参考答案
1．D
【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图象，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为,，
由，得，，故切线方程为，
把定点代入得：，即．
，
即直线的斜率为．
则使有三个不同的零点的的取值范围是．
故选：D
2．A
【详解】将点代入曲线，解得，
对曲线求导得，点处的切线斜率为，故与垂直的切线斜率为，
对曲线求导得，若曲线上至多存在一条与垂直的切线，即至多一个解，由此可得，解得.
故选：A
3．C
【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.
设切点为，，
所以，切线斜率为，
由题知得或（舍），
所以，，此时点到直线距离.
故选：C
4．D
【详解】根据题意可知的定义域为，所以，
易得，
由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,
同理可得，点处切线斜率为；
又因为两条切线与直线平行，可得，即
所以是关于方程的两根，
所以，即，又
可得；
所以，由可得
即，所以的取值范围是.
故选：D
5．B
【详解】设的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线斜率的乘积为，
故选：B
6．C
【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.
故选：C
7．C
【详解】，则，则在点处的切线的斜率为，
，则，则在点处的切线的斜率为，
函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，
则，即，
故选：C.
8．A
【详解】 可以得关于中心对称
且偶函数，所以的周期为4.
即关于对称；
所以切线方程：
即：
故选：A.
9．AD
【详解】A：当时，点在上，，
若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，
若不为切点，设切点坐标为，所以，
切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为，所以，，
则切线的斜率为，切线方程为，
当时，，则，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时有极小值，为，时有极大值，为，
时，画出的图象，
当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；
C：当时，由切线方程得，则，
设，则，
所以单调递减，且，
如图，
所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当时，由切线方程为得，则，
设，则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
的图象为
若有两条切线，则的取值为或，正确.
故选：AD.
10．BD
【详解】A.时，，当时等号成立，
当时，，当时等号成立，故A错误；
B.令，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；
C. 的对称中心是，所以的对称中心是，向右平移1个单位得，对称中心是，故C错误；
D. ，解得：或，
当，得，，1个实根，当时，得或，2个实根，所以共3个实根，故D正确.
故选：BD
11．ABD
【详解】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为．
由直线l与圆相切得，解得. 故直线l的方程为．A正确；
对B，由消去y得，所以解得．B正确；
对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为.
又因为，所以解得
所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误；
D中， ，所以，所以切线方程为，即．D正确．
故选：ABD
12．ABD
【详解】
A选项：上图为的图象，由题意知，的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
当时，函数和的图象一定有交点；
当，时，，当时 ，，，则由零点存在性定理得有零点，故A正确；
B选项：当时，，当时，，所以切线的斜率都大于或等于1，当时，直线与有一个交点，即有一个零点，故B正确；
C选项：由B选项得，当时，对于任意的，只有一个零点，故C错；
D选项：当时，，所以在的切线方程为，所以当时，直线与有三个交点，即有三个零点，故D正确.
故选：ABD.
13．
【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得，
因此，.
故答案为：.
14．
【详解】由，则，设切点为，切线斜率为，
所以，切线为，即，
由，则，设切点为，切线斜率为，
所以，切线为，即，
根据题设，若它们切线为公切线，则有，即，
又，即且，即，
由上关系式并消去并整理得在上有解，
令，则，
当，则，即，此时递增；
当，则或，即或，此时递减；
又，，
所以，即.
故答案为：.
15．
【详解】解：由得，
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，
作出函数的图象，如图，
再作出直线，它始终过原点，
设直线与相切，切点为，
由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，
所以切线斜率为，
设与相切，则，
所以，，解得舍去），
由图可得实数m的取值范围是或.
故答案为：
16．
【详解】设切点坐标为：，
所以切线斜率为，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，
整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以，解得，
又因为，所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
17．
【详解】由题意，，
设与相切于点，
在中， ，，，
在中，，，，
∵直线与，都相切，
∴，即，
在中，函数单调递增，
∴
∵，即
∴，即，
∴解得
∴
故选：C.
18．(1)， ，
(2)
【详解】（1）因为
所以，
（2）因为
所以所求直线方程为，即．
19．(1)
(2)
【详解】（1），所以，所以，，
所以切线方程为：，整理得.
（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，
又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，
所以切线方程为：，整理得.
20．(1)；在与上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以.
由题意可得即解得
因为，
所以当或时，，当时，，
则在与上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）可知，，.
设，
则.
设，则.
因为，所以，则在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即对一切恒成立.
因为，所以.
因为，所以.
因为在上单调递增，且，所以，
即证：.
21．(1)与
(2)证明见解析
【详解】（1）由得．
令，即，得或，又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与．
（2）令，．则，，，
令得或．当变化时，，的变化情况如下：
0 4
＋ 0 － 0 ＋
0 0
所以的最大值为0，故，即．
22．(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，设切点为，，
因为切线过原点，所以，得，所以直线的方程为.
（2）即讨论的实根的个数，，
即，所以，
设，则，
时 ，；时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
由题意得，即，
当时，，当时，；当时，
此时，
设，
在上单调递增，上单调递减，，
当时，，无解，即无解；
当时，，有1解，即有1解；
当时，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，所以，
由零点存在定理，有2个零点，即有2个解；
综上，当时，有1个零点；
当时，有2个零点；当时，有0个零点.
（3）由已知可得，有两个不等的实根，由（2）得，
由于单调递增，所以的两个不等的实根，
即等价于的两个不等的实根，所以，
不妨设，令，则，所以，
所以，要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，则，
所以在单调递增，所以，证毕．5.1.2 导数的概念及其几何意义 达标检测
一、单选题
1．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知曲线上一点处的切线为，曲线上至多存在一条与垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
6．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．e B． C． D．
7．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
8．定义在上的偶函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当，时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或
10．已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
11．关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为
B．已知直线与抛物线相切，则a等于
C．过点且与曲线相切的直线l的方程为
D．曲线在点处的切线方程为．
12．已知函数，，则（ ）
A．对于任意，函数有零点
B．对于任意，存在，函数恰有一个零点
C．对于任意，存在，函数恰有二个零点
D．存在，函数恰有三个零点
三、填空题
13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.
14．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________．
15．已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.
16．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为_____.
17．已知曲线和，若直线与，都相切，且与的相切于点，则的横坐标为______.
四、解答题
18．已知函数．
(1)求，，﹔
(2)求曲线在点处的切线方程．
19．已知函数.
(1)求曲线在处切线方程；
(2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程.
20．已知函数，且曲线在处的切线为.
(1)求m，n的值和的单调区间；
(2)若，证明：.
21．已知函数．
(1)求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)当时，求证：．
22．已知实数，函数．
(1)当时，过原点的直线与函数相切，求直线的方程；
(2)讨论方程的实根的个数；
(3)若有两个不等的实根，求证：．
