3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含解析）

《第三节　抛物线》同步练习
（课时1　抛物线及其标准方程）
知识点1　抛物线的定义
1.[2022河北石家庄二中高二上期中]已知点F(1,0),直线l:x= 1,点B是l上的动点.若过点B且垂直于y轴的线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.椭圆
C.圆 D.抛物线
2.已知动点M的坐标(x,y)满足方程5=|3x+4y 12|,则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
3.(1)求到点A(2,0)的距离等于到直线x=2的距离的动点P的轨迹方程;
(2)平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
知识点2 抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程
4.[2021陕西西安中学高二上期末]抛物线y=x2的焦点坐标是(　　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(2,0) D.(0,2)
5.[2022浙江宁波市镇海中学高二上期中]抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y 2=0,则a的值是(　　)
A. B.
C.8 D. 8
6.[2022广东东莞七校高二上联考]已知抛物线y=x2的焦点与椭圆=1的一个焦点重合,则m=(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
7.[2022重庆九校联盟高二上联考]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(4,y0)为C上一点,若|MF|=2y0,则C的准线方程为(　　)
A.x= 2 B.y= 2
C.x= 3 D.y= 3
8.[2022广东佛山高二期中]已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,点P(8,y0)在抛物线上,K为l与y轴的交点,且|PK|=|PF|,则y0=　　　　,p=　　　　.
9.根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)经过点( 3, 5);
(2)焦点为直线x 2y 4=0与坐标轴的交点.
知识点3 利用抛物线的定义求与距离有关的最值
10.[2022湖北黄石二中高二调考]已知直线l1:4x 3y+6=0和直线l2:x= 1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A.2 B.3 C. D.
11.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离为6.若点P为抛物线C的准线上的动点,则|PO|+|PA|的最小值为(　　)
A.4 B.4 C.4 D.6
12.[2022黑龙江鸡西密山一中高二上期中]已知点P为抛物线y2=16x上的一个动点,设点P到抛物线准线的距离为d,点Q(0,3),则|PQ|+d的最小值为　　　　.
13.[2021福建福州一中调考]设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x= 1的距离为d,A( 1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
参考答案
1.D　连接MF.由垂直平分线性质知|MB|=|MF|,即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等,因此,点M的轨迹是抛物线.故选D.
2.C　方程5=|3x+4y 12|可化为=,它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x+4y 12=0的距离,由抛物线的定义,可知动点M的轨迹是抛物线.故选C.
3. 解析 (1)由于点A(2,0)恰好在直线x=2上,所以动点P的轨迹是直线,此直线过点A且垂直于直线x=2,则动点P的轨迹方程为y=0.
(2)方法一　设点P的坐标为(x,y),
则=|x|+1,
两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,
所以y2=.
于是动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
方法二　由于点F(1,0)到y轴的距离为1,
所以当x<0时,直线y=0上的点满足题意;
当x≥0时,已知条件等价于点P到点F(1,0)的距离与其到直线x= 1的距离相等,所以点P的轨迹是以点F为焦点,直线x= 1为准线的抛物线,方程为y2=4x.
于是动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
4.B　抛物线的标准方程为x2=4y,则2p=4,可得=1,因此抛物线y=x2的焦点坐标为(0,1).故选B.
5.B　将抛物线方程化为标准形式,得x2=y,其准线方程为y==2,所以a=,故选B.
6.B　抛物线y=x2的标准方程是x2=4y,则焦点坐标为(0,1),所以m 2=12,得m=3.
8.B　因为点M(4,y0)在抛物线x2=2py上,则y0=.又|MF|=2y0,则y0+=2y0,得y0=,因此=.又p>0,得p=4,所以抛物线C的准线方程为y= 2.故选B.
9.4　8　解析 作PM⊥l,垂足为M.由抛物线的定义知|PM|=|PF|.又|PK|=|PF|,所以在Rt△PMK中,sin∠PKM===,所以∠PKM=45°,所以△PMK为等腰直角三角形,所以|PM|=|MK|=8.又点P在抛物线x2=2py(p>0)上,所以,解得.
10. 解析 (1)当抛物线的标准方程为y2= 2px(p>0)时,
将点( 3, 5)代入,得p=,
即所求抛物线的标准方程为y2=x;
当抛物线的标准方程为x2= 2py(p>0)时,
将点( 3, 5)代入,得p=,
即所求抛物线的标准方程为x2=y.
综上,抛物线的标准方程为y2=x或x2=y.
(2)令x=0,得y= 2;令y=0,得x=4,
所以抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0, 2).
当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x.
当焦点为(0, 2)时,抛物线的标准方程为x2= 8y.
综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2= 8y.
11.A　易知直线l2:x= 1恰为抛物线y2=4x的准线,如图所示,动点P到l2:x= 1的距离可转化为PF的长度,其中F(1,0)为抛物线y2=4x的焦点.由图可知,所求距离之和的最小值即点F到直线l1的距离,为=2.
12.C　抛物线y2=8x的准线方程为x= 2,因为|AF|=6,所以点A到准线的距离为6,即点A的横坐标为4,不妨设点A在第一象限,则点A的坐标为(4,4).因为坐标原点O关于准线的对称点B的坐标为( 4,0),所以|PO|=|PB|,所以|PO|+|PA|的最小值为|AB|==4.
13.5　解析 抛物线y2=16x的焦点F(4,0),准线为x= 4.如图,过点P作PM垂直准线于点M,则|PF|=|PM|=d,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|.由图可知的当P,Q,F三点共线时,|PQ|+|PF|取得最小值,最小值为|FQ|.又|FQ|==5,所以|PQ|+d的最小值为5.
14. 解析 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x= 1.
由抛物线的定义,知|PF|=d,
于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
如图1,连接AF,交抛物线于点P,此时|PA|+d最小,最小值=.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2.
因为2>2,所以点B在抛物线内部.
过点P作PM垂直准线于点M,过点B作BQ垂直准线于点Q(如图2),
则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=3+1=4(当点P在线段BQ上时取等号), 即|PB|+|PF|的最小值为4.