3.3.2 抛物线的简单几何性质（一）同步练习（含解析）

《第三节　抛物线》同步练习
（课时2　抛物线的简单几何性质（一））
知识点1　抛物线的几何性质及其应用
1.以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是(　　)
A.y2=8x
B.y2= 8x
C.y2=8x或y2= 8x
D.x2=8y或x2= 8y
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆C:(x+1)2+(y 2)2=9相切,则p=(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
3.[2022江西赣州高三二模]抛物线x2=2py(p>0)与椭圆=1交于A,B两点,若△AOB的面积为(其中O为坐标原点),则p=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
4.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为　　　　.
5.[2022天津一中高二上期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为x= 1.若M为C上的一个动点,N(3,0),则|MN|的最小值为　　　　.
6.[2022江苏省前黄高级中学学情检测]平面直角坐标系中xOy中,已知顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点(1, 1),(2,),(2,1),(4,2)中的两个,则该抛物线的焦点坐标可以是　　　　.
知识点2 直线与抛物线的位置关系
7.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q( 2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.[ 1,1]
B.[ 1,0)∪(0,1]
C.( ∞, 1]∪[1,+∞)
D.( ∞, 1)∪(1,+∞)
8.抛物线y= x2上的点到直线4x+3y 8=0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D.3
9.直线y=x 2与抛物线y2= 2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB(O为坐标原点),则p=(　　)
A. B.1 C. D.2
10.[2022江苏南通如东高二上期中]已知O为坐标原点,A,B为抛物线y2=2px(p>0)上异于点O的两个动点,且∠AOB=90°.若点O到直线AB的距离的最大值为8,则p的值为　　　　.
11.[2022陕西西安长安一中高二上期中]已知点M( 1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点有斜率存在且不为0的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则直线AB的方程为(　　)
A.2x y 2=0 B.x y 1=0
C.2x+y 2=0 D.x+y 1=0
12.(多选)[2022山东高二“山东学情”期中联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4,直线l过点F且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若M(m,2)是线段AB的中点,则(　　)
A.p=4
B.抛物线的方程为y2=16x
C.直线l的方程为y=2x 4
D.|AB|=10
13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
知识点3 抛物线的实际应用
14.[2022湖南师范大学附属中学高二上期中]苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是“东方之门”的立意基础,“门”的内侧曲线是抛物线的一部分,如图1.两栋建筑之间有一条长60 m的连桥AB,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离|CD|=30 m,如图2.则此抛物线顶点O到连桥AB的距离为(　　)
A.180 m B.200 m
C.220 m D.240 m
15.[2022福建福州八中高二上期中]中国古代桥梁的建筑艺术有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国古代劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为(　　)
A.2 m B.4 m
C.4 m D.12 m
参考答案
1.C　依题意,设抛物线的方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2= 8x.故选C.
2.C　抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=.由题意知直线x=与圆C:(x+1)2+(y 2)2=9相切,所以= 1 3,解得p=8,故选C.
3.B　由抛物线与椭圆的对称性,知A,B关于y轴对称,不妨设A(x0,y0),B( x0,y0)(x0>0).因为△AOB的面积为,所以S△AOB=×2x0y0==.又=1,即=12,所以12+36=0,解得=6,则p=3.
4.x2=4y　解析 由e=1,得焦点为(0,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.
5.2　解析 由题意知p=2,所以抛物线C:y2=4x.设M(x0,y0)(x0≥0).由题意知=4x0,则|MN|2=(x0 3)2+=(x0 3)2+4x0=(x0 1)2+8≥8,当x0=1时,|MN|2取得最小值8,所以|MN|的最小值为2.
6.(,0)(答案不唯一)　 解析 因为题中的四个点均在第一象限,所以抛物线的方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0).若抛物线的方程为y2=2px(p>0),将(1,1)代入得p=,则y2=x,此时点(4,2)在抛物线上,符合题意,所以抛物线的焦点坐标为(,0).(焦点坐标还可以是(0,2).)
7.A　由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2 8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2 8)2 4k2·4k2=64(1 k2)≥0,解得 1≤k<0或08.A　方法一　设与抛物线相切,且与直线4x+3y 8=0平行的直线方程为4x+3y+m=0.由,得3x2 4x m=0,则Δ=16+12m=0,所以m=.所以所求最小值为两平行线之间的距离,为d==.
方法二　设抛物线y= x2上一点为(m, m2),该点到直线4x+3y 8=0的距离d==,当m=时,d取得最小值,为.
9.B　设A(x1,y1),B(x2,y2).由,得x2 (2p+4)x+4=0,所以x1+x2=2p+4,x1x2=4.又OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1 2)(x2 2)=2x1x2 2(x1+x2)+4=4 4p=0,所以p=1.
10.4　解析 由抛物线的两垂直弦的性质,可得直线AB恒过定点(2p,0),所以当直线AB垂直于x轴时,点O到直线AB的距离最大,为2p,则2p=8,得p=4.
11.A　由y2=4x,得焦点坐标为(1,0).设直线AB的方程为y=k(x 1),由,得k2x2 (2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.因为∠AMB=90°,所以·= 1,即= 1,即= 1,解得k=2,所以直线AB的方程为2x y 2=0,故选A.
12.ACD　因为焦点F到准线的距离为4,根据抛物线的定义可知p=4,所以抛物线的方程为y2=8x,焦点F(2,0),则=8x1,=8x2.又M(m,2)是AB的中点,则y1+y2=4,所以=8x1 8x2,即==2,所以直线l的方程为y=2x 4.由,得x2 6x+4=0,所以x1+x2=6,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=10.故选ACD.
13. 解析 (1)直线AB的方程是y=2(x),与y2=2px联立,有4x2 5px+p2=0,所以x1+x2=.
由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,
所以抛物线的方程是y2=8x.
(2)因为p=4,
所以4x2 5px+p2=0为x2 5x+4=0.
又x1所以x1=1,x2=4,y1= 2,y2=4,
所以A(1, 2),B(4,4).
设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1, 2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ 2).
又=8x3,即[2(2λ 1)]2=8(4λ+1),即(2λ 1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
14.B　如图建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2= 2py(p>0).由题意设D(15,h),B(30,h 150),则,解得,所以此抛物线顶点O到连桥AB的距离为50+150=200 m.故选B.
15.B　由题意,以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2= 2py(p>0).由题意知,抛物线经过点A( 4, 2),代入抛物线方程,解得p=4,所以抛物线的方程为x2= 8y.水面下降1 m,即y= 3,解得x=±2,所以此时水面宽度为4 m.