且点P的纵坐标为4,则直线AB的方程为(　　)
A.x 2y 1=0 B.2x+y 2=0
C.x+2y 1=0 D.2x y 2=0
3.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若|OF|=1,|MN|=8,则(　　)
A.抛物线方程为y2=2x
B.抛物线的准线方程为x= 1
C.过点K(1,3)可作抛物线的两条切线
D.△OMN的面积为2
4.[2021新高考八省(市)联考]已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x 2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为(　　)
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
5.已知以F为焦点的抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1, 2),直线l与抛物线C交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,且=λ.
(1)当λ=2时,求点M的坐标;
(2)当·=12时,求直线l的方程.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知M(2, 1),N(0,1),动点P满足|·|=||.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点N且不平行于x轴的直线l与轨迹E交于A,B两点,记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求的值.
7.在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点列Pn(8,n),直线系ln:x=n,n∈N*,若直线ln与直线OPn交于点Mn.
(1)求证:点Mn在抛物线上,并求出该抛物线的方程;
(2)设A,B为(1)中抛物线上两个不同的点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且(k1+1)(k2+1)=2,证明:直线AB经过定点.
参考答案
一、基础巩固
1.A　因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(,0),所以p=1,抛物线的方程为y2=2x.设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p,所以4=x1+x2+1,即x1+x2=3,所以弦AB的中点到y轴的距离为d==.
2.B　方法一　y=mx2(m>0)可化为x2=y,则F(0,),所以直线AB的方程为y=x+,与y=mx2(m>0)联立,消去x,得3y2y+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=.由|AB|=y1+y2+=6,解得=,所以焦点F的坐标为(0,).故选B.
方法二　设直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=,得=6×=,所以焦点F的坐标为(0,).故选B.
3.C　方法一　由题知p=4.因为抛物线过焦点的弦满足=,又|AF|=6,所以|BF|=3.
方法二　由题知抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x= 2.因为|AF|=6,所以xA=4.不妨设点A在第一象限,则yA=4,所以kAF==2,故直线AB的方程为y=2x 4.由,得x2 5x+4=0,所以xA+xB=5,所以xB=1,所以|BF|=xB+2=3.
4.C　方法一　如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,BD交x轴于点E.由已知条件及抛物线的定义,得|BB1|=|BF|=1,|AA1|=|AF|=3,所以|AD|=3 1=2.在Rt△ADB中,因为|AB|=4,|AD|=2,所以∠ABD=30°,所以|EF|=|BF|=,所以焦点F到准线l的距离为+1=,即p=.
方法二　依题意,直线AB不与x轴垂直,设直线AB的方程为y=k(x),将其代入抛物线C的方程y2=2px,得k2x2 p(k2+2)x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=.因为|AF|=3|BF|=3,所以x1+=3(x2+)=3,即x1=3,x2=1,所以(3)(1)=,解得p=.
5.D　方法一　设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为M'(x0,y0),H(xH,0),则,所以=2p,所以=2p,则kMN====,所以弦MN的垂直平分线为y y0=(x x0).令y=0,则xH=x0+p,所以|HF|=x0+.又|MN|=x1+x2+p=2x0+p=40,所以|HF|=20.故选D.
方法二　如图,设MN的中点为B,过M作x轴的垂线,过N作x轴的平行线,两直线交于点A.设|MF|=m,|NF|=n,不妨取m>n,则|BF|=.由抛物线的定义知|AN|=m n,易知△NMA∽△FHB,所以==2,所以|FH|=|MN|=20.故选D.
6.2　解析 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB| 2=|AB| 2.依据抛物线定义知,当AB为通径,即|AB|=2p=4时,|AB|取最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
7.16　解析 方法一　因为|AF|=|AM|,N为AM的中点,且FN⊥AM,所以∠AFN=30°,所以直线AB的倾斜角为60°,斜率为.由抛物线y2=12x,得F(3,0),则直线AB的方程为y=(x 3).由,得x2 10x+9=0,则xA+xB=10,所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=16.
方法二　设直线AB的倾斜角为α,不妨设点A在第一象限.因为点N为AM的中点,AM⊥NF,所以|AM|=2p,所以|AF|=|AM|==2p=12,得cos α=,所以|BF|==4,所以|AB|=16.
8. 解析 依题意,知直线AC的斜率存在且不为0,设为k,则直线AC的方程为y=k(x).
由,得4k2x2 4p(k2+2)x+p2k2=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
由抛物线的定义,得|AC|=x1+x2+p=.
同理(用代换k),可得|BD|=2p(k2+1).
于是,四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|==2p2(2+k2+)≥8p2,当且仅当k2=,即k=±1时等号成立.
所以四边形ABCD面积的最小值为8p2.
