18.2.3正方形的判定 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
18.2.3 正方形的判定
人教版八年级下册
知识回顾
平行四边形
矩形
菱形
正方形
菱形的判别方法：
矩形的判别方法：
①有一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①有一个角是直角的平行四边形
②有三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
教学目标
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.
2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
新知导入
由前面的学习，我们已经知道
有一个直角
一组邻边相等
矩形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
菱形
平行四边形
一组邻边相等，有一个是直角
新知探究
知识点
正方形的判定
定义1： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
定义2： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
定义3： 有一个角是直角的菱形叫做正方形.
判定1：
所以，正方形的定义也是判定
判定2：
判定3：
正方形的判定只有3个吗？
新知探究
当然不只3个，既然正方形既是平行四边形，也是矩形，也是菱形，那么如果一个四边形既是是矩形，也是菱形，那么这个四边形就是正方形。
平行四边形
四边形
矩形
菱形
正方形
新知探究
猜想1：对角线 的矩形是正方形.
互相垂直
已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
新知探究
已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
O
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90
∵AC⊥BD
∴AC是线段BD的垂直平分线
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是正方形
同理：BD是线段AC的垂直平分线
新知小结
判定4： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
数学语言：
在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
新知探究
猜想2：一组 相等的矩形是正方形.
邻边
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
新知探究
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
∴∠B=90 ，四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的
定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”）
新知探究
判定5 ： 有一组邻边相等的矩形是正方形.
数学语言：
在矩形ABCD中， ∵AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
新知探究
猜想3：对角线 的菱形是正方形.
相等
已知在菱形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且 AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.
新知探究
已知在菱形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且 AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD
∵AC=BD
∴OA=OB=OC=OD
∴△AOD、△AOB 、△COD 、△BOC是等腰直角三角形
∴四边形ABCD是正方形
∴∠DAB=∠ABC=90
新知探究
判定6 ： 对角线相等的菱形是正方形.
数学语言：
在菱形ABCD中， ∵ AC=BD
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
新知探究
猜想4：有一个角是 的菱形是正方形.
直角
已知在菱形ABCD中，∠A=90 ，求证：四边形ABCD是正方形.
新知探究
已知在菱形ABCD中，∠A=90 ，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
∴AB=BC=CD=DA
四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=90
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形” ）
新知探究
判定7： 有一个角是直角的菱形是正方形.
数学语言：
在菱形ABCD中， ∵ ∠A=90
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
O
新知小结
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
判定1：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
判定2：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
判定3：有一个角是直角的菱形叫做正方形.
判定4：对角线互相垂直的矩形是正方形.
判定5：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定6：对角线相等的菱形是正方形.
判定7：有一个角是直角的菱形是正方形.
新知练习
1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD是正方形.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∴AC=BD或∠BAD=90 或∠ABC=90 或∠BCD=90 或∠ADC=90 均满足题意
新知练习
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.
（2）对角线互相垂直的矩形.
（3）对角线相等的菱形.
（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.
4个都是正方形，满足正方形的判定条件.
新知典例
例1　如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB；
新知典例
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，
∴PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，
∴四边形MPND是正方形．
新知练习
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，∴四边形EDFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
3. 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
课堂总结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂练习
1.下列命题正确的是（ ）.
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是正方形
C
矩形
菱形
矩形
课堂练习
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D.当∠ABC=90 时，四边形ABCD是矩形
B
A
B
D
C
课堂练习
3.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45 . 求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.
C
B
D
A
E
F
课堂练习
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠C=90
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60
∵∠CEF=45 ∴∠CFE=45
∴∠AFB=∠AEB=180 -45 -60 = 75
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
C
B
D
A
E
F
课堂练习
证明：
4.已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P两点.求证:四边形PQMN是正方形.
∵PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°,
∵PQ∥NM,∴四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC,
∴∠1+∠2=90°,
又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3,
∴△ABM≌△DAN,∴AM=DN.
∴同理AN=DP,
∴AM+AN=DN+DP,即MN=PN,
∴四边形PQMN是正方形.
课堂练习
证明：
过D点作DG⊥AB于G，
∵AD平分∠BAC,且DF⊥AC于F，
∴DF＝DG，
同理可得DE＝DG，
∴DE＝DF，
又∵四边形CEDF为矩形，且DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形.
5.
谢谢
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