9. 解析 (1)由题意得l的方程为x=,且l过点( 1,0),
所以= 1,解得p=2.
又由抛物线和圆的对称性,可知所求圆的圆心为(1,0),半径为2.
所以圆D的标准方程为(x 1)2+y2=4.
(2)方法一　易知直线MN的斜率存在且不为0.
设M( 1,y0),MN的方程为y=k(x+1)+y0.代入C的方程,得ky2 4y+4(y0+k)=0.
令Δ=16 16k(y0+k)=0,得y0+k=, 所以ky2 4y+4(y0+k)==0, 解得y=.
将y=代入C的方程,得x=, 即点N的坐标为(,),
所以=( 2,y0),=(1,),
所以·=2+y0·=2+(k)·=0,故MF⊥NF.
方法二　设点N(,y0), 则切线MN的方程为y0y=2(x+),
所以点M的坐标为( 1,),
则=(2,),=(1, y0),
·=2(1) y0()=0, 所以MF⊥NF.
二、能力提升
1.B　因为抛物线y2=2px(p>0)的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,且OA⊥OB,所以由对称性,知直线AB与x轴垂直,从而直线OA和直线OB与x轴的夹角均为45°.由,得或,不妨设点A在x轴上方,则易得A(2p,2p),B(2p, 2p),所以|AB|=4p,所以=×4p×2p=4p2.
2.A　设抛物线的焦点为F.由题意可知F(1,0),准线方程为x= 1.因为△PAB为“阿基米德三角形”且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点,所以点P( 1,4),则直线PF的斜率为= 2.又PF⊥AB,所以直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y 0=(x 1),即x 2y 1=0,故选A.
3.BCD　由题意可知抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x= 1,A错误,B正确.易知点K在抛物线外,则过点K(1,3)可作抛物线的两条切线,C正确.
方法一　设点M(x1,y1),N(x2,y2),则由抛物线的定义,可知|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=8,所以x1+x2=6.由,可得=24,又MN为过焦点的弦,故y1y2= 4,故S△OMN=|OF|·|y1 y2|==2.
方法二　设直线MN的倾斜角为α,则由抛物线焦点弦的性质可知|MN|=,故==8,所以sin2α=,所以sin α=,故S△OMN===2.
4.B　点A(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,故22=2p×2,即p=1,抛物线方程为y2=2x.设过点A(2,2)与圆(x 2)2+y2=1相切的直线的方程为y 2=k(x 2),即kx y+2 2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离为=1,解得k=±.如图,直线AB:y 2=(x 2),直线AC:y 2=(x 2).由,得3x2+(414)x+16 8=0,故xAxB=,
由xA=2得xB=,故yB=.由,得3x2 (4+14)x+16+8=0,故xAxC=,由xA=2得xC=,故yC=,故yB+yC== 4.又由B,C在抛物线上,可知直线BC的斜率为kBC=====,故直线BC的方程为y=(x),即3x+6y+4=0.故选B.
5. 解析 (1)因为点P(1, 2)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以4=2p,得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0).
设M(x0,y0),当λ=2时,由=2,
得(x0,y0)+(1, 2)=2(1,0),
即(x0+1,y0 2)=(2,0),
所以,可得M(1,2).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由=λ,可得(x0+1,y0 2)=(λ,0),所以y0=2,
所以直线l的斜率存在且斜率k===1,
可设直线l的方程为y=x+b.
由,得x2+(2b 4)x+b2=0,
Δ=(2b 4)2 4b2=16 16b>0,得b<1.
又x1+x2=4 2b,x1x2=b2,
则y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=4b,
所以·=x1x2+y1y2=b2+4b=12,
解得b= 6或b=2(舍去),
所以直线l的方程为y=x 6.
6. 解析 (1)设P(x,y),则=(2 x, 1 y),=(0,1),=( x,1 y).
由|·|=||,
可得| 1 y|=,
化简得x2=4y,即轨迹E的方程为x2=4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由,得x2 4kx 4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2= 4,
因为=
=
=
=
=
== 2,
所以的值为 2.
7.证明 (1)设Mn(x,y).
依题意,得直线OPn的方程为y=x,
由,消去n,得y=x2,即x2=8y,
所以点Mn在抛物线x2=8y上.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=8y1,=8y2,
所以k1==x1,k2==x2.
由(k1+1)(k2+1)=2,得(x1+1)(x2+1)=2,
所以x1x2+8(x1+x2) 64=0.
又直线AB的方程为y y1=(x x1),
即y=(x1+x2)(x x1),
即y=(x1+x2)xx1x2.
由x1x2+8(x1+x2) 64=0,
得x1x2= 8(x1+x2)+64,
代入y=(x1+x2)xx1x2,
得y=(x1+x2)(x+8) 8.
故直线AB经过定点( 8, 8).